โทโพโลยีเชิงอัลกอริทึมหรือโทโพโลยีเชิงคำนวณเป็นสาขาย่อยของโทโพโลยีที่มีความทับซ้อนกับสาขาวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งเรขาคณิตเชิงคำนวณและทฤษฎีความซับซ้อนเชิงคำนวณ

ความกังวลหลักของโทโพโลยีเชิงอัลกอริทึม ดังที่ชื่อบ่งบอก คือการพัฒนาอัลกอริทึม ที่มีประสิทธิภาพเพื่อแก้ปัญหาที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติในสาขา ^{ต่างๆ}เช่นเรขาคณิตเชิงคำนวณกราฟิกหุ่นยนต์สังคมศาสตร์ชีววิทยาเชิงโครงสร้างและเคมีโดยใช้วิธีการจาก โทโพโลยี เชิงคำนวณ [ ^{1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

อัลกอริทึมจำนวนมากที่เกี่ยวข้องกับ3-แมนิโฟ ลด์นั้น เกี่ยวข้องกับ ทฤษฎี พื้นผิวปกติซึ่งเป็นวลีที่ครอบคลุมเทคนิคหลายอย่างในการแปลงปัญหาในทฤษฎี 3-แมนิโฟลด์ให้เป็นปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นจำนวนเต็ม

• อัลกอริทึมการจดจำทรงกลม 3 มิติของ Rubinstein และ Thompsonนี่คืออัลกอริทึมที่รับอินพุตเป็น3-manifold สามเหลี่ยม และพิจารณาว่า manifold นั้นเป็นhomeomorphicกับทรงกลม 3 มิติ หรือไม่ มีเวลาการทำงานแบบเลขชี้กำลังตามจำนวนของ tetrahedral simplexes ใน 3-manifold เริ่มต้น และยังมีโปรไฟล์ ^{หน่วย}ความจำแบบเลขชี้กำลังด้วย Saul Schleimer ได้แสดงให้เห็นว่าปัญหานี้อยู่ในระดับความซับซ้อนNP ^{[ 4} ] ยิ่งไปกว่านั้น Raphael Zentner ได้แสดงให้เห็นว่าปัญหานี้อยู่ในระดับความซับซ้อน coNP ^{[ 5 ]}โดยมีเงื่อนไขว่าสมมติฐาน Riemann ทั่วไปเป็นจริง เขาใช้ทฤษฎีเกจ instanton ทฤษฎีบท geometrization ของ 3-manifold และงานต่อมาของ Greg Kuperberg ^{[ 6 ]}เกี่ยวกับความซับซ้อนของการตรวจจับปม
• การ แยก ส่วนแบบเชื่อมต่อและผลรวมของ 3 มิติแมนิโฟลด์นั้นถูกนำมาใช้ในRegina ด้วยเช่นกัน โดยมีเวลาการทำงานแบบเลขชี้กำลัง และใช้หลักการอัลกอริทึมที่คล้ายคลึงกับอัลกอริทึมการจดจำทรงกลม 3 มิติ
• การพิจารณาว่า Seifert-Weber 3-manifold ไม่มีพื้นผิวที่อัดไม่ได้นั้นได้รับการดำเนินการโดย Burton, Rubinstein และ Tillmann ^{[ 7 ]}และอิงตามทฤษฎีพื้นผิวปกติ
• อัลกอริทึม Manning เป็นอัลกอริทึมสำหรับ ^{ค้นหา}โครงสร้างไฮเปอร์โบลิกบน 3-แมนิโฟลด์ ซึ่งกลุ่มพื้นฐานมีคำตอบสำหรับปัญหาคำ [ ^{8 ]}

ในปัจจุบันการแยกส่วน JSJยังไม่ได้รับการนำไปใช้ในเชิงอัลกอริทึมในซอฟต์แวร์คอมพิวเตอร์ เช่นเดียวกับการแยกส่วนร่างกายการบีบอัด มีฮิวริสติกที่เป็นที่นิยมและประสบความสำเร็จอยู่บ้าง เช่นSnapPeaซึ่งประสบความสำเร็จอย่างมากในการคำนวณโครงสร้างไฮเปอร์โบลิกโดยประมาณบน 3-แมนิโฟลด์แบบสามเหลี่ยม เป็นที่ทราบกันดีว่าการจำแนกประเภท 3-แมนิโฟลด์ทั้งหมดสามารถทำได้ในเชิงอัลกอริทึม^{[ 9 ]}ในความเป็นจริง เป็นที่ทราบกันดีว่าการตัดสินใจว่า 3-แมนิโฟลด์แบบปิดและมีทิศทางสองอันที่กำหนดโดยการแบ่งสามเหลี่ยม (คอมเพล็กซ์ซิมพลิเชียล) นั้นเทียบเท่ากัน (โฮโมมอร์ฟิก) หรือไม่นั้นเป็นการเรียกซ้ำแบบพื้นฐาน^{[ 10 ]}ซึ่งเป็นการขยายผลลัพธ์ในการจดจำทรงกลม 3

