ในทางคณิตศาสตร์อนุกรมอนันต์ของจำนวนจะเรียกว่าลู่เข้าสัมบูรณ์ (หรือลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ ) ถ้าผลรวมของค่าสัมบูรณ์ของพจน์ต่างๆ มีค่าจำกัด กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นอนุกรมจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนจะเรียกว่าลู่เข้าสัมบูรณ์ถ้าสำหรับจำนวนจริงบางจำนวน ในทำนอง เดียวกัน อินทิกรัลไม่เหมาะสมของฟังก์ชัน จะเรียกว่าลู่เข้าสัมบูรณ์ ถ้าอินทิ กรัลของค่าสัมบูรณ์ของตัวถูกอินทิเกรตมีค่าจำกัด นั่นคือ ถ้า อนุกรมลู่เข้าที่ไม่ลู่เข้าสัมบูรณ์เรียกว่าลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=L}$${\displaystyle \textstyle L.}$${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx,}$${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }|f(x)|dx=L.}$

การลู่เข้าสัมบูรณ์มีความสำคัญต่อการศึกษาอนุกรมอนันต์ เพราะนิยามของมันรับประกันว่าอนุกรมจะมีลักษณะ "ที่ดี" บางประการของผลรวมจำกัด ซึ่งอนุกรมลู่เข้าทั่วไปไม่มี ตัวอย่างเช่น การเรียงลำดับใหม่จะไม่เปลี่ยนแปลงค่าของผลรวม ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นจริงเสมอไปสำหรับอนุกรมลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข

เมื่อบวกจำนวนจำกัด การบวกจะมีคุณสมบัติทั้งการจัดกลุ่มและการสลับที่ หมายความว่า การจัดกลุ่มและการเรียงลำดับใหม่จะไม่เปลี่ยนแปลงผลรวมสุดท้าย ตัวอย่างเช่นเท่ากับและอย่างไรก็ตาม คุณสมบัติการจัดกลุ่มและการสลับที่อาจไม่เป็นจริงเสมอไปสำหรับผลรวมอนันต์ ตัวอย่างหนึ่งคืออนุกรมฮาร์มอนิกสลับที่${\displaystyle (1+2)+3}$${\displaystyle 1+(2+3)}$${\displaystyle (3+2)+1}$

${\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots }$

ซึ่งประกอบด้วยเศษส่วนที่มีเครื่องหมายสลับกัน อนุกรมนี้ลู่เข้าและสามารถคำนวณได้โดยใช้อนุกรมแมคลาลินสำหรับฟังก์ชันซึ่งลู่เข้าสำหรับทุกค่าที่สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไป นี้ : ${\displaystyle \ln(1+x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle -1<x\leq 1}$

${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots }$

เมื่อแทนค่าลงไปจะพบว่าผลรวมเดิมเท่ากับ นอกจากนี้ผลรวมยังสามารถจัดเรียงใหม่ได้ดังนี้: ${\displaystyle x=1}$${\displaystyle \ln 2}$

${\displaystyle S=\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots }$

ในการจัดเรียงใหม่นี้ส่วนกลับของจำนวนคี่แต่ละจำนวนจะถูกจัดกลุ่มกับส่วนกลับของสองเท่าของค่าของมัน ในขณะที่ส่วนกลับของจำนวนทวีคูณของ 4 ทุกจำนวนจะถูกประเมินแยกต่างหาก อย่างไรก็ตาม การประเมินพจน์ภายในวงเล็บจะได้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots }$

หรือครึ่งหนึ่งของอนุกรมเดิม การละเมิดสมบัติการสลับที่และการสลับกลุ่มของการบวกแสดงให้เห็นว่าอนุกรมฮาร์มอนิกสลับกันนั้นลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข ที่จริงแล้ว ผลรวมของค่าสัมบูรณ์ของแต่ละพจน์คือหรืออนุกรมฮาร์มอนิ กลู่เข้า ตามทฤษฎีบทอนุกรมรีมันน์อนุกรมที่ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขใดๆ ก็สามารถเรียงสับเปลี่ยนได้เพื่อให้ผลรวมเป็นจำนวนจริงจำกัดใดๆ หรือเพื่อให้ลู่เข้า เมื่ออนุกรมที่ลู่เข้าสัมบูรณ์ถูกจัดเรียงใหม่ ผลรวมของมันจะคงเดิมเสมอ ${\textstyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots }$

ผลรวมของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนจะลู่เข้าสัมบูรณ์ก็ต่อเมื่อผลรวมของค่าสัมบูรณ์ของแต่ละพจน์ลู่ เข้า${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}$

