ในพีชคณิตนามธรรม ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์โมโนอิดแอฟฟินคือโมโนอิดสลับตำแหน่ง ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด และสมมาตรกับซับโมโนอิดของ กลุ่มอาเบ เลียนอิสระ^{[ 1 ]} โมโนอิดแอฟฟินมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับโพลีเฮดรานูนและพีชคณิต ที่เกี่ยวข้อง มีประโยชน์อย่างมากในการศึกษาพีชคณิตของวัตถุทางเรขาคณิตเหล่านี้ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d},d\geq 0}$

• โมโนอิดเชิงเส้น (Affine monoids) ถูกสร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัดซึ่งหมายความว่า สำหรับโมโนอิดจะมีอยู่จริงที่ทำให้${\displaystyle M}$${\displaystyle m_{1},\dots ,m_{n}\in M}$

${\displaystyle M=m_{1}\mathbb {Z_{+}} +\dots +m_{n}\mathbb {Z_{+}} }$.

• โมโนอิดเชิงแอฟฟินสามารถหักล้างกันได้กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ

${\displaystyle x+y=x+z}$หมายความว่าสำหรับทุก ๆโดยที่หมายถึงการดำเนินการทวิภาคบนโมโนอิดเชิงเส้น${\displaystyle y=z}$${\displaystyle x,y,z\in M}$${\displaystyle +}$${\displaystyle M}$

• โมโนอิดเชิงเส้นตรงยังปราศจากแรงบิด ด้วย สำหรับโมโนอิดเชิงเส้นตรงหมายความว่าสำหรับและ${\displaystyle M}$${\displaystyle nx=ny}$${\displaystyle x=y}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle x,y\in M}$

• ซับโมโนอิดทุกตัวของ นั้นถูกสร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัด ดังนั้น ซับโมโนอิด ทุกตัวของจึงเป็นแอฟฟิน${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• ซับโมโนอิดของไม่ได้ถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัด และด้วยเหตุนี้จึงไม่ใช่แอฟฟิน${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \mid y>0\}\cup \{(0,0)\}}$${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$
• จุดตัดของโมโนอิดเชิงเส้นสองตัวคือโมโนอิดเชิงเส้นอีกตัวหนึ่ง

ถ้าเป็นโมโนอิดเชิงเส้นตรง มันสามารถฝังตัวลงในกลุ่มได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีกลุ่มเฉพาะกลุ่มหนึ่งเรียกว่ากลุ่มแห่งความแตกต่างซึ่งสามารถฝังตัว ลงไปได้${\displaystyle M}$${\displaystyle gp(M)}$${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle gp(M)}$สามารถมองได้ว่าเป็นเซตของชั้นสมมูลโดยที่ถ้าและเฉพาะเมื่อสำหรับและ${\displaystyle xy}$${\displaystyle xy=uv}$${\displaystyle x+v+z=u+y+z}$${\displaystyle z\in M}$

${\displaystyle (xy)+(uv)=(x+u)-(y+v)}$กำหนดการบวก^{[ 1 ]}

• อันดับของโมโนอิดแอฟฟิน^คืออันดับของกลุ่มของ^{[ 1} ]${\displaystyle M}$${\displaystyle gp(M)}$
• ถ้าโมโนอิดแอฟฟินถูกกำหนดให้เป็นซับโมโนอิดของแล้ว โดยที่คือซับกรุ๊ปของ^{​​[ 1 ]}${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{r}}$${\displaystyle gp(M)\cong \mathbb {Z} M}$${\displaystyle \mathbb {Z} M}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{r}}$

• ถ้าเป็นโมโนอิดเชิงเส้นตรงแล้วโฮโมมอร์ฟิซึม ของโมโนอิด ที่กำหนดโดย จะมี คุณสมบัติสากลดังต่อไปนี้:${\displaystyle M}$${\displaystyle \iota :M\to gp(M)}$${\displaystyle \iota (x)=x+0}$