• SnapPeaใช้ขั้นตอนวิธีในการแปลงแผนภาพปมหรือเส้นเชื่อมแบบระนาบให้เป็นการสร้างสามเหลี่ยมแบบมีจุดยอดแหลม ขั้นตอนวิธีนี้มีเวลาการทำงานเชิงเส้นโดยประมาณตามจำนวนจุดตัดในแผนภาพ และใช้หน่วยความจำน้อย ขั้นตอนวิธีนี้คล้ายกับขั้นตอนวิธีของ Wirthinger สำหรับการสร้างการนำเสนอของกลุ่มพื้นฐานของส่วนเติมเต็มเส้นเชื่อมที่กำหนดโดยแผนภาพระนาบ ในทำนองเดียวกัน SnapPea สามารถแปลง การนำเสนอ การผ่าตัดของ 3 มิติแมนิโฟลด์ให้เป็นการสร้างสามเหลี่ยมของ 3 มิติแมนิโฟลด์ที่นำเสนอได้
• D. Thurston และ F. Costantino มีขั้นตอนในการสร้าง 4-manifold สามเหลี่ยมจาก 3-manifold สามเหลี่ยม ในทำนองเดียวกัน สามารถใช้ในการสร้างการนำเสนอการผ่าตัดของ 3-manifold สามเหลี่ยมได้ แม้ว่าขั้นตอนจะไม่ได้เขียนเป็นอัลกอริทึมอย่างชัดเจนก็ตาม แต่ในหลักการแล้วควรมีเวลาทำงานแบบพหุนามตามจำนวนของ tetrahedra ของ 3-manifold สามเหลี่ยมที่กำหนด^{[ 11 ]}
• S. Schleimer มีอัลกอริทึมที่สร้าง 3-manifold แบบสามเหลี่ยม โดยรับคำ (ใน ตัวสร้าง Dehn twist ) สำหรับกลุ่มคลาสการแมปของพื้นผิวเป็นอินพุต 3-manifold ที่ได้จะเป็น 3-manifold ที่ใช้คำนั้นเป็นแผนที่เชื่อมต่อสำหรับการแยก 3-manifold แบบ Heegaardอัลกอริทึมนี้อิงตามแนวคิดของการสร้างสามเหลี่ยมแบบเป็นชั้น

การพิจารณาว่าปมนั้นเป็นปมที่ไม่สำคัญหรือไม่นั้นเป็นที่ทราบกันดีว่าอยู่ในคลาสความซับซ้อนNP ^{[ 12 ]}เช่นเดียวกับco-NP [ ^{13 ] ปัญหา}ของการกำหนดจีนัสของปมใน 3-แมนิโฟลด์นั้นเป็นNP -complete ^{[ 14 ]}อย่างไรก็ตาม แม้ว่าNPยังคงเป็นขอบเขตบนของความซับซ้อนในการกำหนดจีนัสของปมใน R ³หรือ S ³แต่ในปี 2006 ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัดว่าปัญหาเชิงอัลกอริทึมของการกำหนดจีนัสของปมใน 3-แมนิโฟลด์เฉพาะเหล่านั้นยังคงเป็น NP - hard หรือไม่^{[ 14 ]}

• วิธีการคำนวณสำหรับกลุ่มโฮโมโทปีของทรงกลม
• วิธีการคำนวณเพื่อแก้ระบบสมการพหุนาม
• บราวน์มีอัลกอริทึมในการคำนวณกลุ่มโฮโมโทปีของพื้นที่ที่เป็นคอมเพล็กซ์โพสต์นิคอฟจำกัด[ 15 ^{]แม้ว่าจะ}ไม่ถือว่าสามารถนำไปใช้ได้อย่างกว้างขวางก็ตาม