สามารถใช้นิยามเดียวกันนี้กับอนุกรมที่มีพจน์ไม่ใช่ตัวเลข แต่เป็นองค์ประกอบของกลุ่มโทโพโลยีอาเบ เลียนใดๆ ก็ได้ ในกรณีนั้น แทนที่จะใช้ค่าสัมบูรณ์นิยามนี้กำหนดให้กลุ่มต้องมีนอร์มซึ่งเป็นฟังก์ชันค่าจริงบวกบนกลุ่มอาเบเลียน(เขียนในรูปการบวกโดยมีองค์ประกอบเอกลักษณ์เป็น 0) เช่นนั้น: ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$${\displaystyle a_{n}}$${\textstyle \|\cdot \|:G\to \mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle G}$

1. ค่ามาตรฐานขององค์ประกอบเอกลักษณ์ของคือศูนย์:${\displaystyle G}$${\displaystyle \|0\|=0.}$
2. สำหรับทุก ๆความหมาย${\displaystyle x\in G,}$${\displaystyle \|x\|=0}$${\displaystyle x=0.}$
3. สำหรับทุกๆ${\displaystyle x\in G,}$${\displaystyle \|-x\|=\|x\|.}$
4. สำหรับทุกๆ${\displaystyle x,y\in G,}$${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}$

ในกรณีนี้ ฟังก์ชันดังกล่าวเหนี่ยวนำให้เกิดโครงสร้างของปริภูมิเมตริก ( โทโพโลยีประเภทหนึ่ง) บน${\displaystyle d(x,y)=\|xy\|}$${\displaystyle G.}$

ดังนั้นอนุกรมที่มีค่าเป็น จะลู่เข้าสัมบูรณ์ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle G}$${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\|a_{n}\|<\infty .}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ข้อความเหล่านี้ใช้ได้กับการใช้ค่าสัมบูรณ์( ค่าบรรทัดฐาน ) ในปริภูมิของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน ${\displaystyle |x|}$

ถ้าเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี (TVS) และเป็นตระกูล (อาจนับไม่ได้ ) ในแล้วตระกูลนี้สามารถหาผลรวมสัมบูรณ์ได้ถ้า^{[ 1 ]}${\displaystyle X}$${\textstyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$${\displaystyle X}$

1. ${\textstyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$สามารถหาผลรวมได้ใน(นั่นคือ ถ้าลิมิตของเน็ตลู่เข้าใน โดยที่คือเซตทิศทางของเซตย่อยจำกัดทั้งหมดของที่กำหนดทิศทางโดยการรวมและ) และ${\displaystyle X}$${\textstyle \lim _{H\in {\คณิตศาสตร์ {F}}(A)}x_{H}}$${\displaystyle \left(x_{H}\right)_{H\in {\mathcal {F}}(A)}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \subseteq }$${\textstyle x_{H}:=\sum _{i\in H}x_{i}}$
2. สำหรับค่ากึ่งมาตรฐาน ต่อเนื่องทุกค่า ในครอบครัวนั้น สามารถหาผลรวมได้ใน${\displaystyle p}$${\displaystyle X,}$${\textstyle \left(p\left(x_{\alpha }\right)\right)_{\alpha \in A}}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

ถ้าเป็นปริภูมิบรรทัดฐาน และถ้าเป็นตระกูลผลรวมสัมบูรณ์ในแล้วจำเป็นอย่างยิ่งที่ค่าทั้งหมด ยกเว้นชุดค่าที่นับได้จะเป็น 0 ${\displaystyle X}$${\textstyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle x_{\alpha }}$

ครอบครัวผลรวมสัมบูรณ์มีบทบาทสำคัญในทฤษฎีของปริภูมิ นิวเคลียร์

ถ้าสมบูรณ์เมื่อเทียบกับเมตริกแล้ว อนุกรมลู่เข้าสัมบูรณ์ทุกอนุกรมจะลู่เข้า การพิสูจน์เหมือนกับอนุกรมค่าเชิงซ้อน: ใช้ความสมบูรณ์เพื่อหาเกณฑ์โคชีสำหรับการลู่เข้า—อนุกรมจะลู่เข้าก็ต่อเมื่อส่วนปลายของอนุกรมสามารถทำให้มีค่าบรรทัดฐานเล็กลงได้ตามอำเภอใจ—แล้วจึงใช้ความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม ${\displaystyle G}$${\displaystyle d,}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับอนุกรมที่มีค่าอยู่ในปริภูมิบานาค ใดๆ การลู่เข้าสัมบูรณ์ย่อมหมายถึงการลู่เข้า และในทางกลับกันก็เป็นจริงเช่นกัน กล่าวคือ ถ้าการลู่เข้าสัมบูรณ์หมายถึงการลู่เข้าในปริภูมิที่มีบรรทัดฐานแล้ว ปริภูมินั้นก็จะเป็นปริภูมิบานาค

