หลักการของการกระทำเป็นพื้นฐานสำคัญของฟิสิกส์ ตั้งแต่กลศาสตร์คลาสสิกไปจนถึงกลศาสตร์ควอนตัมฟิสิกส์อนุภาคและ ทฤษฎีสั มพัทธภาพทั่วไป^{[ 1 ]}หลักการของการกระทำเริ่มต้นด้วยฟังก์ชันพลังงานที่เรียกว่าลากรางจ์ซึ่งอธิบายระบบทางกายภาพ ค่าสะสมของฟังก์ชันพลังงานนี้ระหว่างสองสถานะของระบบเรียกว่าการกระทำหลักการของการกระทำใช้แคลคูลัสของการแปรผันกับการกระทำ การกระทำขึ้นอยู่กับฟังก์ชันพลังงาน และฟังก์ชันพลังงานขึ้นอยู่กับตำแหน่ง การเคลื่อนที่ และปฏิสัมพันธ์ในระบบ การแปรผันของการกระทำทำให้สามารถอนุมานสมการการเคลื่อนที่ได้โดยไม่ต้องใช้เวกเตอร์หรือแรง

หลักการกระทำที่แตกต่างกันหลายประการนั้นแตกต่างกันในข้อจำกัดของเงื่อนไขเริ่มต้นและเงื่อนไขสุดท้าย ชื่อของหลักการกระทำได้วิวัฒนาการมาตามกาลเวลาและแตกต่างกันในรายละเอียดของจุดสิ้นสุดของเส้นทางและลักษณะของการเปลี่ยนแปลง หลักการกระทำควอนตัมได้ขยายและพิสูจน์หลักการคลาสสิกแบบเก่าโดยแสดงให้เห็นว่าเป็นผลโดยตรงจากรูปแบบการรบกวนควอนตัม หลักการกระทำเป็นพื้นฐานของกลศาสตร์ควอนตัมในเวอร์ชันของเฟย์นแมน ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป และทฤษฎีสนามควอนตัม

หลักการของการกระทำมีแอปพลิเคชันที่กว้างขวางในสาขาฟิสิกส์ รวมถึงปัญหามากมายในกลศาสตร์คลาสสิก แต่โดยเฉพาะอย่างยิ่งในปัญหาที่ทันสมัยของกลศาสตร์ควอนตัมและทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป แอปพลิเคชันเหล่านี้เพิ่มขึ้นและขยายตัวตลอดสองศตวรรษควบคู่ไปกับความก้าวหน้าของวิธีการและพัฒนาการทางคณิตศาสตร์ที่เพิ่มขึ้น

บทความนี้แนะนำแนวคิดหลักการปฏิบัติ และสรุปบทความอื่นๆ ที่ให้รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับแนวคิดและหลักการเฉพาะต่างๆ

หลักการของการกระทำเป็นแนวทางแบบ " อินทิกรัล " มากกว่าแนวทางแบบ " เชิงอนุพันธ์ " ของกลศาสตร์นิวตัน [ ^{2 ] : 162} แนวคิดหลักนั้นขึ้นอยู่กับพลังงาน เส้นทาง ฟังก์ชันพลังงานที่เรียกว่าลากรางเจียนตามเส้นทาง และการเลือกเส้นทางตาม "การกระทำ" ซึ่งเป็นผลรวมต่อเนื่องหรืออินทิกรัลของลากรางเจียนตามเส้นทาง

