ในทฤษฎีกลุ่ม ทางคณิตศาสตร์ กลุ่ม3-ทรานสโพซิชันคือกลุ่มที่สร้างขึ้นจากชั้นสมมูลของการผกผันซึ่งเรียกว่า3-ทรานสโพซิชันโดยที่ผลคูณของอินโวลูชันสองตัวใดๆ จากชั้นสมมูลนั้นมีอันดับไม่เกิน 3

กลุ่มเหล่านี้ได้รับการศึกษาครั้งแรกโดยBernd Fischer  ( 1964 , 1970 , 1971 ) ซึ่งค้นพบ กลุ่ม Fischerทั้งสามกลุ่มในฐานะตัวอย่างของกลุ่มการสลับตำแหน่ง 3 ตำแหน่ง

ฟิชเชอร์ (1964)เป็นคนแรกที่ศึกษาเกี่ยวกับกลุ่มการสลับตำแหน่ง 3 ในกรณีพิเศษที่ผลคูณของการสลับตำแหน่ง 3 ที่แตกต่างกันสองกลุ่มใดๆ มีอันดับ 3 เขาแสดงให้เห็นว่ากลุ่มจำกัดที่มีคุณสมบัตินี้สามารถแก้ได้ และมีกลุ่ม 3 (นิลโพเทนต์) ที่มีดัชนี 2 มานิน (1986) ใช้กลุ่มเหล่านี้เพื่อสร้างตัวอย่างของ CH-quasigroupที่ไม่สลับที่และเพื่ออธิบายโครงสร้างของลูปมูฟางแบบสลับ ที่ได้ ที่มีเลขชี้กำลัง 3

สมมติว่าGเป็นกลุ่มที่สร้างขึ้นโดยชั้นสมมูลDของการสลับตำแหน่ง 3 และแกน 2 และ 3 O ₂ ( G ) และO ₃ ( G ) ต่างก็มีอยู่ในศูนย์กลางZ ( G ) ของGจากนั้นFischer (1971) พิสูจน์ว่า G / Z ( G ) จนถึงไอโซมอร์ฟิซึมเป็นหนึ่งในกลุ่มต่อไปนี้ และDเป็นภาพของชั้นสมมูลที่กำหนดให้:

• G / Z ( G ) คือกลุ่มที่ไม่สำคัญ
• G / Z ( G ) เป็นกลุ่มสมมาตร S _nสำหรับn ≥5 และDคือคลาสของการสลับตำแหน่ง (ถ้าn =6 จะมีคลาสที่สองของการสลับตำแหน่ง 3 ตำแหน่ง)
• G / Z ( G ) เป็นกลุ่มซิมเพล็กติก Sp _{2 n} (2) โดยที่n ≥3 เหนือฟิลด์อันดับ 2 และDคือคลาสของทรานส์เวคชั่น (เมื่อ n =2 จะมีคลาสที่สองของทรานส์โพซิชั่น)
• G / Z ( G ) เป็นกลุ่มเอกภาพเชิงโปรเจกทีฟ PSU _n (2) โดยที่n ≥5 และDคือคลาสของทรานส์เวกชัน
• G / Z ( G ) เป็นกลุ่มออร์โธโกนอล O ^μ _{2 n} (2) โดยที่ μ=±1 และn ≥4 และDคือคลาสของทรานส์เวคชั่น
• G / Z ( G ) เป็นกลุ่มย่อยดัชนี 2 PO _n ^μ,+ (3) ของกลุ่มเชิงตั้งฉากเชิงโปรเจกทีฟ PO _n ^μ (3) (โดยที่ μ=±1 และn ≥5) ที่สร้างขึ้นโดยคลาสDของการสะท้อนของเวกเตอร์บรรทัดฐาน +1
• G / Z ( G ) เป็นหนึ่งในสามกลุ่มฟิชเชอร์ Fi ₂₂ , Fi ₂₃ , Fi ₂₄
• G / Z ( G ) เป็นหนึ่งในสองกลุ่มของรูปแบบ Ω ₈ ⁺ (2).S ₃และ PΩ ₈ ⁺ (3).S ₃โดยที่ Ω หมายถึงกลุ่มย่อยอนุพันธ์ของกลุ่มออร์โธโกนอล และ S ₃คือกลุ่มของไดอะแกรมออโตมอร์ฟิซึมสำหรับไดอะแกรม D ₄ Dynkin