ถ้าอนุกรมลู่เข้าแต่ไม่ลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ จะเรียกว่าอนุกรมลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขตัวอย่างของอนุกรมลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขคืออนุกรมฮาร์มอนิกสลับการทดสอบมาตรฐานหลายอย่างสำหรับการลู่เข้าและลู่ออก โดยเฉพาะอย่างยิ่งการทดสอบอัตราส่วนและการทดสอบรากแสดงให้เห็นถึงการลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ นี่เป็นเพราะอนุกรมกำลังลู่เข้าอย่างสมบูรณ์บนส่วนภายในของวงกลมการลู่เข้า^{[ a ]}

สมมติว่าอนุกรมลู่เข้า ดังนั้นอนุกรมลู่เข้าเช่นกัน ซึ่งหมายความว่าอนุกรมลู่เข้าและลู่เข้าโดยการเปรียบเทียบพจน์ที่ไม่เป็นลบทีละพจน์ เพียงพอที่จะแสดงว่าการลู่เข้าของอนุกรมเหล่านี้หมายถึงการลู่เข้าของอนุกรมและสำหรับอนุกรมนั้น ดังนั้นการลู่เข้าของอนุกรมก็จะตามมาโดยนิยามของการลู่เข้าของอนุกรมค่าเชิงซ้อน ${\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {C} }$${\textstyle \sum \left[\operatorname {Re} \left(a_{k}\right)^{2}+\operatorname {Im} \left(a_{k}\right)^{2}\right]^{1/2}}$${\textstyle \sum \left|\operatorname {Re} \left(a_{k}\right)\right|}$${\textstyle \sum \left|\operatorname {Im} \left(a_{k}\right)\right|}$${\textstyle \sum \operatorname {Re} \left(a_{k}\right)}$${\textstyle \sum \ตัวดำเนินการ {Im} \left(a_{k}\right),}$${\textstyle \sum a_{k}=\sum \operatorname {Re} \left(a_{k}\right)+i\sum \operatorname {Im} \left(a_{k}\right)}$

จากการอภิปรายข้างต้นแสดงให้เห็นว่าเราจำเป็นต้องพิสูจน์เพียงว่าการลู่เข้าของจะนำไปสู่การลู่เข้าของ${\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {R} }$${\textstyle \sum a_{k}.}$

ให้เป็นอนุกรมลู่เข้า เนื่องจากเรามี เนื่องจากเป็นอนุกรมลู่เข้าดังนั้น เป็นลำดับย่อย ผล รวมย่อยที่มีขอบเขตและเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ และก็ต้องลู่เข้าด้วยเช่นกัน เมื่อสังเกตว่าเป็นผลต่างของอนุกรมลู่เข้า เราจึงสรุปได้ว่า ก็เป็นอนุกรมลู่เข้าเช่นกัน ตามที่ต้องการ ${\textstyle \sum \left|a_{k}\right|,a_{k}\in \mathbb {R} }$${\displaystyle 0\leq a_{k}+\left|a_{k}\right|\leq 2\left|a_{k}\right|,}$$${\displaystyle 0\leq \sum _{k=1}^{n}(a_{k}+\left|a_{k}\right|)\leq \sum _{k=1}^{n}2\left|a_{k}\right|.}$$${\textstyle \sum 2\left|a_{k}\right|}$${\textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)}$${\textstyle \sum \left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)}$${\textstyle \sum a_{k}=\sum \left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)-\sum \left|a_{k}\right|}$

โดยการใช้เกณฑ์โคชีสำหรับการลู่เข้าของอนุกรมเชิงซ้อน เราสามารถพิสูจน์ข้อเท็จจริงนี้ได้เช่นกันโดยเป็นการบ่งชี้อย่างง่ายของอสมการสามเหลี่ยม^{[ 2 ]} ตามเกณฑ์โคชีลู่เข้าก็ต่อเมื่อสำหรับใดๆจะมีอยู่เช่นนั้นสำหรับใดๆแต่อสมการสามเหลี่ยมบ่งชี้ว่าดังนั้นสำหรับใดๆซึ่งตรงกับเกณฑ์โคชีสำหรับ${\textstyle \sum |a_{i}|}$${\displaystyle \varepsilon >0,}$${\displaystyle N}$${\textstyle \left|\sum _{i=m}^{n}\left|a_{i}\right|\right|=\sum _{i=m}^{n}|a_{i}|<\varepsilon }$${\displaystyle n>m\geq N.}$${\textstyle {\big |}\sum _{i=m}^{n}a_{i}{\big |}\leq \sum _{i=m}^{n}|a_{i}|,}$${\textstyle \left|\sum _{i=m}^{n}a_{i}\right|<\varepsilon }$${\displaystyle n>m\geq N,}$${\textstyle \sum a_{i}.}$