การศึกษาเบื้องต้นเกี่ยวกับกลศาสตร์ ซึ่งเป็นวิทยาศาสตร์ของวัตถุที่มีปฏิสัมพันธ์กัน โดยทั่วไปจะเริ่มต้นด้วยกฎของนิวตันโดยอิงจากแนวคิดของแรงซึ่งกำหนดโดยความเร่งที่เกิดขึ้นเมื่อแรงกระทำต่อมวล : F = maแนวทางกลศาสตร์นี้มุ่งเน้นไปที่จุดเดียวในอวกาศและเวลา โดยพยายามตอบคำถามว่า "อะไรจะเกิดขึ้นต่อไป?" ^{[ 3 ]}กลศาสตร์ที่อิงตามหลักการของการกระทำเริ่มต้นด้วยแนวคิดของการกระทำซึ่งเป็นการแลกเปลี่ยนพลังงาน ระหว่าง พลังงานจลน์และพลังงานศักยภาพซึ่งกำหนดโดยฟิสิกส์ของปัญหา แนวทางเหล่านี้ตอบคำถามที่เกี่ยวข้องกับจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด: วิถีใดที่จะทำให้ลูกบาสเก็ตบอลลงห่วง? ถ้าเราปล่อยจรวดไปดวงจันทร์ในวันนี้ มันจะลงจอดที่นั่นได้อย่างไรใน 5 วัน? ^{[ 3 ]}รูปแบบของนิวตันและหลักการของการกระทำนั้นเทียบเท่ากัน และทั้งสองแบบสามารถแก้ปัญหาเดียวกันได้ แต่การเลือกรูปแบบที่เหมาะสมจะทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นมาก

ฟังก์ชันพลังงานในหลักการกระทำไม่ใช่พลังงานทั้งหมด ( ซึ่งอนุรักษ์ไว้ในระบบที่แยกตัว ) แต่เป็นลากรางจ์ซึ่งเป็นผลต่างระหว่างพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ พลังงานจลน์รวมพลังงานของการเคลื่อนที่สำหรับวัตถุทั้งหมดในระบบ พลังงานศักย์ขึ้นอยู่กับตำแหน่งทันทีของวัตถุและขับเคลื่อนการเคลื่อนที่ของวัตถุ การเคลื่อนที่ของวัตถุทำให้วัตถุอยู่ในตำแหน่งใหม่ที่มีค่าพลังงานศักย์ใหม่ ทำให้ลากรางจ์มีค่าใหม่^{[ 4 ] : 125}

การใช้พลังงานแทนแรงให้ข้อได้เปรียบในทันทีในฐานะพื้นฐานของกลศาสตร์ กลศาสตร์ของแรงเกี่ยวข้องกับ แคลคูลัสเวกเตอร์สามมิติโดยมีพิกัดพื้นที่สามพิกัดและพิกัดโมเมนตัมสามพิกัดสำหรับแต่ละวัตถุในสถานการณ์ พลังงานเป็นขนาดสเกลาร์ที่รวมข้อมูลจากวัตถุทั้งหมด ทำให้เกิดความเรียบง่ายในทันทีในหลายกรณี ส่วนประกอบของแรงจะแปรผันตามระบบพิกัด ค่าพลังงานจะเท่ากันในทุกระบบพิกัด^{[ 5 ] : xxv} แรงต้องการกรอบอ้างอิงเฉื่อย^{[ 6 ] : 65} เมื่อความเร็วเข้าใกล้ความเร็วแสง ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษจะส่งผลกระทบอย่างมากต่อกลศาสตร์ที่อิงตามแรง ในหลักการของการกระทำ ทฤษฎีสัมพัทธภาพเพียงต้องการลากรางจ์ที่แตกต่างกัน หลักการนั้นเองเป็นอิสระจากระบบพิกัด^{[ 7 ]}

แผนภาพอธิบายในกลศาสตร์เชิงแรงมักจะเน้นที่จุดเดียว เช่นศูนย์กลางของโมเมนตัมและแสดงเวกเตอร์ของแรงและความเร็ว แผนภาพอธิบายของกลศาสตร์เชิงการกระทำมีสองจุดพร้อมเส้นทางจริงและเส้นทางที่เป็นไปได้ที่เชื่อมต่อกัน^{[ 8 ]}ข้อกำหนดแผนภาพเหล่านี้ย้ำจุดแข็งที่แตกต่างกันของแต่ละวิธี

