ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบท ATSคือทฤษฎีบทเกี่ยวกับการประมาณค่าผล รวมตรีโกณมิติด้วยผลรวมตรีโกณมิติที่สั้นกว่า การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบท ATS ในปัญหาบางอย่างของคณิตศาสตร์และฟิสิกส์เชิงทฤษฎีสามารถเป็นประโยชน์อย่างมาก

ในบางสาขาของคณิตศาสตร์และฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ผลรวมในรูปแบบ

${\displaystyle S=\sum _{a<k\leq b}\varphi (k)e^{2\pi if(k)}\qquad (1)}$

อยู่ระหว่างการศึกษา

ในที่นี้และเป็นฟังก์ชันค่าจริงของตัวแปรจริง และ ผลรวมดังกล่าวปรากฏขึ้น ตัวอย่างเช่น ในทฤษฎีจำนวนในการวิเคราะห์ ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับจุดจำนวนเต็มในโดเมนบนระนาบและในอวกาศ ในการศึกษา อนุกรมฟูริเยร์และในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ เช่นสมการคลื่น สมการศักย์สม การการนำความร้อน${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle i^{2}=-1.}$

ปัญหาการประมาณอนุกรม (1) ด้วยฟังก์ชันที่เหมาะสมได้รับการศึกษาโดยออยเลอร์และ ปัวซงแล้ว

เราจะกำหนด ความยาวของผลรวม${\displaystyle S}$ ให้เป็นจำนวน (สำหรับจำนวนเต็มและนี่คือจำนวนของพจน์ในผลรวม) ${\displaystyle ba}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b,}$${\displaystyle S}$

ภายใต้เงื่อนไขบางประการ ผล รวม นั้นสามารถแทนที่ด้วยผลรวมอื่นได้อย่างแม่นยำ${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S_{1},}$

${\displaystyle S_{1}=\sum _{\alpha <k\leq \beta }\Phi (k)e^{2\pi iF(k)},\ \ \ (2)}$

โดยที่ความยาวนั้นน้อยกว่ามาก${\displaystyle \beta -\alpha }$${\displaystyle ba.}$

ความสัมพันธ์แรกของรูปแบบ

${\displaystyle S=S_{1}+R,\qquad (3)}$

โดยที่ผลรวม (1) และ (2) ตามลำดับเป็นพจน์ที่เหลือ โดยมีฟังก์ชันเฉพาะและ ได้มาโดยGH HardyและJE Littlewood [ ^{1 ] [ 2 ] [ 3 ]} เมื่อพวกเขาสรุปสมการฟังก์ชันโดยประมาณสำหรับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ^และโดยIM Vinogradov [ ^{4 ] ใน}การศึกษาปริมาณของจุดจำนวนเต็มในโดเมนบนระนาบ ในรูปแบบทั่วไป ทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์โดยJ. Van der Corput ^{[ 5 ] [ 6 ]} (สำหรับผลลัพธ์ล่าสุดที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทของ Van der Corput สามารถอ่านได้ที่ ^{[ 7 ]} ) ${\displaystyle S,}$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle f(x),}$${\displaystyle \zeta (s)}$

ในงานที่กล่าวมาข้างต้นทั้งหมด มีการ กำหนด ข้อจำกัดบางประการเกี่ยวกับฟังก์ชัน และ โดยมีข้อจำกัดที่สะดวก (สำหรับการใช้งาน) เกี่ยวกับ และทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์โดยAA Karatsubaใน^{[ 8 ]} (ดูเพิ่มเติมที่^{[ 9 ] [ 10 ]} ) ${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle f(x),}$

[ 1]. สำหรับบันทึก${\displaystyle B>0,B\to +\infty ,}$${\displaystyle B\to 0,}$

${\displaystyle 1\ll {\frac {A}{B}}\ll 1}$

หมายความว่ามีค่าคงที่อยู่${\displaystyle C_{1}>0}$

และ${\displaystyle C_{2}>0,}$

โดยที่

${\displaystyle C_{1}\leq {\frac {|A|}{B}}\leq C_{2}.}$

[2]. สำหรับจำนวนจริงบันทึกหมายความว่า${\displaystyle \alpha ,}$${\displaystyle \|\alpha \|}$

${\displaystyle \|\alpha \|=\min(\{\alpha \},1-\{\alpha \}),}$

ที่ไหน

${\displaystyle \{\alpha \}}$

คือส่วนที่เป็นเศษส่วนของ${\displaystyle \alpha .}$

ให้ฟังก์ชันจริงƒ ( x ) และ เป็นไปตาม เงื่อนไขต่อไปนี้บนช่วง [ a ,  b ] :${\displaystyle \varphi (x)}$

1) และมีความต่อเนื่อง${\displaystyle f'''(x)}$${\displaystyle \varphi ''(x)}$

2) มีจำนวนและ อยู่จริง ซึ่งเป็นเช่นนั้น${\displaystyle H,}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle H>0,\qquad 1\ll U\ll V,\qquad 0<ba\leq V}$