ผลลัพธ์ข้างต้นสามารถขยายความได้ง่ายไปยังปริภูมิบานาคทุกปริภูมิ ให้เป็นอนุกรมลู่เข้าสัมบูรณ์ในเนื่องจากเป็นลำดับโคชีของจำนวนจริง สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ และ จำนวนธรรมชาติที่มากพอจะเป็นจริงว่า: ${\displaystyle (X,\|\,\cdot \,\|).}$${\textstyle \sum x_{n}}$${\displaystyle X.}$${\textstyle \sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle m>n}$$${\displaystyle \left|\sum _{k=1}^{m}\|x_{k}\|-\sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|\right|=\sum _{k=n+1}^{m}\|x_{k}\|<\varepsilon .}$$

โดยความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมสำหรับบรรทัดฐานǁ⋅ǁจะได้ทันทีว่า: ซึ่งหมายความว่าเป็นลำดับโคชีในดังนั้นอนุกรมจึงลู่เข้าใน^{[ 3 ]}$${\displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{m}x_{k}-\sum _{k=1}^{n}x_{k}\right\|=\left\|\sum _{k=n+1}^{m}x_{k}\right\|\leq \sum _{k=n+1}^{m}\|x_{k}\|<\varepsilon ,}$$${\textstyle \sum _{k=1}^{n}x_{k}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X.}$

เมื่ออนุกรมของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ การจัดเรียงหรือเรียงลำดับใหม่ของพจน์ในอนุกรมนั้นจะยังคงลู่เข้าสู่ค่าเดิมเสมอ ข้อเท็จจริงนี้เป็นเหตุผลหนึ่งที่ทำให้อนุกรมลู่เข้าอย่างสมบูรณ์มีประโยชน์ กล่าวคือ การแสดงให้เห็นว่าอนุกรมลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ช่วยให้สามารถจับคู่หรือจัดเรียงพจน์ใหม่ได้อย่างสะดวกโดยไม่เปลี่ยนแปลงค่าของผลรวม

ทฤษฎีบทการจัดเรียงใหม่ของรีมันน์แสดงให้เห็นว่าข้อความกลับก็เป็นจริงเช่นกัน กล่าวคือ อนุกรมจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนทุกชุดที่ไม่สามารถเรียงลำดับพจน์ใหม่เพื่อให้ได้ค่าที่แตกต่างออกไปได้นั้น จะลู่เข้าอย่างสมบูรณ์

คำว่าการลู่เข้าแบบไม่มีเงื่อนไขใช้เพื่ออ้างถึงอนุกรมที่การเรียงลำดับพจน์ใหม่ใดๆ ก็ยังคงลู่เข้าสู่ค่าเดิม สำหรับอนุกรมใดๆ ที่มีค่าอยู่ในกลุ่มอาเบเลียนแบบมีบรรทัดฐาน ตราบใดที่กลุ่มนั้นสมบูรณ์ อนุกรมทุกชุดที่ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ก็จะลู่เข้าแบบไม่มีเงื่อนไขด้วย ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

กล่าวอย่างเป็นทางการยิ่งขึ้น:

สำหรับอนุกรมที่มีสัมประสิทธิ์ทั่วไปมากขึ้น บทกลับจะซับซ้อนกว่า ดังที่กล่าวไว้ในส่วนก่อนหน้า สำหรับอนุกรมค่าจริงและค่าเชิงซ้อน การลู่เข้าแบบไม่มีเงื่อนไขย่อมหมายถึงการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์เสมอ อย่างไรก็ตาม ในกรณีทั่วไปของอนุกรมที่มีค่าอยู่ในกลุ่มอาเบเลียนที่มีบรรทัดฐานใดๆบทกลับไม่เป็นจริงเสมอไป กล่าวคือ อาจมีอนุกรมที่ไม่ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ แต่ลู่เข้าแบบไม่มีเงื่อนไขได้ ${\displaystyle G}$

ตัวอย่างเช่น ในปริภูมิบานาค ℓ ^∞อนุกรมหนึ่งที่ลู่เข้าอย่างไม่มีเงื่อนไขแต่ไม่ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์คือ: $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{n}}e_{n},}$$