ภาพประกอบแสดงแรง

ภาพประกอบแผนผังช่วยอธิบายหลักการปฏิบัติ

ขึ้นอยู่กับหลักการกระทำ จุดสองจุดที่เชื่อมต่อกันด้วยเส้นทางในแผนภาพอาจแทนตำแหน่งของอนุภาคสองตัวในช่วงเวลาที่ต่างกัน หรือจุดสองจุดนั้นอาจแทนค่าในปริภูมิการจัดเรียงหรือในปริภูมิเฟสเทคโนโลยีทางคณิตศาสตร์และศัพท์เฉพาะของหลักการกระทำสามารถเรียนรู้ได้โดยการคิดในแง่ของปริภูมิทางกายภาพ จากนั้นจึงนำไปประยุกต์ใช้ในปริภูมิเชิงนามธรรมที่ทรงพลังและทั่วไปกว่า

หลักการกระทำจะกำหนดหมายเลข—การกระทำ—ให้กับเส้นทางที่เป็นไปได้แต่ละเส้นทางระหว่างสองจุด หมายเลขนี้คำนวณโดยการเพิ่มค่าพลังงานสำหรับแต่ละส่วนเล็กๆ ของเส้นทางคูณด้วยเวลาที่ใช้ในส่วนนั้น: ^{[ 8 ]}

การกระทำ${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\bigl (}{\text{KE}}(t)-{\text{PE}}(t){\bigr )}\,dt,}$

โดยที่รูปแบบของพลังงานจลน์ ( KE ) และพลังงานศักย์ ( PE ) ขึ้นอยู่กับปัญหาทางฟิสิกส์ และค่าของพลังงานเหล่านั้น ณ แต่ละจุดบนเส้นทางจะขึ้นอยู่กับพิกัดสัมพัทธ์ที่สอดคล้องกับจุดนั้น ฟังก์ชันพลังงานเรียกว่าลากรางเจียน ในปัญหาที่ง่ายกว่านั้น ลากรางเจียนคือพลังงานจลน์ลบด้วยพลังงานศักย์ของระบบ

ในกลศาสตร์คลาสสิก ระบบที่เคลื่อนที่ระหว่างสองจุดจะใช้เส้นทางเฉพาะเส้นหนึ่งเท่านั้น เส้นทางอื่นที่คล้ายกันจะไม่เกิดขึ้น เส้นทางที่เป็นไปได้แต่ละเส้นจะสอดคล้องกับค่าของการกระทำ หลักการของการกระทำทำนายหรืออธิบายว่าเส้นทางเฉพาะที่เลือกนั้นจะมีค่าคงที่สำหรับการกระทำของระบบ เส้นทางที่คล้ายกันซึ่งอยู่ใกล้กับเส้นทางที่เลือกจะมีค่าการกระทำที่คล้ายคลึงกันมาก ความแปรผันของค่าการกระทำนี้เป็นกุญแจสำคัญของหลักการของการกระทำ

ในกลศาสตร์ควอนตัม เส้นทางที่เป็นไปได้ทุกเส้นทางจะส่งผลต่อแอมพลิจูดของพฤติกรรมของระบบ โดยเฟสของแต่ละแอมพลิจูดจะถูกกำหนดโดยแอคชั่นสำหรับเส้นทางนั้น (เฟส = ⁠)การกระทำ/ชมเส้นทางแบบดั้งเดิมเกิดขึ้นเนื่องจาก :

• เฉพาะบริเวณใกล้เส้นทางของการกระทำที่หยุดนิ่งเท่านั้นที่เส้นทางข้างเคียงจะมีเฟสที่คล้ายกัน ซึ่งนำไปสู่การแทรกสอดแบบเสริมกัน
• เส้นทางที่อยู่ใกล้เคียงมีการกระทำที่เปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วโดยมีเฟสที่รบกวนเส้นทางอื่น ๆ

เมื่อขนาดของปัญหาใหญ่กว่าค่าคงที่ของพลังค์ħ (ขีดจำกัดแบบคลาสสิก) มาก เส้นทางการกระทำแบบอยู่ตัวเท่านั้นที่จะรอดพ้นจากการรบกวน

สัญลักษณ์δใช้เพื่อระบุความแปรผัน ของเส้นทาง ดังนั้นหลักการกระทำจึงปรากฏในรูปทางคณิตศาสตร์ดังนี้