กรณีที่ขาดหายไปซึ่งมี ค่า nน้อยข้างต้นนั้น อาจไม่ตรงตามเงื่อนไขเกี่ยวกับแกนหลัก 2 และ 3 แกน หรืออาจมีความคล้ายคลึงกันเป็นพิเศษกับกลุ่มอื่นๆ ในรายการ

กลุ่ม S _nมีอันดับn ! และสำหรับn >1 จะมีกลุ่มย่อย A _nที่มีดัชนี 2 ซึ่งเป็นกลุ่มเดี่ยวถ้าn >4

กลุ่มสมมาตร S _nเป็นกลุ่มการสลับตำแหน่ง 3 จุด สำหรับทุกn > 1 การสลับตำแหน่ง 3 จุด คือ สมาชิกที่สลับจุดสองจุด โดยที่จุดที่เหลือแต่ละจุดคงที่ สมาชิกเหล่านี้คือการสลับตำแหน่ง (ในความหมายปกติ) ของ S _n (สำหรับn = 6 มีการสลับตำแหน่ง 3 จุดอีกประเภทหนึ่ง คือ ประเภทของสมาชิกใน S ₆ซึ่งเป็นผลคูณของการสลับตำแหน่งที่ไม่ซ้ำกัน 3 ครั้ง)

กลุ่มซิมเพล็กติก Sp _{2 n} (2) มีลำดับ

${\displaystyle 2^{n^{2}}(2^{2}-1)(2^{4}-1)\cdots (2^{2n}-1)}$

เป็นกลุ่มการสลับตำแหน่ง 3 สำหรับทุกn ≥ 1 เป็นกลุ่มเรียบง่ายถ้าn > 2 ในขณะที่สำหรับn = 1 จะเป็น S ₃และสำหรับn = 2 จะเป็น S ₆โดยมีกลุ่มย่อยเรียบง่ายที่มีดัชนี 2 คือ A ₆การสลับตำแหน่ง 3 มีรูปแบบx ↦ x + ( x , v ) vสำหรับ vที่ไม่ใช่ศูนย์

กลุ่มเอกภาพพิเศษ SU _n (2) มีลำดับ

${\displaystyle 2^{n(n-1)/2}(2^{2}-1)(2^{3}+1)\cdots (2^{n}-(-1)^{n})}$

กลุ่มเอกภาพเชิงโปรเจกทีฟ PSU _n (2) คือผลหารของกลุ่มเอกภาพพิเศษ SU _n (2) โดยกลุ่มย่อยMของการแปลงเชิงเส้นสเกลาร์ทั้งหมดใน SU _n (2) กลุ่มย่อยMเป็นศูนย์กลางของ SU _n (2) นอกจากนี้Mยังมีอันดับ gcd(3, n )

กลุ่ม PSU _n (2) เป็นกลุ่มที่เรียบง่ายหากn >3 ในขณะที่สำหรับn =2 จะเป็น S ₃และสำหรับn =3 จะมีโครงสร้าง 3 ² :Q ₈ (Q ₈ = กลุ่มควอเทอร์เนียน )