โดยที่ฐานออร์โทนอร์มอล ทฤษฎีบทของA. DvoretzkyและC. A. Rogersยืนยันว่าทุกปริภูมิ Banach ที่มีมิติอนันต์จะมีอนุกรมลู่เข้าแบบไม่มีเงื่อนไขที่ไม่ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์^{[ 4 ]}${\displaystyle \{e_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$

สำหรับสิ่งใดๆเราสามารถเลือกบางสิ่งได้ดังนี้: ${\displaystyle \varepsilon >0,}$${\displaystyle \kappa _{\varepsilon },\lambda _{\varepsilon }\in \mathbb {N} ,}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ for all }}N>\kappa _{\varepsilon }&\quad \sum _{n=N}^{\infty }\|a_{n}\|<{\tfrac {\varepsilon }{2}}\\{\text{ for all }}N>\lambda _{\varepsilon }&\quad \left\|\sum _{n=1}^{N}a_{n}-A\right\|<{\tfrac {\varepsilon }{2}}\end{aligned}}}$$

ให้ โดยที่เป็นจำนวนธรรมชาติที่เล็กที่สุดที่ทำให้รายการนั้นประกอบด้วยพจน์ทั้งหมด(และอาจรวมถึงพจน์อื่นๆ ด้วย) $${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\varepsilon }&=\max \left\{\kappa _{\varepsilon },\lambda _{\varepsilon }\right\}\\M_{\sigma ,\varepsilon }&=\max \left\{\sigma ^{-1}\left(\left\{1,\ldots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)\right\}\end{aligned}}}$$${\displaystyle \sigma ^{-1}\left(\left\{1,\ldots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)=\left\{\sigma ^{-1}(1),\ldots ,\sigma ^{-1}\left(N_{\varepsilon }\right)\right\}}$${\displaystyle M_{\sigma ,\varepsilon }}$${\displaystyle a_{\sigma (1)},\ldots ,a_{\sigma \left(M_{\sigma ,\varepsilon }\right)}}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{N_{\varepsilon }}}$

สุดท้ายนี้ สำหรับจำนวนเต็ม ใดๆ ให้ เพื่อให้ และดังนั้น ${\displaystyle N>M_{\sigma ,\varepsilon }}$$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\sigma ,\varepsilon }&=\left\{1,\ldots ,N\right\}\setminus \sigma ^{-1}\left(\left\{1,\ldots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)\\S_{\sigma ,\varepsilon }&=\min \sigma \left(I_{\sigma ,\varepsilon }\right)=\min \left\{\sigma (k)\ :\ k\in I_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\\L_{\sigma ,\varepsilon }&=\max \sigma \left(I_{\sigma ,\varepsilon }\right)=\max \left\{\sigma (k)\ :\ k\in I_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\\\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|&\leq \sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}\left\|a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \sum _{j=S_{\sigma ,\varepsilon }}^{L_{\sigma ,\varepsilon }}\left\|a_{j}\right\|&&{\text{ since }}\sigma (I_{\sigma ,\varepsilon })\subseteq \left\{S_{\sigma ,\varepsilon },S_{\sigma ,\varepsilon }+1,\ldots ,L_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\\&\leq \sum _{j=N_{\varepsilon }+1}^{\infty }\left\|a_{j}\right\|&&{\text{ since }}S_{\sigma ,\varepsilon }\geq N_{\varepsilon }+1\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\sum _{i=1}^{N}a_{\sigma (i)}-A\right\|&=\left\|\sum _{i\in \sigma ^{-1}\left(\{1,\dots ,N_{\varepsilon }\}\right)}a_{\sigma (i)}-A+\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\left\|\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|\\&<\left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+{\frac {\varepsilon }{2}}\\&<\varepsilon \end{aligned}}}$$

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่า นั่นคือ: $${\displaystyle {\text{ for all }}\varepsilon >0,{\text{ there exists }}M_{\sigma ,\varepsilon },{\text{ for all }}N>M_{\sigma ,\varepsilon }\quad \left\|\sum _{i=1}^{N}a_{\sigma (i)}-A\right\|<\varepsilon ,}$$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)}=A.}$$

QED

ผลคูณโคชีของอนุกรมสองชุดจะลู่เข้าสู่ผลคูณของผลรวมก็ต่อเมื่ออนุกรมอย่างน้อยหนึ่งชุดลู่เข้าสัมบูรณ์ นั่นคือ สมมติว่า $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=A\quad {\text{ and }}\quad \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}=B.}$$

ผลคูณโคชี (Cauchy product) นิยามว่าคือผลรวมของพจน์ต่างๆโดยที่: ${\displaystyle c_{n}}$$${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.}$$

ถ้าผลรวมหรือผลรวมลู่เข้าอย่างสมบูรณ์แล้ว ${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle b_{n}}$$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}=AB.}$$