${\displaystyle (\delta S)_{C}=0,}$

หมายความว่า ณจุดนิ่งการเปลี่ยนแปลงของการกระทำSที่มีข้อจำกัดคงที่C บางอย่าง จะเป็นศูนย์^{[ 9 ] : 38} สำหรับหลักการของการกระทำ จุดนิ่งอาจเป็นจุดต่ำสุดหรือจุดอานม้าแต่ไม่ใช่จุดสูงสุด^{[ 10 ]}วงโคจรวงรีของดาวเคราะห์เป็นตัวอย่างง่ายๆ ของสองเส้นทางที่มีการกระทำเท่ากัน – เส้นทางหนึ่งในแต่ละทิศทางรอบวงโคจร ไม่มีเส้นทางใดเป็นจุดต่ำสุดหรือ "การกระทำน้อยที่สุด" ^{[ 2 ] : 175} การเปลี่ยนแปลงเส้นทางที่บ่งบอกโดยδไม่เหมือนกับอนุพันธ์เช่นdtปริพันธ์ของการกระทำขึ้นอยู่กับพิกัดของวัตถุ และพิกัดเหล่านี้ขึ้นอยู่กับเส้นทางที่ใช้ ดังนั้นปริพันธ์ของการกระทำจึงเป็นฟังก์ชันฟังก์ชันของฟังก์ชัน

ผลลัพธ์ที่สำคัญจากเรขาคณิตที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทของ Noetherระบุว่าปริมาณอนุรักษ์ใดๆ ใน Lagrangian บ่งบอกถึงสมมาตรต่อเนื่อง และในทางกลับกัน^{[ 11 ]}ตัวอย่างเช่น Lagrangian ที่ไม่ขึ้นกับเวลาจะสอดคล้องกับระบบที่มีพลังงานอนุรักษ์ การไม่ขึ้นกับการแปลเชิงพื้นที่บ่งบอกถึงการอนุรักษ์โมเมนตัม ความไม่แปรเปลี่ยนของการหมุนเชิงมุมบ่งบอกถึงการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม^{[ 12 ] : 489} ตัวอย่างเหล่านี้เป็นสมมาตรทั่วโลก ซึ่งความเป็นอิสระนั้นเองก็ไม่ขึ้นกับพื้นที่หรือเวลา สมมาตร เฉพาะที่ ทั่วไปกว่า ซึ่งขึ้นอยู่กับพื้นที่หรือเวลาในเชิงฟังก์ชันนำไปสู่ทฤษฎีเกจ [ ^{13 ] การ}อนุรักษ์ไอโซสปิน ที่สังเกตได้ ถูกนำมาใช้โดยYang Chen-NingและRobert Millsในปี 1953 เพื่อสร้างทฤษฎีเกจสำหรับเมซอนซึ่งนำไปสู่ทฤษฎีฟิสิกส์อนุภาคสมัยใหม่ ในอีกหลายทศวรรษต่อ มา^{[ 14 ] : 202}

หลักการของการกระทำใช้ได้กับปัญหาทางฟิสิกส์ที่หลากหลาย รวมถึงฟิสิกส์พื้นฐานทั้งหมด ข้อยกเว้นที่สำคัญเพียงอย่างเดียวคือกรณีที่เกี่ยวข้องกับแรงเสียดทานหรือเมื่อกำหนดเฉพาะตำแหน่งและความเร็วเริ่มต้นเท่านั้น^{[ 3 ]}หลักการของการกระทำที่แตกต่างกันมีความหมายที่แตกต่างกันสำหรับรูปแบบต่างๆ การประยุกต์ใช้หลักการของการกระทำแต่ละแบบต้องใช้ Lagrangian เฉพาะที่อธิบายฟิสิกส์ ชื่อทั่วไปสำหรับหลักการเหล่านี้ทั้งหมดหรือบางส่วนคือ "หลักการของการกระทำน้อยที่สุด" สำหรับการอภิปรายเกี่ยวกับชื่อและที่มาทางประวัติศาสตร์ของหลักการเหล่านี้ โปรดดูที่ ชื่อหลักการของการกระทำ