ทั้ง SU _n (2) และ PSU _n (2) เป็นกลุ่มการสลับตำแหน่ง 3 สำหรับn =2 และสำหรับn ≥4 ทั้งหมด การสลับตำแหน่ง 3 ของ SU _n (2) สำหรับn =2 หรือn ≥4 อยู่ในรูปแบบx ↦ x +( x , v ) v สำหรับเวกเตอร์ vที่ไม่ใช่ศูนย์และมีนอร์มเป็นศูนย์ การสลับตำแหน่ง 3 ของ PSU _n (2) สำหรับn =2 หรือn ≥4 เป็นภาพของการสลับตำแหน่ง 3 ของ SU _n (2) ภายใต้แผนที่ผลหารธรรมชาติจาก SU n ₍ 2) ไปยัง PSU _n (2)=SU _n (2)/ M

กลุ่มออร์โธโกนอล O _{2 n} ^± (2) มีลำดับ

${\displaystyle 2\times 2^{n(n-1)}(2^{2}-1)(2^{4}-1)\cdots (2^{2n-2}-1)(2^{n}\mp 1)}$

(เหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะ 2 กลุ่มออร์โธโกนอลในมิติคี่จะสมมาตรกับกลุ่มซิมเพล็กติก) มีกลุ่มย่อยดัชนี 2 (บางครั้งแสดงด้วย Ω _{2 n} ^± (2)) ซึ่งเป็นกลุ่มเดี่ยวถ้าn >2

กลุ่ม O _{2 n} ^μ (2) เป็นกลุ่มการสลับตำแหน่ง 3 สำหรับn >2 ทั้งหมด และ μ=±1 การสลับตำแหน่ง 3 จะอยู่ในรูปแบบx ↦ x +( x , v ) vสำหรับเวกเตอร์vที่Q (v)=1 โดยที่Qเป็นรูปแบบกำลังสองพื้นฐานสำหรับกลุ่มออร์โธโกนอล

กลุ่มออร์โธโกนอล O _n ^± (3) คือกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของรูปแบบกำลังสองQเหนือฟิลด์ขององค์ประกอบ 3 ตัว โดยที่ดิสคริมิแนนต์ของรูปแบบทวิเชิงเส้น ( a , b )= Q ( a + b ) − Q ( a )− Q ( b ) คือ ±1 กลุ่ม O _n ^μ,σ (3) โดยที่ μ และ σ เป็นเครื่องหมาย คือกลุ่มย่อยของ O _n ^μ (3) ที่สร้างขึ้นโดยการสะท้อนเทียบกับเวกเตอร์vโดยที่Q ( v )=+1 ถ้า σ เป็น + และเป็นกลุ่มย่อยของ O _n ^μ (3) ที่สร้างขึ้นโดยการสะท้อนเทียบกับเวกเตอร์vโดยที่Q ( v )=-1 ถ้า σ เป็น −

สำหรับ μ=±1 และ σ=±1 ให้ PO _n ^μ,σ (3)=O _n ^μ,σ (3)/ Zโดยที่Zคือกลุ่มของการแปลงเชิงเส้นสเกลาร์ทั้งหมดใน O _n ^μ,σ (3) ถ้าn >3 แล้วZจะเป็นจุดศูนย์กลางของ O _n ^μ,σ (3)

สำหรับ μ=±1 ให้ Ω _n ^μ (3) เป็นกลุ่มย่อยที่ได้รับของ O _n ^μ (3) ให้ PΩ _n ^μ (3)= Ω _n ^μ (3)/ Xโดยที่Xคือกลุ่มของการแปลงเชิงเส้นแบบสเกลาร์ทั้งหมดใน Ω _n ^μ (3) ถ้าn >2 แล้วXคือจุดศูนย์กลางของ Ω _n ^μ (3)

ถ้าn =2 m +1 เป็นจำนวนคี่ กลุ่มออร์โธโกนอลสองกลุ่ม O _n ^± (3) จะเป็นไอโซมอร์ฟิกและมีอันดับ

