ในทางคณิตศาสตร์พหุนามบวกเป็นหัวข้อสำคัญในทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต แบบคลาสสิ ก

ให้เป็นฟิลด์ที่ มี ลักษณะเฉพาะเป็นจำนวนเฉพาะพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในเรียกว่าพหุนามบวกหรือพหุนามโฟรเบนิอุสถ้า ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle k}$

$${\displaystyle P(a+b)=P(a)+P(b)}$$

ในฐานะพหุนามในและ. เทียบเท่ากับการสมมติว่าความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริงสำหรับทุกและในฟิลด์อนันต์บางฟิลด์ที่มี อยู่เช่นการปิดเชิงพีชคณิต ของ มัน ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle k}$

บางครั้ง จะใช้ การบวกแบบสัมบูรณ์สำหรับเงื่อนไขข้างต้น และ ใช้ การบวกสำหรับเงื่อนไขที่อ่อนกว่าสำหรับทุกๆและในฟิลด์^{[ 1 ]}สำหรับฟิลด์อนันต์ เงื่อนไขจะเทียบเท่ากัน^{[ 2 ]}แต่สำหรับฟิลด์จำกัด เงื่อนไข จะไม่เทียบเท่ากัน และเงื่อนไขที่อ่อนกว่านั้นถือว่า "ผิด" เนื่องจากไม่เป็นไปตามที่คาดหวัง ตัวอย่างเช่น สำหรับฟิลด์ที่มีอันดับใดๆ ก็ตาม ที่เป็นพหุคูณ ของจะสอดคล้องกับทุกๆและในฟิลด์ แต่โดยปกติแล้วจะไม่สามารถบวกได้ (แบบสัมบูรณ์) ${\displaystyle P(a+b)=P(a)+P(b)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle x^{q}-x}$${\displaystyle P(a+b)=P(a)+P(b)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

พหุนามเป็นแบบบวก^{[ 1 ]}อันที่จริง สำหรับใดๆและในการปิดเชิงพีชคณิตของหนึ่งจะมีโดยทฤษฎีบททวินาม${\displaystyle x^{p}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle k}$

$${\displaystyle (a+b)^{p}=\sum _{n=0}^{p}{p \choose n}a^{n}b^{pn}.}$$

เนื่องจากเป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้นสำหรับทุกค่าสัมประสิทธิ์ทวินามจะหารด้วย ลงตัว ซึ่งหมายความว่า ${\displaystyle p}$${\displaystyle n=1,\dots ,p-1}$${\displaystyle {\tbinom {p}{n}}}$${\displaystyle p}$

$${\displaystyle (a+b)^{p}\equiv a^{p}+b^{p}\mod p}$$

เป็นพหุนามในและ. ^{[ 1 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

ในทำนองเดียวกัน พหุนามทั้งหมดที่มีรูปแบบดังกล่าว

$${\displaystyle \tau _{p}^{n}(x)=x^{p^{n}}}$$

เป็นการบวก โดยที่ เป็น จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ^{[ 1 ]}${\displaystyle n}$

นิยามนี้สมเหตุสมผลแม้ว่าจะเป็นฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์ก็ตาม แต่ในกรณีนี้ พหุนามบวกเพียงอย่างเดียวคือพหุนามที่มีรูปแบบสำหรับบางค่า ใน${\displaystyle k}$${\displaystyle ax}$${\displaystyle a}$${\displaystyle k}$

เป็นการง่ายที่จะพิสูจน์ว่าผลรวมเชิงเส้น ใดๆ ของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ในก็เป็นพหุนามบวกเช่นกัน^{[ 1 ]}คำถามที่น่าสนใจคือมีพหุนามบวกอื่นๆ อีกหรือไม่ นอกเหนือจากผลรวมเชิงเส้นเหล่านี้ คำตอบคือมีเพียงพหุนามเหล่านี้เท่านั้น^{[ 3 ]}${\displaystyle \tau _{p}^{n}(x)}$${\displaystyle k}$

สามารถตรวจสอบได้ว่าถ้าและเป็นพหุนามบวก แล้ว และ ก็เป็นพหุนามบวกเช่นกันสิ่งเหล่านี้บ่งชี้ว่าพหุนามบวกก่อตัวเป็นวงแหวนภายใต้การบวกและการประกอบพหุนาม วงแหวนนี้แสดงด้วย^{[ 4 ​​]}${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle M(x)}$${\displaystyle P(x)+M(x)}$${\displaystyle P(M(x))}$

$${\displaystyle k\{\tau _{p}\}.}$$

วงแหวนนี้ไม่สลับที่ได้เว้นแต่จะเป็นฟิลด์(ดูเลขคณิตมอดูลาร์ ) ^{[ 1 ]}อันที่จริง พิจารณาพหุนามบวกและสำหรับสัมประสิทธิ์ในเพื่อให้พหุนามเหล่านี้สลับที่ได้ภายใต้การประกอบ เราต้องมี ${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$${\displaystyle ax}$${\displaystyle x^{p}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle k}$

$${\displaystyle (ax)^{p}=ax^{p},\,}$$

และด้วยเหตุนี้. นี่เป็นเท็จสำหรับไม่ใช่รากของสมการนี้ นั่นคือสำหรับภายนอก^{[ 1 ]}${\displaystyle a^{p}-a=0}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}.}$

ให้เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ในและเป็นเซตของรากของมัน สมมติว่ารากของแตกต่างกัน (นั่นคือแยกได้ ) แล้วเป็นแบบบวกก็ต่อเมื่อเซตก่อตัวเป็นกลุ่มที่มีฟิลด์การบวก^{[ 5 ]}${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \{w_{1},\dots ,w_{m}\}\subset k}$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle \{w_{1},\dots ,w_{m}\}}$

• โมดูลดรินเฟลด์
• แผนที่แบบเพิ่ม

• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "พหุนามเสริม" . แมทเวิลด์ .