เมื่อพลังงานรวมและจุดปลายคงที่หลักการกระทำน้อยที่สุดของ Maupertuisจะใช้ได้ ตัวอย่างเช่น ในการทำคะแนนในบาสเกตบอล ลูกบอลต้องออกจากมือของผู้ยิงและผ่านห่วง แต่เวลาในการบินไม่ได้ถูกจำกัด^{[ 3 ]}หลักการกระทำน้อยที่สุดของ Maupertuis เขียนทางคณิตศาสตร์เป็นเงื่อนไขคงที่ ของการกระทำแบบย่อ (บางครั้งเขียนว่าS ₀ ) โดยที่p = ( p ₁ , p ₂ ,…, p _N )คือโมเมนตัมของอนุภาคหรือโมเมนตัมคู่ควบของพิกัดทั่วไปซึ่งกำหนดโดยสมการ ที่L ( q , q̇ , t )คือLagrangianตำราเรียนบางเล่มเขียน^{[ 15 ] : 76 [ 9 ] : 356} ( δW ) _E = 0เป็นΔ S ₀เพื่อเน้นว่าการเปลี่ยนแปลงที่ใช้ในรูปแบบของหลักการกระทำนี้แตกต่างจาก การเปลี่ยนแปลง ของHamiltonในที่นี้พลังงานรวมEจะคงที่ในระหว่างการเปลี่ยนแปลง แต่ไม่ใช่เวลา ซึ่งเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับข้อจำกัดของหลักการของแฮมิลตัน^{[ 16 ]}ด้วยเหตุนี้ เส้นทางและจุดสิ้นสุดเดียวกันจึงใช้เวลาและพลังงานที่แตกต่างกันในสองรูปแบบ ในกรณีของหลักการของโมแปร์ตุยส์ในรูปแบบนี้ คำตอบคือวงโคจร : ฟังก์ชันที่เชื่อมโยงพิกัดเข้าด้วยกัน โดยที่เวลาเป็นเพียงดัชนีหรือพารามิเตอร์^{[ 16 ]}$${\displaystyle (\เดลต้า W)_{E}=0}$$$${\displaystyle W[\mathbf {q} ]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{q_{1}}^{q_{2}}\mathbf {p} \cdot \mathbf {dq} ,}$$$${\displaystyle p_{k}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}},}$$

สำหรับระบบที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา การกระทำจะเกี่ยวข้องกับการกระทำแบบย่อWบนเส้นทางคงที่ดัง^{[ 9 ] : 434} สำหรับพลังงานEและความแตกต่างของเวลาΔ t = t ₂ − t ₁สำหรับวัตถุแข็งเกร็งที่ไม่มีแรงสุทธิ การกระทำจะเหมือนกัน และหลักการแปรผันจะเทียบเท่ากับหลักการของแฟร์มาต์เรื่องเวลาที่น้อยที่สุด: ^{[ 9 ] : 360} ${\displaystyle S}$$${\displaystyle \Delta S=\Delta WE\Delta t}$$$${\displaystyle \delta (t_{2}-t_{1})=0.}$$

เมื่อปัญหาฟิสิกส์ให้จุดปลายทั้งสองเป็นตำแหน่งและเวลา นั่นคือเป็นเหตุการณ์หลักการกระทำของแฮมิลตันจะถูกนำมาใช้ ตัวอย่างเช่น ลองนึกภาพการวางแผนการเดินทางไปดวงจันทร์ ในระหว่างการเดินทาง ดวงจันทร์จะยังคงโคจรรอบโลกต่อไป นั่นคือเป้าหมายที่เคลื่อนที่ หลักการของแฮมิลตันสำหรับวัตถุที่ตำแหน่ง_q (t) เขียนทางคณิตศาสตร์ได้ดังนี้ ข้อจำกัด Δt = t2 − t1หมายความว่า _{เราพิจารณา} เฉพาะเส้นทางที่ใช้เวลาเท่ากัน รวมถึงเชื่อมต่อจุดสองจุดเดียวกันคือq(t1) และ q ( _t2 ) ลากรางจ์คือผลต่างระหว่างพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ที่แต่ละจุดบนเส้นทาง^{[ 17 ] : 62} การแก้สมการที่ได้จะให้เส้นโลกq ( t ) ^{[ 3 ]}เริ่มต้นด้วยหลักการของแฮมิลตัน สมการออยเลอร์-ลากรางจ์เชิงอนุพันธ์เฉพาะที่สามารถหาได้สำหรับระบบที่มีพลังงานคงที่ การกระทำในหลักการของแฮมิลตันคือการแปลงเลอจองเดอร์ของการกระทำในหลักการของโมแปร์ตุยส์^{[ 18 ]}$${\displaystyle (\delta {\mathcal {S}})_{\Delta t}=0,\quad {\text{where}}\ {\mathcal {S}}[\mathbf {q} ]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt.}$$${\displaystyle L=T-V}$${\displaystyle S}$