${\displaystyle 2\times 3^{m^{2}}(3^{2}-1)(3^{4}-1)\cdots (3^{2m}-1)}$

และ O _n ^+,+ (3) ≅ O _n ^−,− (3) (อันดับศูนย์กลาง 1 สำหรับn >3) และ O _n ^−,+ (3) ≅ O _n ^+,− (3) (อันดับศูนย์กลาง 2 สำหรับn >3) เนื่องจากรูปแบบกำลังสองทั้งสองเป็นผลคูณเชิงสเกลาร์ของกันและกัน จนถึงความสมมูลเชิงเส้น

ถ้าn = 2 mเป็นจำนวนคู่ กลุ่มตั้งฉากสองกลุ่ม O _n ^± (3) จะมีอันดับ

${\displaystyle 2\times 3^{m(m-1)}(3^{2}-1)(3^{4}-1)\cdots (3^{2m-2}-1)(3^{m}\mp 1)}$

และ O _n ^+,+ (3) ≅ O _n ^+,− (3) และ O _n ^−,+ (3) ≅ O _n ^−,− (3) เนื่องจากคลาสการสลับตำแหน่งทั้งสองถูกแลกเปลี่ยนโดยองค์ประกอบของกลุ่มออร์โธโกนอลทั่วไปที่คูณรูปแบบกำลังสองด้วยสเกลาร์ ถ้าn =2 m , m >1 และmเป็นจำนวนคู่ ศูนย์กลางของ O _n ^+,+ (3) ≅ O _n ^+,− (3) จะมีอันดับ 2 และศูนย์กลางของ O _n ^−,+ (3) ≅ O _n ^−,− (3) จะมีอันดับ 1 ถ้าn =2 m , m >2 และmเป็นจำนวนคี่ ศูนย์กลางของ O _n ^+,+ (3) ≅ O _n ^+,− (3) จะมีอันดับ 1 และศูนย์กลางของ O _n ^−,+ (3) ≅ O _n ^−,− (3) จะมีอันดับ 2

ถ้าn > 3 และ μ = ±1 และ σ = ±1 กลุ่ม O _n ^μ,σ (3) เป็นกลุ่มการสลับตำแหน่ง 3 ตำแหน่ง การสลับตำแหน่ง 3 ตำแหน่งของกลุ่ม O _n ^μ,σ (3) อยู่ในรูปแบบx ↦ x −( x , v ) v /Q( v )= x +( x , v )/( v , v ) สำหรับเวกเตอร์vที่มีQ ( v )=σ โดยที่Qคือรูปแบบกำลังสองพื้นฐานของ O _n ^μ (3)

ถ้าn > 4 และ μ = ±1 และ σ = ±1 แล้ว O _n ^μ,σ (3) จะมีดัชนี 2 ในกลุ่มออร์โธโกนอล O _n ^μ (3) กลุ่ม O _n ^μ,σ (3) มีกลุ่มย่อยที่มีดัชนี 2 คือ Ω _n ^μ (3) ซึ่งเป็นกลุ่มง่ายเมื่อพิจารณาศูนย์กลาง (ซึ่งมีอันดับ 1 หรือ 2) กล่าวอีกนัยหนึ่ง PΩ _n ^μ (3) เป็นกลุ่มง่าย

ถ้าn > 4 เป็นจำนวนคี่ และ (μ,σ) = (+,+) หรือ (−,−) แล้ว O _n ^μ,+ (3) และ PO _n ^μ,+ (3) ต่างก็เป็นไอโซมอร์ฟิกกับ SO _n ^μ (3) = Ω _n ^μ (3):2 โดยที่ SO _n ^μ (3) คือกลุ่มออร์โธโกนอลพิเศษของรูปแบบกำลังสองพื้นฐานQนอกจากนี้ Ω _n ^μ (3) ยังเป็นไอโซมอร์ฟิกกับ PΩ _n ^μ (3) และยังเป็นแบบไม่สลับที่และเรียบง่ายอีกด้วย

