ทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์นามธรรมเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่นำแนวคิดและเทคนิคของทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์ แบบคลาสสิก มาประยุกต์ใช้ในสาขาคณิตศาสตร์ต่างๆ มากมายทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะแบบ คลาสสิก เป็นตัวอย่างต้นแบบ และเน้นที่ผลลัพธ์ของการกระจายเชิงเส้นกำกับ นามธรรม ทฤษฎีนี้ถูกคิดค้นและพัฒนาโดยนักคณิตศาสตร์ เช่นจอห์น นอปฟ์มาเคอร์และอาร์เน เบอร์ลิงในศตวรรษที่ 20

แนวคิดพื้นฐานที่เกี่ยวข้องคือแนวคิดของเซมิกรุปเชิงเลขคณิตซึ่งเป็นโมโนอิดสลับที่Gที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• มีเซตย่อยที่นับได้ (จำกัดหรือนับได้ไม่จำกัด) PของG อยู่ ซึ่งทุกสมาชิกa ≠ 1 ในGมีการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันในรูปแบบ

${\displaystyle a=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}}$

โดยที่p เป็นสมาชิกที่แตกต่างกันของP , α เป็นจำนวนเต็ม บวก , rอาจขึ้นอยู่กับaและการแยกตัวประกอบสองแบบจะถือว่าเหมือนกันหากแตกต่างกันเฉพาะลำดับของตัวประกอบที่ระบุเท่านั้น สมาชิกของPเรียกว่าจำนวนเฉพาะของG

• มีฟังก์ชันการแมปค่าบรรทัดฐานจริงบนG อยู่ โดยที่ ${\displaystyle |{\mbox{ }}|}$
  1. ${\displaystyle |1|=1}$
  2. ${\displaystyle |p|>1{\mbox{ สำหรับทุก }}p\in P}$
  3. ${\displaystyle |ab|=|a||b|{\mbox{ สำหรับทุก }}a,b\in G}$
  4. จำนวนองค์ประกอบ ทั้งหมด ของนอร์มนั้นมีจำนวนจำกัด สำหรับแต่ละจำนวนจริง${\displaystyle N_{G}(x)}$${\displaystyle a\in G}$${\displaystyle |a|\leq x}$${\displaystyle x>0}$

• ตัวอย่างต้นแบบของเซมิกรุปเชิงเลขคณิตคือเซมิกรุป การคูณ ของจำนวนเต็มบวกG = Z ⁺ = {1, 2, 3, ...} โดยมีเซตย่อยของจำนวนเฉพาะตรรกยะP = { 2, 3, 5, ...} ในที่นี้ ค่าบรรทัดฐานของจำนวนเต็มคือดังนั้น ซึ่ง เป็น จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่ไม่เกินx${\displaystyle ||n|=n}$${\displaystyle N_{G}(x)=\lfloor x\rfloor }$

• ถ้าKเป็นฟิลด์จำนวนพีชคณิต กล่าวคือส่วนขยายจำกัดของฟิลด์จำนวนตรรกยะQแล้ว เซตGของไอเดียล ที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด ในวงแหวนจำนวนเต็มO ของKจะก่อให้เกิดเซมิกรุปเชิงเลขคณิตที่มีเอกลักษณ์O และนอร์มของไอเดียลIจะกำหนดโดยจำนวนสมาชิกของวงแหวนผลหารO / Iในกรณีนี้ การสรุปทั่วไปที่เหมาะสมของทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะคือทฤษฎีบทไอเดียลเฉพาะของแลนเดา ซึ่งอธิบายการกระจายเชิงอะซิ มโทติกของไอเดียลในO

• สามารถพิจารณา หมวดหมู่ทางคณิตศาสตร์ต่างๆที่สอดคล้องกับทฤษฎีบทประเภท Krull-Schmidt ได้ ในทุกกรณีเหล่านี้ สมาชิกของGคือชั้นไอโซมอร์ฟิซึมในหมวดหมู่ ที่เหมาะสม และPประกอบด้วยชั้นไอโซมอร์ฟิซึมทั้งหมดของ วัตถุ ที่ไม่สามารถ แยกส่วนได้ กล่าว คือ วัตถุที่ไม่สามารถแยกส่วนได้เป็นผลคูณโดยตรงของวัตถุที่ไม่เป็นศูนย์ ตัวอย่างทั่วไปบางส่วนมีดังต่อไปนี้
  • หมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียนจำกัด ทั้งหมด ภายใต้การดำเนินการผลคูณโดยตรงและการแมปบรรทัดฐานตามปกติวัตถุที่ไม่สามารถแยกส่วนได้คือกลุ่มวัฏจักรที่มีอันดับกำลังของจำนวนเฉพาะ${\displaystyle |A|=\operatorname {card} (A).}$
  • หมวดหมู่ของ แมนิ โฟลด์รีมันน์ แบบ สมมาตร ทั่วโลกที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายและมี ขนาดกะทัดรัดทั้งหมด ภายใต้ผลคูณรีมันน์ของแมนิโฟลด์และการแมปนอร์มโดยที่c > 1 ถูกกำหนดไว้ และ dim Mแทนขนาดมิติของแมนิโฟลด์Mวัตถุที่ไม่สามารถแยกส่วนได้คือปริภูมิสมมาตรที่ไม่สามารถลดทอนได้ ซึ่งเชื่อมต่อกันอย่างง่ายและมีขนาดกะทัดรัด${\displaystyle |M|=c^{\dim M},}$
  • หมวดหมู่ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีจำกัดแบบซูโดเมตริก ทั้งหมด ภายใต้ การแมปผล รวมเชิงทอพอโลยีและบรรทัดฐานวัตถุที่ไม่สามารถแยกส่วนได้คือปริภูมิที่เชื่อมต่อกัน${\displaystyle |X|=2^{\operatorname {card} (X)}.}$

การใช้ฟังก์ชันเลขคณิตและฟังก์ชันซีตาเป็นเรื่องที่แพร่หลาย แนวคิดคือการขยายข้อโต้แย้งและเทคนิคต่างๆ ของฟังก์ชันเลขคณิตและฟังก์ชันซีตาในทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์แบบคลาสสิกไปสู่บริบทของเซมิกรุปเลขคณิตใดๆ ซึ่งอาจสอดคล้องกับสัจพจน์เพิ่มเติมหนึ่งข้อหรือมากกว่านั้น สัจพจน์ทั่วไปดังกล่าวมีดังต่อไปนี้ ซึ่งมักเรียกว่า "สัจพจน์ A" ในเอกสารทางวิชาการ:

• สัจพจน์ Aมีค่าคงที่บวกAและและค่าคงที่ที่ มีโดยที่^{[ 5 ]}${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle 0\leq \nu <\เดลต้า }$${\displaystyle N_{G}(x)=Ax^{\delta }+O(x^{\nu }){\mbox{ เมื่อ }}x\rightarrow \infty .}$

สำหรับเซมิกรุปเลขคณิตใดๆ ที่สอดคล้องกับสัจพจน์Aเรามีทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะนามธรรม ดังต่อไปนี้ : ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \pi _{G}(x)\sim {\frac {x^{\delta }}{\delta \log x}}{\mbox{ as }}x\rightarrow \infty }$

โดยที่ π G x ) = จำนวนองค์ประกอบทั้งหมดpในPที่มีนอร์ม | p | ≤ x

• สัจพจน์ Aซึ่งเป็นคุณสมบัติของระบบพลวัต
• ฟังก์ชันซีตาของเบอร์ลิง