แนวคิดและวิธีการหลายอย่างที่มีประโยชน์สำหรับกลศาสตร์อนุภาคยังใช้ได้กับสนามต่อเนื่องด้วย อินทิกรัลการกระทำจะวิ่งผ่านความหนาแน่นลากรางจ์ แต่แนวคิดนั้นใกล้เคียงกันมากจนความหนาแน่นมักจะถูกเรียกว่าลากรางจ์เฉยๆ^{[ 19 ] : 15}

สำหรับกลศาสตร์ควอนตัม หลักการของการกระทำมีข้อดีที่สำคัญ: จำเป็นต้องใช้สมมติฐานทางกลเพียงข้อเดียว หากใช้ Lagrangian แบบโคแวเรียนต์ในการกระทำ ผลลัพธ์จะถูกต้องตามหลักสัมพัทธภาพ และการเปลี่ยนผ่านไปสู่สิ่งที่เทียบเท่าแบบคลาสสิกก็ชัดเจน^{[ 2 ] : 128}

ทั้งRichard FeynmanและJulian Schwingerพัฒนาหลักการแอคชั่นควอนตัมโดยอิงจากงานในช่วงแรกของPaul Diracวิธีการอินทิกรัลของ Feynman ไม่ใช่หลักการแปรผัน แต่ลดรูปเป็นหลักการแอคชั่นน้อยที่สุดแบบคลาสสิก ซึ่งนำไปสู่แผนภาพ Feynman ของเขา วิธีการเชิงอนุพันธ์ของ Schwinger เชื่อมโยงการเปลี่ยนแปลงแอมพลิจูดที่เล็กมากกับการเปลี่ยนแปลงแอคชั่นที่เล็กมาก^{[ 2 ] : 138}

เมื่อผลกระทบควอนตัมมีความสำคัญ จำเป็นต้องมีหลักการกระทำใหม่ แทนที่จะเป็นอนุภาคที่เคลื่อนที่ตามเส้นทาง กลศาสตร์ควอนตัมกำหนดแอมพลิจูดความน่าจะเป็นψ ( x _k , t )ณ จุดx _kและเวลาtที่เกี่ยวข้องกับแอมพลิจูดความน่าจะเป็น ณ จุดอื่นในเวลาต่อมา โดยที่S ( x _{k + 1} , x _k )คือการกระทำแบบคลาสสิก^{[ 20 ]} แทนที่จะเป็นเส้นทางเดียวที่มีการกระทำคงที่ เส้นทางที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะรวมกัน (อินทิกรัลเหนือx _k ) โดยมีน้ำหนักด้วยแอมพลิจูดความน่าจะเป็นเชิงซ้อนe ^{iS ⁄ ħ}เฟสของแอมพลิจูดกำหนดโดยการกระทำหารด้วยค่าคงที่ของพลังค์หรือควอนตัมของการกระทำ: ⁠$${\displaystyle \psi (x_{k+1},t+\varepsilon )={\frac {1}{A}}\int e^{{\frac {i}{\hbar }}S(x_{k+1},x_{k})}\psi (x_{k},t)\,dx_{k},}$$เอส/ชมเมื่อ การ กระทำของอนุภาคมีขนาดใหญ่กว่า ħ มากเอส/ชม⁠ ≫ 1เฟสจะเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วตามเส้นทาง: แอมพลิจูดเฉลี่ยเป็นจำนวนเล็กน้อย ^{[ 8 ]} ดังนั้นค่าคงที่ของพลังค์จึงกำหนดขอบเขตระหว่างกลศาสตร์คลาสสิกและกลศาสตร์ควอนตัม ^{[ 21 ]}