ถ้าn > 4 เป็นจำนวนคี่ และ (μ,σ) = (+,−) หรือ (−,+) แล้ว O _n ^μ,+ (3) จะเป็นไอโซมอร์ฟิกกับ Ω _n ^μ (3)×2 และ O _n ^μ,+ (3) จะเป็นไอโซมอร์ฟิกกับ Ω _n ^μ (3) นอกจากนี้ Ω _n ^μ (3) ยังเป็นไอโซมอร์ฟิกกับ PΩ _n ^μ (3) และยังเป็นแบบไม่สลับที่และเรียบง่ายอีกด้วย

ถ้าn > 5 เป็นจำนวนคู่ และ μ = ±1 และ σ = ±1 แล้ว O _n ^μ,+ (3) จะมีรูปแบบ Ω _n ^μ (3):2 และ PO _n ^μ,+ (3) จะมีรูปแบบ PΩ _n ^μ (3):2 นอกจากนี้ PΩ _n ^μ (3) ยังไม่เป็นอาเบเลียนและเรียบง่าย

Fi ₂₂มีลำดับ 2 ¹⁷ .3 ⁹ .5 ² .7.11.13 = 64561751654400 และเป็นแบบง่าย

Fi ₂₃มีลำดับ 2 ¹⁸ .3 ¹³ .5 ² .7.11.13.17.23 = 4089470473293004800 และเป็นแบบง่าย

Fi ₂₄มีลำดับ 2 ²² .3 ¹⁶ .5 ² .7 ³ .11.13.17.23.29 และมีกลุ่มย่อยแบบง่ายที่มีดัชนี 2 ซึ่งก็คือFi ₂₄ '

มีกรณีเสื่อมสภาพ (ที่สามารถแก้ไขได้) และไอโซมอร์ฟิซึมจำนวนมากระหว่างกลุ่มการสลับตำแหน่ง 3 ระดับที่มีดีกรีต่ำ ดังต่อไปนี้ ( Aschbacher 1997 , หน้า 46):

กลุ่มต่อไปนี้ไม่ปรากฏในข้อสรุปของทฤษฎีบทของฟิชเชอร์ เนื่องจากสามารถหาคำตอบได้ (โดยมีอันดับเป็นกำลังของ 2 คูณกำลังของ 3)

${\displaystyle S_{1}=SU_{1}(2)=PSU_{1}(2)=O_{1}^{\pm ,\pm }(3)=PO_{1}^{\pm ,\pm }(3)=PO_{1}^{\pm ,\mp }(3)}$มีลำดับที่ 1

${\displaystyle S_{2}=O_{2}^{+}(2)=O_{1}^{\pm ,\mp }(3)=O_{2}^{+,\pm }(3)=PO_{2}^{+,\pm }(3)=PO_{2}^{-,\pm }(3)}$มีลำดับที่ 2 และเป็นกลุ่มการสลับตำแหน่ง 3 ตำแหน่ง

${\displaystyle O_{2}^{-,\pm }(3)=PO_{3}^{\pm ,\mp }(3)=2^{2}}$เป็นกลุ่มอาเบเลียนพื้นฐานอันดับ 4 และไม่ใช่กลุ่มทรานสโพซิชัน 3

${\displaystyle S_{3}=Sp_{2}(2)=SU_{2}(2)=PSU_{2}(2)=O_{2}^{-}(2)}$มีลำดับที่ 6 และเป็นกลุ่มการสลับตำแหน่ง 3 ตำแหน่ง

${\displaystyle O_{3}^{\pm ,\mp }(3)=2^{3}}$เป็นกลุ่มอาเบเลียนพื้นฐานที่มีอันดับ 8 และไม่ใช่กลุ่มทรานสโพซิชัน 3

${\displaystyle S_{4}=O_{3}^{\pm ,\pm }(3)=PO_{3}^{\pm ,\pm }(3)}$มีลำดับที่ 24 และเป็นกลุ่มการสลับตำแหน่ง 3 ตำแหน่ง