สำหรับฟังก์ชันโฮโมมอร์ฟิซึมของโมโนอิดใดๆโดยที่เป็นกลุ่ม จะมีฟังก์ชันโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียวเช่นนั้นและเนื่องจากโมโนอิดเชิงเส้นสามารถตัดทอนได้ จึงสรุปได้ว่าเป็นการฝังตัว กล่าวอีกนัยหนึ่ง โมโนอิดเชิงเส้น ทุกตัวสามารถฝังตัวลงในกลุ่มได้${\displaystyle \varphi :M\to G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \psi :gp(M)\to G}$${\displaystyle \varphi =\psi \circ \iota }$${\displaystyle \iota }$

• ถ้าเป็นซับโมโนอิดของแอฟฟินโมโนอิดแล้ว ซับโมโนอิดนั้น${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\hat {M}}_{N}=\{x\in N\mid mx\in M,m\in \mathbb {N} \}}$

คือการปิดแบบอินทิกรัลของในถ้าแล้วจะปิดแบบอินทิกรัล ${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M={\hat {M_{N}}}}$${\displaystyle M}$

• การทำให้เป็นปกติของโมโนอิดแอฟฟินคือการปิดอินทิกรัลของในถ้าการทำให้เป็นปกติของเป็นตัวมันเองแล้วจะเป็นโมโนอิดแอฟฟินปกติ^{[ 1 ]}${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle gp(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$
• โมโนอิดจะเป็นโมโนอิดเชิงเส้นปกติก็ต่อเมื่อถูกสร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัดและ${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}M}$${\displaystyle M=\mathbb {Z} ^{r}\cap \mathbb {R} _{+}M}$

ให้เป็นโมโนอิดเชิงเส้น และเป็นวงแหวน สลับที่ แล้วเราสามารถสร้างวงแหวนโมโนอิดเชิงเส้นได้นี่คือโมดูล ที่มีฐานอิสระดังนั้น ถ้าแล้ว ${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R[M]}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f\in R[M]}$

${\displaystyle f=\sum _{i=1}^{n}f_{i}x_{i}}$โดยที่และ${\displaystyle f_{i}\in R,x_{i}\in M}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นเซตของผลรวมจำกัดขององค์ประกอบของที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ใน ${\displaystyle R[M]}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle R[M]}$เป็นโดเมนเนื่องจากสำหรับบางกรณีมันฝังตัวอยู่ในซึ่งเป็นโดเมนอีกโดเมนหนึ่ง ${\displaystyle d\geq 0}$${\displaystyle R[\mathbb {Z} ^{d}]}$

โมโนอิดเชิงอัฟฟินเกิดขึ้นตามธรรมชาติจากทรงหลายเหลี่ยมนูนกรวยนูนและโครงสร้างแบบไม่ต่อเนื่องที่เกี่ยวข้อง

• ให้เป็นกรวยนูนเชิงตรรกะในและให้เป็นแลตทิซในแล้วเป็นโมโนอิดเชิงเส้นตรง^{[ 1 ]} (เลมมา 2.9, เลมมาของกอร์ดอน)${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}}$${\displaystyle C\cap L}$
• ถ้าเป็นซับโมโนอิดของแล้วจะเป็นโคนก็ต่อเมื่อเป็นแอฟฟินโมโนอิด${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}M}$${\displaystyle M}$
• ถ้าเป็นซับโมโนอิดของและเป็นโคนที่สร้างขึ้นจากองค์ประกอบของแล้วเป็นแอฟฟินโมโนอิด${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle gp(M)}$${\displaystyle M\cap C}$
• ให้in เป็นทรงหลายเหลี่ยมเชิงตรรกะกรวยการถอยกลับของและแลตทิซในแล้วเป็นโมดูล ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด เหนือโมโนอิดเชิงเส้นตรง[ ^{1 ] (}ทฤษฎีบท 2.12)${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle P}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}}$${\displaystyle P\cap L}$${\displaystyle C\cap L}$

• โมโนอิด
• กรวยนูน
• โพลีโทปนูน
• แลตติซ (กลุ่ม)
• ทฤษฎี K