คู่มือทฤษฎีบทการจำแนกประเภทสำหรับพื้นผิวกะทัดรัด

ฉบับพิมพ์ครั้งแรก
ผู้เขียน	ฌอง กัลลิเยร์ , ไดแอนนา ซู
ภาษา	ภาษาอังกฤษ
ชุด	เรขาคณิตและการคำนวณ
ประเภท	คณิตศาสตร์
สำนักพิมพ์	สปริงเกอร์-เวอร์แลก
วันที่เผยแพร่	2013
ISBN	978-3-642-34363-6

"A Guide to the Classification Theorem for Compact Surfaces"เป็นตำราเรียนวิชาโทโพโลยีเกี่ยวกับการจำแนกประเภท ของ พื้นผิวสองมิติเขียนโดย Jean Gallierและ Dianna Xuและตีพิมพ์ในปี 2013 โดย Springer-Verlagเป็นเล่มที่ 9 ในชุด Geometry and Computing ( doi : 10.1007/978-3-642-34364-3 , ISBN ) 978-3-642-34363-6). คณะกรรมการรายชื่อห้องสมุดพื้นฐานของสมาคมคณิตศาสตร์แห่งอเมริกาได้แนะนำให้รวมไว้ในห้องสมุดคณิตศาสตร์ระดับปริญญาตรี^{[ 1 ]}

การจำแนกประเภทของพื้นผิว (หรืออย่างเป็นทางการมากขึ้นคือแมนิโฟลด์ สองมิติขนาดกะทัดรัด ที่ไม่มีขอบเขต) สามารถระบุได้อย่างง่ายดาย เนื่องจากขึ้นอยู่กับลักษณะเฉพาะของออยเลอร์และความสามารถในการกำหนดทิศทางของพื้นผิวเท่านั้น พื้นผิวที่สามารถกำหนดทิศทางได้ประเภทนี้จะต้องเทียบเท่าทางโทโพโลยี ( โฮมีโอเมอร์ฟิก ) กับทรงกลม ทอ รัสหรือแฮนด์เดิลบอดี้ทั่วไปซึ่งจำแนกตามจำนวนแฮนด์เดิล พื้นผิวที่ไม่สามารถกำหนดทิศทางได้จะต้องเทียบเท่ากับระนาบเชิงโปรเจกทีฟขวดไคลน์หรือพื้นผิวทั่วไปที่มีลักษณะเฉพาะด้วยจำนวนที่คล้ายคลึงกัน คือจำนวนครอสแคปสำหรับพื้นผิวขนาดกะทัดรัดที่มีขอบเขต ข้อมูลเพิ่มเติมที่จำเป็นเพียงอย่างเดียวคือจำนวนส่วนประกอบของขอบเขต^{[ 1 ]}ผลลัพธ์นี้ถูกนำเสนออย่างไม่เป็นทางการในตอนต้นของหนังสือ ในฐานะบทแรกจากทั้งหมดหกบท ส่วนที่เหลือของหนังสือจะนำเสนอการกำหนดปัญหาที่เข้มงวดมากขึ้น การนำเสนอเครื่องมือทางโทโพโลยีที่จำเป็นในการพิสูจน์ผลลัพธ์ และการพิสูจน์อย่างเป็นทางการของการจำแนกประเภท^{[ 2 ] [ 3 ]}

หัวข้ออื่นๆ ในโทโพโลยีที่กล่าวถึงในงานนำเสนอนี้ ได้แก่คอมเพล็กซ์ซิมพลิเชียลกลุ่มพื้นฐาน โฮโมโล ยีซิมพลิ เชียล และโฮโมโลยีเอกฐานและสมมติฐานปวงกาเร ภาคผนวกประกอบด้วยเนื้อหาเพิ่มเติมเกี่ยวกับการฝังตัวและการแมปตัดกันเองของพื้นผิวไปยังพื้นที่สามมิติ เช่นพื้นผิวโรมันโครงสร้างของกลุ่มอาเบเลียนที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดโทโพโลยีทั่วไปประวัติของทฤษฎีบทการจำแนกประเภทและHauptvermutung (ทฤษฎีบทที่ว่าทุกพื้นผิวสามารถแบ่งเป็นสามเหลี่ยมได้) ^{[ 2 ]}

นี่คือตำราเรียนที่มุ่งเป้าไปที่นักศึกษาระดับปริญญาตรีขั้นสูงหรือนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาเริ่มต้นในสาขาคณิตศาสตร์^{[ 2 ]}อาจจะหลังจากที่ได้เรียนหลักสูตรโทโพโลยีเบื้องต้นมาแล้ว ผู้อ่านหนังสือเล่มนี้คาดว่าจะคุ้นเคยกับโทโพโลยีทั่วไปพีชคณิตเชิงเส้นและทฤษฎีกลุ่ม อยู่ แล้ว^{[ 1 ]}อย่างไรก็ตาม ในฐานะตำราเรียน หนังสือเล่มนี้ขาดแบบฝึกหัด และผู้วิจารณ์ Bill Wood แนะนำให้ใช้สำหรับโครงงานของนักศึกษามากกว่าหลักสูตรอย่างเป็นทางการ^{[ 1 ]}

ตำราเรียน โทโพโลยีเชิงพีชคณิตระดับบัณฑิตศึกษาอื่นๆ อีกมากมายครอบคลุมหัวข้อเดียวกัน^{[ 4 ]} อย่างไรก็ตาม ด้วยการมุ่งเน้นไปที่หัวข้อเดียวคือทฤษฎีบทการจำแนกประเภท หนังสือเล่มนี้สามารถพิสูจน์ผลลัพธ์ได้อย่างเข้มงวดในขณะที่ยังคงอยู่ในระดับโดยรวมที่ต่ำกว่า^{[ 4 ] [ 5 ]}ให้ความเข้าใจและประวัติศาสตร์ที่มากขึ้น^{[ 4 ]}และทำหน้าที่เป็น "การท่องเที่ยวที่สร้างแรงบันดาลใจเกี่ยวกับเทคนิคพื้นฐานของสาขาวิชา" ^{[ 1 ]}

ผู้วิจารณ์Clara Löhบ่นว่าบางส่วนของหนังสือซ้ำซ้อน โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีบทการจำแนกประเภทสามารถพิสูจน์ได้ด้วยกลุ่มพื้นฐานหรือด้วยโฮโมโลยี (ไม่จำเป็นต้องใช้ทั้งสองอย่าง) ในทางกลับกัน เครื่องมือสำคัญหลายอย่างจากโทโพโลยีรวมถึงทฤษฎีบท Jordan–Schoenfliesไม่ได้รับการพิสูจน์ และผลลัพธ์การจำแนกประเภทที่เกี่ยวข้องหลายอย่างถูกละเว้น^{[ 3 ]}อย่างไรก็ตาม ผู้วิจารณ์ DV Feldman แนะนำหนังสือเล่มนี้เป็นอย่างยิ่ง^{[ 5 ]} Wood เขียนว่า "นี่คือหนังสือที่ฉันหวังว่าฉันจะมีในระดับบัณฑิตศึกษา" ^{[ 1 ]}และผู้วิจารณ์ Werner Kleinert เรียกมันว่า "ตำราเบื้องต้นที่มีคุณค่าทางการสอนที่โดดเด่น" ^{[ 2 ]}

• เว็บไซต์ของผู้เขียนสำหรับหนังสือ "คู่มือทฤษฎีบทการจำแนกประเภทสำหรับพื้นผิวขนาดกะทัดรัด"รวมถึงไฟล์ PDF ของบทที่ 1