การลู่เข้าสัมบูรณ์ของอนุกรม คือการลู่เข้าสัมบูรณ์ของผลรวมของฟังก์ชันบนเซตหนึ่ง เราสามารถพิจารณาเซตที่นับได้และฟังก์ชันหนึ่ง ก่อน เราจะให้คำจำกัดความของผลรวมของฟังก์ชันบนเซตนั้น ด้านล่าง ซึ่งเขียนได้เป็น${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} .}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X,}$${\textstyle \sum _{x\in X}f(x).}$

ขั้นแรก โปรดทราบว่าเนื่องจาก ยังไม่มีการระบุการแจงนับ (หรือ "การจัดทำดัชนี") ที่เฉพาะ เจาะจงใดๆ จึงไม่สามารถเข้าใจอนุกรมนี้ได้จากนิยามพื้นฐานของอนุกรม อันที่จริง สำหรับตัวอย่างบางอย่างของและผลรวมของบนอาจไม่มีนิยามเลย เนื่องจากดัชนีบางอย่างอาจสร้างอนุกรมลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขได้ ${\displaystyle X}$${\textstyle \sum _{x\in X}f(x)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$

ดังนั้น เราจึงกำหนดเฉพาะในกรณีที่มีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งบางแบบที่ทำให้ลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ โปรดทราบว่าในที่นี้ "ลู่เข้าอย่างสมบูรณ์" ใช้คำจำกัดความพื้นฐานกว่า ซึ่งใช้กับอนุกรมที่มีดัชนี ในกรณีนี้ ค่าของผลรวมของเหนือ^{[ 5 ]}ถูกกำหนดโดย ${\textstyle \sum _{x\in X}f(x)}$${\displaystyle g:\mathbb {Z} ^{+}\to X}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f(g(n))}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle \sum _{x\in X}f(x):=\sum _{n=1}^{\infty }f(g(n))}$$

โปรดทราบว่าเนื่องจากอนุกรมลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ ดังนั้นการเรียงลำดับใหม่ทุกแบบจึงเหมือนกับการเลือกฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งที่แตกต่างกัน เนื่องจากผลรวมทั้งหมดเหล่านี้มีค่าเท่ากัน ดังนั้นผลรวมของบน จึง นิยามได้ดี ${\displaystyle g.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$

โดยทั่วไปแล้ว เราอาจนิยามผลรวมของจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบด้วยเมื่อจำนวนเต็มบวกเป็นจำนวนนับไม่ได้ แต่ก่อนอื่น เราต้องนิยามก่อนว่าผลรวมนั้นลู่เข้าหมายความว่าอย่างไร ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

ให้เป็นเซตใดๆ ไม่ว่าจะเป็นเซตที่นับได้หรือไม่นับได้ และเป็นฟังก์ชัน เรากล่าวว่าผลรวมของเหนือลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์ถ้า ${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle \sup \left\{\sum _{x\in A}|f(x)|:A\subseteq X,A{\text{ is finite }}\right\}<\infty .}$$

มีทฤษฎีบทหนึ่งกล่าวว่า ถ้าผลรวมของx หารด้วย x ลงตัวเป็นการลู่เข้าสัมบูรณ์แล้ว x จะมีค่าไม่เป็นศูนย์บนเซตที่มีสมาชิกอย่างมากที่สุดเป็นจำนวนนับได้ ดังนั้น นิยามต่อไปนี้จึงเป็นนิยามที่สอดคล้องกันของผลรวมของ x หารด้วย x เมื่อผลรวมนั้นลู่เข้าสัมบูรณ์ ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle \sum _{x\in X}f(x):=\sum _{x\in X:f(x)\neq 0}f(x).}$$

โปรดสังเกตว่าอนุกรมสุดท้ายใช้นิยามของอนุกรมบนเซตที่นับได้

ผู้เขียนบางคนกำหนดผลรวมแบบวนซ้ำให้ลู่เข้าสัมบูรณ์หากอนุกรมแบบวนซ้ำ^{[ 6 ]} ซึ่งในความเป็นจริงแล้วเทียบเท่ากับการลู่เข้าสัมบูรณ์ของ นั่นคือ ถ้าผลรวมของลู่เข้าสัมบูรณ์ตามที่กำหนดไว้ข้างต้น ผลรวมแบบวนซ้ำก็จะลู่เข้าสัมบูรณ์ และในทางกลับกัน ${\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{m,n}}$${\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }|a_{m,n}|<\infty .}$${\textstyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n}.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X,}$${\textstyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n},}$${\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{m,n}}$