${\displaystyle PSU_{3}(2)=3^{2}:Q_{8}}$มีลำดับที่ 72 และไม่ใช่กลุ่มทรานสโพซิชัน 3 โดยที่ Q ₈หมายถึงกลุ่มควอเทอร์เนียน

${\displaystyle O_{4}^{+}(2)=(S_{3}\times S_{3}):2}$มีลำดับที่ 72 และไม่ใช่กลุ่มการสลับตำแหน่ง 3 ตำแหน่ง

${\displaystyle SU_{3}(2)=3^{1+2}:Q_{8}}$มีลำดับ 216 และไม่ใช่กลุ่มทรานสโพซิชัน 3 โดยที่ 3 ¹⁺²หมายถึงกลุ่มเอ็กซ์ตร้าสเปเชียลที่มีลำดับ 27 และเลขชี้กำลัง 3 และ Q ₈หมายถึงกลุ่มควอเทอร์เนียน

${\displaystyle PO_{4}^{+,\pm }(3)=(A_{4}\times A_{4}):2}$มีลำดับที่ 288 และไม่ใช่กลุ่มการสลับตำแหน่ง 3 ตำแหน่ง

${\displaystyle O_{4}^{+,\pm }(3)=(SL_{2}(3)*SL_{2}(3)):2}$มีลำดับที่ 576 โดยที่ * หมายถึงผลคูณกลางที่ไม่ใช่โดยตรง และไม่ใช่กลุ่มการสลับตำแหน่ง 3 ตำแหน่ง

มีไอโซมอร์ฟิซึมเพิ่มเติมอีกหลายอย่างที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มในข้อสรุปของทฤษฎีบทของฟิชเชอร์ดังต่อไปนี้ รายการนี้ยังระบุกลุ่ม Weyl ของไดอะแกรม ADE Dynkin ซึ่งทั้งหมดเป็นกลุ่มการสลับตำแหน่ง 3 ยกเว้น W(D ₂ )=2 ²โดยมีกลุ่มอยู่ในรายการของฟิชเชอร์ (W ย่อมาจากกลุ่ม Weyl)

${\displaystyle S_{5}=O_{4}^{-}(2)}$มีลำดับที่ 120 และกลุ่มนี้เป็นกลุ่มสลับตำแหน่ง 3 ตำแหน่ง

${\displaystyle S_{6}=Sp_{4}(2)=O_{4}^{-,\pm }(3)=PO_{4}^{-,\pm }(3)}$มีลำดับที่ 720 (และ 2 คลาสของการสลับตำแหน่ง 3) และกลุ่มนี้เป็นกลุ่มการสลับตำแหน่ง 3

${\displaystyle S_{8}=O_{6}^{+}(2)=}$มีลำดับที่ 40320 และกลุ่มนี้เป็นกลุ่มการสลับตำแหน่ง 3 ตำแหน่ง

${\displaystyle W(E_{6})=O_{6}^{-}(2)=O_{5}^{\pm ,\pm }(3)=PO_{5}^{\pm ,\pm }(3)}$มีลำดับที่ 51840 และกลุ่มนี้เป็นกลุ่มการสลับตำแหน่ง 3 ตำแหน่ง

${\displaystyle PO_{5}^{\pm ,\mp }(3)=SU_{4}(2)=PSU_{4}(2)}$มีลำดับที่ 25920 และกลุ่มนี้เป็นกลุ่มการสลับตำแหน่ง 3 ตำแหน่ง

${\displaystyle W(E_{7})=2\times Sp_{6}(2)}$มีลำดับที่ 2903040 และกลุ่มนี้เป็นกลุ่มการสลับตำแหน่ง 3 ตำแหน่ง

${\displaystyle W(E_{8})=2.O_{8}^{+}(2)}$มีลำดับที่ 69672960 และกลุ่มนี้เป็นกลุ่มการสลับตำแหน่ง 3 ตำแหน่ง