เส้นทางทั้งหมดมีส่วนร่วมในหลักการของการกระทำควอนตัม ณ จุดสิ้นสุดที่เส้นทางมาบรรจบกัน เส้นทางที่มีเฟสคล้ายกันจะบวกกัน และเส้นทางที่มีเฟสต่างกันπจะหักลบกัน ใกล้กับเส้นทางที่คาดหวังจากฟิสิกส์คลาสสิก เฟสมีแนวโน้มที่จะสอดคล้องกัน แนวโน้มนี้จะแข็งแกร่งขึ้นสำหรับวัตถุที่มีมวลมากกว่าซึ่งมีค่าการกระทำที่มากกว่า ในขีดจำกัดคลาสสิก เส้นทางหนึ่งจะเด่นกว่า นั่นคือเส้นทางของการกระทำที่คงที่^{[ 22 ]}

แนวทางของ Schwinger เชื่อมโยงความแปรผันในแอมพลิจูดการเปลี่ยนผ่าน( q _f | q _i )กับความแปรผันในองค์ประกอบเมทริกซ์การกระทำ:

${\displaystyle \delta (q_{r_{\text{f}}}|q_{r_{\text{i}}})=i(q_{r_{\text{f}}}|\delta S|q_{r_{\text{i}}}),}$

โดยที่ตัวดำเนินการคือ

${\displaystyle S=\int _{t_{\text{i}}}^{t_{\text{f}}}L\,dt.}$

รูปแบบ Schwinger ทำให้การวิเคราะห์การเปลี่ยนแปลงของ Lagrangian เอง เช่น การเปลี่ยนแปลงในความแรงของแหล่งกำเนิดศักยภาพ มีความโปร่งใสเป็นพิเศษ^{[ 2 ] : 138}

สำหรับทุกเส้นทาง ค่าอินทิกรัลของการกระทำจะเพิ่มขึ้นจากศูนย์ที่จุดเริ่มต้นไปจนถึงค่าสุดท้ายที่จุดสิ้นสุด เส้นทางที่อยู่ใกล้เคียงกันจะมีค่าใกล้เคียงกันที่ระยะทางใกล้เคียงกันจากจุดเริ่มต้น สามารถลากเส้นหรือพื้นผิวที่มีค่าการกระทำบางส่วนคงที่ข้ามเส้นทางเหล่านั้นได้ ทำให้เกิดมุมมองแบบคลื่นของการกระทำ การวิเคราะห์เช่นนี้เชื่อมโยงรังสีคล้ายอนุภาคของทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตเข้ากับหน้าคลื่นของหลักการของฮุยเกนส์-เฟรสเนล

[โมแปร์ตุยส์] …จึงชี้ให้เห็นถึงความคล้ายคลึงที่น่าทึ่งระหว่างปรากฏการณ์ทางแสงและทางกล ซึ่งจอห์น เบอร์นูลลี ได้สังเกตเห็นมาก่อนหน้า นี้ และต่อมาได้รับการพัฒนาอย่างสมบูรณ์ในทฤษฎีทางแสงและกลศาสตร์อันชาญฉลาดของแฮมิลตัน ความคล้ายคลึงนี้มีบทบาทพื้นฐานในการพัฒนากลศาสตร์คลื่นสมัยใหม่

หลักการของการกระทำถูกนำมาใช้เพื่อหาอนุพันธ์ของสมการ เช่นสมการออยเลอร์-ลากรางจ์^{[ 9 ] : 44} หรือเป็นการประยุกต์ใช้โดยตรงกับปัญหาทางกายภาพ

หลักการของการกระทำสามารถนำไปใช้กับปัญหาต่างๆ ในกลศาสตร์คลาสสิกได้ โดยตรง เช่น รูปทรงของแท่งยืดหยุ่นภายใต้ภาระ^{[ 23 ] : 9} รูปทรงของของเหลวระหว่างแผ่นแนวตั้งสองแผ่น (หลอดแคปิลลารี ) ^{[ 23 ] : 22} หรือการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มเมื่อฐานรองเคลื่อนที่^{[ 23 ] : 39}