กล่าวได้ว่าปริพันธ์ ของ ฟังก์ชันค่าจริงหรือค่าเชิงซ้อน ลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ถ้า นอกจากนี้ยังกล่าวได้ว่า สามารถหาปริพันธ์ได้อย่างสมบูรณ์ ประเด็นเรื่องการหาปริพันธ์ได้อย่างสมบูรณ์นั้นซับซ้อนและขึ้นอยู่กับว่ากำลังพิจารณาปริพันธ์ของรีมันน์เลเบสหรือเคิร์ซไวล์-เฮนสต็อก (เกจ) สำหรับปริพันธ์ของรีมันน์นั้น ยังขึ้นอยู่กับว่าเราพิจารณาเฉพาะการหาปริพันธ์ได้ในความหมายที่แท้จริง ( และทั้งสองแบบมีขอบเขต ) หรืออนุญาตให้พิจารณากรณีทั่วไปของปริพันธ์ที่ไม่เหมาะสมด้วย ${\textstyle \int _{A}f(x)\,dx}$${\textstyle \int _{A}\left|f(x)\right|\,dx<\infty .}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$

ตามคุณสมบัติมาตรฐานของปริพันธ์รีมันน์ เมื่อเป็นช่วง ที่มีขอบเขต ฟังก์ชันต่อเนื่อง ทุกฟังก์ชันจะมีขอบเขตและสามารถหาปริพันธ์ได้ (แบบรีมันน์) และเนื่องจากฟังก์ชันต่อเนื่องย่อมหมายถึงฟังก์ชันต่อเนื่อง ฟังก์ชันต่อเนื่องทุกฟังก์ชันจึงสามารถหาปริพันธ์สัมบูรณ์ได้ อันที่จริง เนื่องจากสามารถหาปริพันธ์รีมันน์ได้บนถ้า สามารถหาปริพันธ์ได้ (อย่างเหมาะสม) และเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ดังนั้น จึงสรุปได้ว่าสามารถหาปริพันธ์รีมันน์ได้อย่างเหมาะสม ถ้าเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง อย่างไรก็ตาม ข้อสรุปนี้ไม่เป็นจริงในกรณีของปริพันธ์ไม่เหมาะสม ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันสามารถหาปริพันธ์รีมันน์ไม่เหมาะสมได้บนโดเมนที่ไม่มีขอบเขต แต่ไม่สามารถหาปริพันธ์สัมบูรณ์ได้ ที่จริงแล้ว โดยทั่วไปแล้ว เมื่อกำหนดอนุกรมใดๆเราสามารถพิจารณาฟังก์ชันขั้นบันได ที่เกี่ยวข้อง ซึ่งกำหนดโดย จากนั้นจะลู่เข้าสัมบูรณ์ ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข หรือลู่ออกตามพฤติกรรมที่สอดคล้องกันของ${\displaystyle A=[a,b]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle |f|}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle |f|=|\cdot |\circ f}$${\displaystyle f}$${\textstyle f:[1,\infty )\to \mathbb {R} :x\mapsto {\frac {\sin x}{x}}}$$${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {1}{2}}{\bigl [}\pi -2\,\mathrm {Si} (1){\bigr ]}\approx 0.62,{\text{ but }}\int _{1}^{\infty }\left|{\frac {\sin x}{x}}\right|dx=\infty .}$$${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$${\displaystyle f_{a}:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f_{a}([n,n+1))=a_{n}.}$${\textstyle \int _{0}^{\infty }f_{a}\,dx}$${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}$

สถานการณ์จะแตกต่างออกไปสำหรับปริพันธ์เลเบส ซึ่งไม่ได้จัดการโดเมนการอินทิเกรตที่มีขอบเขตและไม่มีขอบเขตแยกกัน ( ดูด้านล่าง ) ข้อเท็จจริงที่ว่าปริพันธ์ของ นั้นไม่มีขอบเขตในตัวอย่างข้างต้น หมายความว่าก็ไม่สามารถอินทิเกรตได้ในความหมายของเลเบสเช่นกัน ในความเป็นจริง ในทฤษฎีการอินทิเกรตของเลเบส เมื่อ นั้นสามารถวัดได้ก็จะสามารถอินทิเกรตได้ (แบบเลเบส) ก็ต่อเมื่อ นั้นสามารถอินทิเกรตได้ (แบบเลเบส) อย่างไรก็ตาม สมมติฐานที่ว่า นั้นสามารถวัดได้นั้นมีความสำคัญมาก โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันที่สามารถอินทิเกรตได้อย่างสมบูรณ์บน นั้นไม่จำเป็นต้องอินทิเกรตได้เสมอไป (เพียงเพราะว่าฟังก์ชันเหล่านั้นอาจไม่สามารถวัดได้) ให้เป็นเซตย่อย ที่ไม่สามารถวัดได้ และพิจารณาโดยที่เป็นฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของ แล้ว นั้นไม่สามารถวัดได้แบบเลเบส และดังนั้นจึงไม่สามารถอินทิเกรตได้ แต่เป็นฟังก์ชันคงที่และสามารถอินทิเกรตได้อย่างชัดเจน ${\displaystyle |f|}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle |f|}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle S\subset [a,b]}$${\displaystyle f=\chi _{S}-1/2,}$${\displaystyle \chi _{S}}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle |f|\equiv 1/2}$