${\displaystyle O_{4s}^{+,+}(3)=O_{4s}^{+,-}(3)=2.PO_{4s}^{+,+}(3)=2.PO_{4s}^{+,-}(3)}$สำหรับ s ทุกค่าที่s ≥ 1 และกลุ่มนั้นจะเป็นกลุ่มการสลับตำแหน่ง 3 ตำแหน่งหากs ≥ 2

${\displaystyle O_{4s}^{-,+}(3)=O_{4s}^{-,-}(3)=PO_{4s}^{-,+}(3)=PO_{4s}^{-,-}(3)}$สำหรับs ทุกตัว ที่ ≥ 1 และกลุ่มดังกล่าวเป็นกลุ่มการสลับตำแหน่ง 3 ตำแหน่งสำหรับs ทุกตัวที่ ≥ 1

${\displaystyle O_{4s+2}^{+,+}(3)=O_{4s+2}^{+,-}(3)=2.PO_{4s+2}^{+,+}(3)=2.PO_{4s+2}^{+,-}(3)}$สำหรับs ทั้งหมด ที่ ≥ 0 และกลุ่มดังกล่าวเป็นกลุ่มการสลับตำแหน่ง 3 ตำแหน่งสำหรับs ทั้งหมด ที่ ≥ 0

${\displaystyle O_{4s+2}^{-,+}(3)=O_{4s+2}^{-,-}(3)=PO_{4s+2}^{-,+}(3)=PO_{4s+2}^{-,-}(3)}$สำหรับ s ≥ 0 ทั้งหมดและกลุ่มจะเป็นกลุ่มการสลับตำแหน่ง 3 ตำแหน่ง ถ้าs ≥ 1

${\displaystyle O_{2m+1}^{+,+}(3)=O_{2m+1}^{-,-}(3)=PO_{2m+1}^{+,+}(3)=PO_{2m+1}^{-,-}(3)}$สำหรับ m ≥ 0 ทั้งหมดและกลุ่มจะเป็นกลุ่มการสลับตำแหน่ง 3 ตำแหน่ง ถ้าm ≥ 1

${\displaystyle O_{2m+1}^{-,+}(3)=O_{2m+1}^{+,-}(3)=2\times PO_{2m+1}^{-,+}(3)=2\times PO_{2m+1}^{+,-}(3)}$สำหรับ m ≥ 0 ทั้งหมดและกลุ่มจะเป็นกลุ่มการสลับตำแหน่ง 3 ตำแหน่ง ถ้าm = 0 หรือm ≥ 2

${\displaystyle W(A_{n})=S_{n+1}}$สำหรับ n ≥ 1 ทั้งหมดและกลุ่มดังกล่าวเป็นกลุ่มการสลับตำแหน่ง 3 ตำแหน่งสำหรับ n ≥ 1 ทั้งหมด

${\displaystyle W(D_{n})=2^{n-1}.S_{n}}$สำหรับ n ทุกค่า ที่ n ≥ 2 และกลุ่มนั้นจะเป็นกลุ่มการสลับตำแหน่ง 3 ตำแหน่งหาก n ≥ 3

แนวคิดของการพิสูจน์มีดังนี้ สมมติว่าDคือคลาสของการสลับตำแหน่ง 3 ในGและd ∈ Dและให้Hเป็นกลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นโดยเซตD _dของสมาชิกในDที่สลับตำแหน่งกับdแล้วD _dคือเซตของการสลับตำแหน่ง 3 ของHดังนั้นกลุ่มการสลับตำแหน่ง 3 สามารถจำแนกได้โดยการอุปมานตามลำดับโดยการหาความเป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับGเมื่อกำหนดกลุ่มการสลับตำแหน่ง 3 H ใดๆ เพื่อความง่าย ให้สมมติว่ากลุ่มอนุพันธ์ของGเป็นกลุ่มสมบูรณ์ (เงื่อนไขนี้เป็นจริงสำหรับทุกกลุ่มยกเว้นสองกลุ่มที่เกี่ยวข้องกับการแปลงอัตโนมัติแบบไตรภาค)