และ

${\displaystyle {\begin{array}{rc}{\frac {1}{U}}\ll f''(x)\ll {\frac {1}{U}}\ ,&\varphi (x)\ll H,\\\\f'''(x)\ll {\frac {1}{UV}}\ ,&\varphi '(x)\ll {\frac {H}{V}},\\\\f''''(x)\ll {\frac {1}{UV^{2}}}\ ,&\varphi ''(x)\ll {\frac {H}{V^{2}}}.\\\\\end{array}}}$

จากนั้น ถ้าเรากำหนดตัวเลขจากสมการ${\displaystyle x_{\mu }}$

${\displaystyle f'(x_{\mu })=\mu ,}$

เรามี

${\displaystyle \sum _{a<\mu \leq b}\varphi (\mu )e^{2\pi if(\mu )}=\sum _{f'(a)\leq \mu \leq f'(b)}C(\mu )Z(\mu )+R,}$

ที่ไหน

${\displaystyle R=O\left({\frac {HU}{b-a}}+HT_{a}+HT_{b}+H\log \left(f'(b)-f'(a)+2\right)\right);}$

${\displaystyle T_{j}={\begin{cases}0,&{\text{if }}f'(j){\text{ is an integer}};\\\min \left({\frac {1}{\|f'(j)\|}},{\sqrt {U}}\right),&{\text{if }}\|f'(j)\|\neq 0;\\\end{cases}}}$

${\displaystyle j=a,b;}$

${\displaystyle C(\mu )={\begin{cases}1,&{\text{if }}f'(a)<\mu <f'(b);\\{\frac {1}{2}},&{\text{if }}\mu =f'(a){\text{ or }}\mu =f'(b);\\\end{cases}}}$

${\displaystyle Z(\mu )={\frac {1+i}{\sqrt {2}}}{\frac {\varphi (x_{\mu })}{\sqrt {f''(x_{\mu })}}}e^{2\pi i(f(x_{\mu })-\mu x_{\mu })}\ .}$

รูปแบบที่ง่ายที่สุดของทฤษฎีบทที่กำหนดขึ้นคือข้อความที่ในเอกสารทางวิชาการเรียกว่าบทพิสูจน์ย่อยของแวน เดอร์ คอร์พุต (Van der Corput lemma )

ให้เป็นฟังก์ชันจริงที่หาอนุพันธ์ได้ในช่วงและภายในช่วงนี้ อนุพันธ์ของมันเป็นฟังก์ชันโมโนโทนิกและรักษาเครื่องหมาย และสำหรับค่าคงที่ ที่ทำให้ สอดคล้องกับอสมการแล้ว${\displaystyle f}$${\displaystyle ]a,b],}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle 0<\delta <1}$${\displaystyle |f'|\leq \delta .}$

${\displaystyle \sum _{a<k\leq b}e^{2\pi if(k)}=\int _{a}^{b}e^{2\pi if(x)}dx+\theta \left(3+{\frac {2\delta }{1-\delta }}\right),}$

ที่ไหน${\displaystyle |\theta |\leq 1.}$

ถ้าพารามิเตอร์ และเป็นจำนวนเต็ม ก็สามารถแทนที่ความสัมพันธ์สุดท้ายด้วยความสัมพันธ์ต่อไปนี้ได้: ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle \sum _{a<k\leq b}e^{2\pi if(k)}=\int _{a}^{b}e^{2\pi if(x)}\,dx+{\frac {1}{2}}e^{2\pi if(b)}-{\frac {1}{2}}e^{2\pi if(a)}+\theta {\frac {2\delta }{1-\delta }},}$

ที่ไหน${\displaystyle |\theta |\leq 1.}$

สำหรับข้อมูลเกี่ยวกับการประยุกต์ใช้ ATS กับปัญหาทางฟิสิกส์ โปรดดูที่:

• Karatsuba, Ekatherina A. (2004). "การประมาณผลรวมของผลรวมที่แกว่งไปมาในปัญหาทางฟิสิกส์บางประการ" วารสารฟิสิกส์คณิตศาสตร์45 (11). AIP Publishing: 4310– 4321. doi : 10.1063 /1.1797552 . ISSN  0022-2488 .
• Karatsuba, Ekatherina A. (2007-07-20). "แนวทางในการศึกษาผลรวม Jaynes–Cummings ในทัศนศาสตร์ควอนตัม". อัลกอริทึมเชิงตัวเลข . 45 ( 1– 4). Springer Science and Business Media LLC: 127– 137. doi : 10.1007/s11075-007-9070-x . ISSN  1017-1398 . S2CID  13485016 .
• Chassande-Mottin, Éric; Pai, Archana (2006-02-27). "Best chirplet chain: Near-optimal detection of gravitational wave chirps". Physical Review D . 73 (4) 042003. American Physical Society (APS). arXiv : gr-qc/0512137 . doi : 10.1103/physrevd.73.042003 . hdl : 11858/00-001M-0000-0013-4BBD-B . ISSN  1550-7998 . S2CID  56344234 .
• Fleischhauer, M.; Schleich, WP (1993-05-01). "การฟื้นคืนชีพที่เข้าใจง่าย: สูตรการรวมปัวซงเป็นกุญแจสำคัญในการฟื้นคืนชีพในแบบจำลอง Jaynes-Cummings" Physical Review A . 47 (5). American Physical Society (APS): 4258– 4269. doi : 10.1103/physreva.47.4258 . ISSN  1050-2947 . PMID  9909432 .