ในทางกลับกัน ฟังก์ชันหนึ่งอาจสามารถหาปริพันธ์ได้ด้วยวิธี Kurzweil-Henstock (หรือหาปริพันธ์ได้ด้วยวิธีเกจ) ในขณะที่อีกฟังก์ชันหนึ่งไม่สามารถหาปริพันธ์ได้ด้วยวิธีเดียวกัน ซึ่งรวมถึงกรณีของฟังก์ชันที่ไม่สามารถหาปริพันธ์ได้ด้วยวิธี Riemann อย่างถูกต้องด้วย ${\displaystyle f}$${\displaystyle |f|}$

โดยทั่วไปแล้ว ในปริภูมิการวัด ใดๆ อินทิกรัลเลเบสของฟังก์ชันค่าจริงจะถูกกำหนดในแง่ของส่วนบวกและส่วนลบ ดังนั้นข้อเท็จจริงคือ: ${\displaystyle A,}$

1. ${\displaystyle f}$อินทิกรัลหมายถึงอินทิกรัล${\displaystyle |f|}$
2. ${\displaystyle f}$วัดได้และหาปริพันธ์ได้ ย่อมหมายถึงหาปริพันธ์ได้${\displaystyle |f|}$${\displaystyle f}$

สิ่งเหล่านี้ล้วนเป็นส่วนหนึ่งของนิยามของปริพันธ์เลเบส โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การนำทฤษฎีนี้ไปใช้กับการวัดการนับบนเซต จะได้แนวคิดของการหาผลรวมแบบไม่เรียงลำดับของอนุกรมที่พัฒนาโดยมัวร์-สมิธ โดยใช้ (สิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่า) เน็ต เมื่อเป็นเซตของจำนวนธรรมชาติ ความสามารถในการหาปริพันธ์เลเบส ความสามารถในการหาผลรวมแบบไม่เรียงลำดับ และการลู่เข้าสัมบูรณ์ ล้วนเกิดขึ้นพร้อมกัน ${\displaystyle S,}$${\displaystyle S=\mathbb {N} }$

สุดท้ายนี้ สิ่งที่กล่าวมาทั้งหมดข้างต้นใช้ได้กับปริพันธ์ที่มีค่าอยู่ในปริภูมิบานาค นิยามของปริพันธ์รีมันน์ที่มีค่าอยู่ในปริภูมิบานาคเป็นการดัดแปลงที่ชัดเจนจากนิยามปกติ สำหรับปริพันธ์เลเบส จำเป็นต้องหลีกเลี่ยงการแยกส่วนออกเป็นส่วนบวกและส่วนลบด้วยวิธีการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน ของดาเนียล เพื่อให้ได้ ปริพันธ์บอคเนอร์

• ค่าหลักของโคชี  – วิธีการกำหนดค่าให้กับอินทิกรัล
• การลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข  – คุณสมบัติของอนุกรมอนันต์
• การลู่เข้าของอนุกรมฟูริเยร์  – ปัญหาทางคณิตศาสตร์ในการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกแบบคลาสสิก
• ทฤษฎีบทของฟูบินี  – เงื่อนไขสำหรับการสลับลำดับการอินทิเกรตในแคลคูลัส
• รูปแบบการบรรจบกัน (ดัชนีพร้อมคำอธิบาย)  – คุณสมบัติของลำดับหรืออนุกรมPages displaying short descriptions of redirect targets
• รัศมีของการลู่เข้า  – ขอบเขตการลู่เข้าของอนุกรมกำลัง
• ทฤษฎีบทอนุกรมรีมันน์  – อนุกรมที่ลู่เข้าอย่างไม่มีเงื่อนไข ลู่เข้าอย่างสมบูรณ์
• การลู่เข้าแบบไม่มีเงื่อนไข  – การลู่เข้าของลำดับที่ไม่ขึ้นกับลำดับ
• 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · ·  – อนุกรมอนันต์ที่หาผลรวมได้ถึง 1/3Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · ·  – อนุกรมอนันต์ที่ผลรวมเท่ากับ 1Pages displaying short descriptions of redirect targets