• ถ้าO ₃ ( H ) ไม่อยู่ในZ ( H ) แล้วGคือกลุ่มสมมาตรS ₅
• ถ้าO ₂ ( H ) ไม่อยู่ในZ ( H ) แล้วL = H / O ₂ ( H ) เป็นกลุ่มการสลับตำแหน่ง 3 และL / Z ( L ) จะเป็นประเภท Sp(2 n , 2) ซึ่งในกรณีนี้G / Z ( G ) จะเป็นประเภท Sp _{2 n +2} (2) หรือเป็นประเภท PSU _n (2) ซึ่งในกรณีนี้G / Z ( G ) จะเป็นประเภท PSU _{n +2} (2)
• ถ้าH / Z ( H ) เป็นประเภทS _nแล้วGจะเป็นประเภทS _{n +2}หรือn = 6 และGจะเป็นประเภท O ₆ ⁻ (2)
• ถ้าH / Z ( H ) เป็นประเภท Sp _{2 n} (2) โดยที่ 2 n ≥ 6 แล้วGจะเป็นประเภท O _{2 n +2} ^μ (2)
• H / Z ( H ) ไม่สามารถเป็นประเภท O _{2 n} ^μ (2) สำหรับn ≥ 4 ได้
• ถ้าH / Z ( H ) เป็นประเภท PO _n ^{μ, π} (3) สำหรับn >4 แล้วGจะเป็นประเภท PO _{n +1} ^{−μπ, π} (3)
• ถ้าH / Z ( H ) เป็นประเภท PSU _n (2) สำหรับn ≥ 5 แล้วn = 6 และGเป็นประเภท Fi ₂₂ (และHเป็นฝาครอบคู่พิเศษของ PSU ₆ (2))
• ถ้าH / Z ( H ) เป็นประเภท Fi ₂₂แล้วGจะเป็นประเภท Fi ₂₃และHเป็นฝาครอบสองชั้นของFi ₂₂
• ถ้าH / Z ( H ) เป็นประเภท Fi ₂₃แล้วGจะเป็นประเภท Fi ₂₄และHเป็นผลคูณของ Fi ₂₃กับกลุ่มลำดับที่ 2
• H / Z ( H ) ไม่สามารถเป็นประเภท Fi ₂₄ได้

การพิจารณาการสลับตำแหน่ง 3 ครั้งเสมือนเป็นจุดยอดของกราฟ นั้นมีประโยชน์ ให้ เชื่อมคู่ที่ไม่สลับที่กันได้ กล่าวคือ มีผลคูณอันดับ 3 กราฟจะเชื่อมต่อกัน เว้นแต่ว่ากลุ่มนั้นจะมีตัวประกอบผลคูณโดยตรง กราฟที่สอดคล้องกับกลุ่มสมมาตรที่เล็กที่สุดเป็นกราฟที่คุ้นเคย การสลับตำแหน่ง 3 ครั้งของ_{S₃ ก่อ}ให้เกิดรูปสามเหลี่ยม การสลับตำแหน่ง 6 ครั้งของS₄ก่อให้เกิดรูปแปดเหลี่ยม การสลับตำแหน่ง 10 ครั้งของS₅ก่อให้เกิดส่วนเติมเต็มของ กราฟ ปี เตอร์_เซน

กลุ่มสมมาตรS _nสามารถสร้างได้ด้วย การสลับตำแหน่ง n –1 ครั้ง: (1 2), (2 3), ..., ( n −1 n ) และกราฟของเซตตัวสร้างนี้เป็นเส้นตรง มันประกอบด้วยความสัมพันธ์ที่เพียงพอในการ ^{กำหนด}กลุ่มS _n ^{[ 1} ]