การคำนวณกลุ่มโฮโมโลยีของเซลล์คอมเพล็กซ์ลดลงเหลือเพียงการแปลงเมทริกซ์ขอบเขตให้อยู่ในรูปแบบปกติของสมิธแม้ว่านี่จะเป็นปัญหาที่แก้ไขได้อย่างสมบูรณ์ในเชิงอัลกอริทึมแล้ว แต่ก็ยังมีอุปสรรคทางเทคนิคต่างๆ ที่ขัดขวางการคำนวณอย่างมีประสิทธิภาพสำหรับคอมเพล็กซ์ขนาดใหญ่ อุปสรรคหลักๆ มีอยู่สองประการ ประการแรก อัลกอริทึมรูปแบบสมิธพื้นฐานมีความซับซ้อนระดับลูกบาศก์ตามขนาดของเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้อง เนื่องจากใช้การดำเนินการแถวและคอลัมน์ ซึ่งทำให้ไม่เหมาะสมสำหรับเซลล์คอมเพล็กซ์ขนาดใหญ่ ประการที่สอง เมทริกซ์ระดับกลางที่ได้จากการประยุกต์ใช้อัลกอริทึมรูปแบบสมิธจะถูกเติมเต็ม แม้ว่าเราจะเริ่มต้นและสิ้นสุดด้วยเมทริกซ์แบบเบาบางก็ตาม

• อัลกอริทึมรูปแบบปกติของสมิธที่มีประสิทธิภาพและเป็นไปตามหลักความน่าจะเป็น ดังที่พบในไลบรารีLinBox
• การลดรูปโฮโมโทปิกอย่างง่ายสำหรับการประมวลผลล่วงหน้าในการคำนวณโฮโมโลจี ดังเช่นในแพ็คเกจซอฟต์แวร์Perseus
• อัลกอริทึมในการคำนวณโฮโมโลยีถาวรของ คอมเพล็กซ์ ที่กรอง แล้ว เช่นเดียวกับใน แพ็คเกจ TDAstats R ^{[ 16 ]}
• ในการใช้งานบางอย่าง เช่น ในการวิเคราะห์ข้อมูลเชิงทอพอโลยี (TDA) การมีตัวแทนของคลาส (โค)โฮโมโลยีที่ "เล็ก" ที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้นั้นเป็นประโยชน์ ปัญหานี้เรียกว่าปัญหาของการหาตำแหน่ง (โค)โฮโมโลยี บนแมนิโฟลด์สามเหลี่ยม เมื่อกำหนดโซ่ที่แสดงถึงคลาสโฮโมโลยีแล้ว โดยทั่วไปแล้วการประมาณโซ่โฮโมโลยีที่มีการรองรับขั้นต่ำนั้นเป็นปัญหา NP-hard ^{[ 17 ]}อย่างไรก็ตาม การตั้งค่าเฉพาะของการประมาณการหาตำแหน่ง 1-โคโฮโมโลยีบนแมนิโฟลด์ 2 สามเหลี่ยมเป็นหนึ่งในสามปัญหาที่ทราบกันดีซึ่งความยากเทียบเท่ากับสมมติฐานเกมที่ไม่ซ้ำกัน^{[ 18 ]}

• โทโพโลยีเชิงคำนวณ (การศึกษาธรรมชาติเชิงโทโพโลยีของการคำนวณ)
• เรขาคณิตเชิงคำนวณ
• โทโพโลยีดิจิทัล
• การวิเคราะห์ข้อมูลเชิงโทโพโลยี
• การให้เหตุผลเชิงพื้นที่และเวลา
• คณิตศาสตร์เชิงทดลอง
• การสร้างแบบจำลองทางเรขาคณิต

• คลังซอฟต์แวร์ CompuTop
• การประชุมเชิงปฏิบัติการเกี่ยวกับการประยุกต์ใช้โทโพโลยีในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม
• โทโพโลยีเชิงคำนวณที่มหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด เก็บถาวรเมื่อวันที่ 22 มิถุนายน 2550 ที่Wayback Machine
• ซอฟต์แวร์การคำนวณความคล้ายคลึงกัน (CHomP) ที่มหาวิทยาลัยรัตเกอร์ส
• ซอฟต์แวร์การคำนวณความคล้ายคลึงกัน (RedHom) ที่มหาวิทยาลัย Jagellonian ถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 15 กรกฎาคม 2013 ที่Wayback Machine
• โครงการซอฟต์แวร์ Perseus สำหรับโฮโมโลยี (แบบถาวร )
• ซอฟต์แวร์ javaPlex Persistent Homology ที่มหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด
• PHAT: ชุดเครื่องมืออัลกอริธึมโฮโมโลยีแบบถาวร (Persistent Homology Algorithms Toolbox )

• โทมัสซ์ คาซินสกี้; คอนสแตนติน มิสไชโคฟ; แมเรียน โมโรเซค (2004) ความคล้ายคลึงกันทางคอมพิวเตอร์ . สปริงเกอร์. ไอเอสบีเอ็น 0-387-40853-3.
• Afra J. Zomorodian (2005). Topology for Computing . Cambridge. ISBN 0-521-83666-2.
• โทโพโลยีเชิงคำนวณ: บทนำ , Herbert Edelsbrunner, John L. Harer, ร้านหนังสือ AMS, 2010, ISBN 978-0-8218-4925-5