หลักการของการกระทำควอนตัมถูกนำมาใช้ในทฤษฎีควอนตัมของอะตอมในโมเลกุล ( QTAIM ) ซึ่งเป็นวิธีการแยกความหนาแน่นของอิเล็กตรอนที่คำนวณได้ของโมเลกุลออกเป็นอะตอม เพื่อให้ได้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับพันธะเคมี^{[ 24 ]}

ด้วยแรงบันดาลใจจากงานของไอน์สไตน์เกี่ยวกับทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปนักคณิตศาสตร์ชื่อดังอย่างเดวิด ฮิลเบิร์ตได้นำหลักการของการกระทำน้อยที่สุดมาใช้เพื่อหาอนุพันธ์ของสมการสนามของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป^{[ 25 ] : 186} การกระทำของเขา ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อการกระทำของไอน์สไตน์-ฮิลเบิร์ต

${\displaystyle S={\frac {1}{2\kappa }}\int R{\sqrt {-g}}\,d^{4}x,}$

ประกอบด้วยองค์ประกอบปริมาตรที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามสัมพัทธภาพ√ − g d ⁴ xและความโค้งสเกลาร์ริชชีRตัวประกอบมาตราส่วนคือค่าคงที่ความโน้มถ่วงของไอน์สไตน์ ${\displaystyle \kappa }$

หลักการของการกระทำมีความสำคัญอย่างยิ่งในฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ สมัยใหม่ จึงมีการประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวาง รวมถึงในอุณหพลศาสตร์ [ ^{26 ] [ 27 ] [ 28 ]}กลศาสตร์ของไหล [ ^{29 ]}ทฤษฎีสัมพัทธ^ภาพกลศาสตร์ควอนตั^ม[ 30 ^{] ฟิสิกส์}อนุภาคและทฤษฎีสตริง^{[ 31 ]}

หลักการกระทำนั้นมีมาก่อนแนวคิดก่อนหน้านี้ในด้านทัศนศาสตร์ในสมัยกรีกโบราณยูคลิดเขียนไว้ในหนังสือ Catoptrica ของเขา ว่า สำหรับเส้นทางของแสงที่สะท้อนจากกระจกมุมตกกระทบจะเท่ากับมุมสะท้อน^{[ 32 ]} ต่อ มา เฮโรแห่งอเล็กซานเดรียได้แสดงให้เห็นว่าเส้นทางนี้มีความยาวที่สั้นที่สุดและใช้เวลาน้อยที่สุด^{[ 33 ]}

โดยอาศัยผลงานในช่วงแรกของPierre Louis Maupertuis , Leonhard EulerและJoseph-Louis Lagrangeที่กำหนดเวอร์ชันของหลักการของการกระทำน้อยที่สุด [ ^{34 ] : 580} William Rowan HamiltonและCarl Gustav Jacob Jacobiได้พัฒนารูปแบบแปรผันสำหรับกลศาสตร์คลาสสิกที่รู้จักกันในชื่อ^สมการ Hamilton–Jacobi [ ^{35 ] : 201}

ในปี พ.ศ. 2458 เดวิด ฮิลเบิร์ตได้นำหลักการแปรผันมาใช้เพื่อหา สมการสัม พัทธภาพทั่วไปของอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์^{[ 36 ]}

ในปี พ.ศ. 2476 นักฟิสิกส์Paul Diracได้สาธิตให้เห็นว่าหลักการนี้สามารถนำไปใช้ในการคำนวณควอนตัมได้อย่างไร โดยการแยกแยะพื้นฐานทางกลศาสตร์ควอนตัมของหลักการนี้ในการรบกวนค วอนตัม ของแอมพลิจูด^{[ 37 ]}ต่อมาJulian SchwingerและRichard Feynmanได้นำหลักการนี้ไปใช้ในควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์โดยอิสระ^{[ 38 ] [ 39 ]}