ในทางคณิตศาสตร์แฟกทอเรียลสลับคือค่าสัมบูรณ์ของผลรวมสลับของแฟกทอเรียลn ตัวแรก ของจำนวนเต็มบวก

นี่เหมือนกับผลรวมของพวกมัน โดยที่ แฟกทอเรียลที่มีดัชนีเป็น เลขคี่จะถูกคูณด้วย−1ถ้าnเป็นเลขคู่และแฟกทอเรียลที่มีดัชนีเป็นเลขคู่จะถูกคูณด้วย −1 ถ้าnเป็นเลขคี่ ส่งผลให้เครื่องหมายของตัวบวกสลับกัน (หรือสลับกันระหว่างตัวดำเนินการบวกและลบ ถ้าต้องการ) กล่าวในเชิงพีชคณิตได้ดังนี้

${\displaystyle \operatorname {af} (n)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{ni}i!}$

หรือด้วยความสัมพันธ์เวียนเกิด

${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {af} (n)=n!-\ชื่อผู้ดำเนินการ {af} (n-1)}$

ซึ่ง af(1) = 1

ค่าแฟกทอเรียลสลับแรกๆ มีดังนี้

1 , 1, 5 , 19 , 101 , 619, 4421, 35899, 326981, 3301819, 36614981, 442386619, 5784634181, 81393657019 (ลำดับA005165ในOEIS )

ตัวอย่างเช่น แฟกทอเรียลสลับที่สามคือ 1! – 2! + 3! แฟกทอเรียลสลับที่สี่คือ −1! + 2! − 3! + 4! = 19 โดยไม่คำนึงถึงว่าn จะ เป็นเลขคู่หรือเลข คี่ ตัวเลข สุดท้าย ( n ! ) จะมีเครื่องหมายบวก ตัวเลขที่ ( n  – 1) จะมีเครื่องหมายลบ และเครื่องหมายของตัวเลขที่อยู่ต่ำกว่าจะสลับกันตามลำดับ

รูปแบบการสลับนี้ทำให้มั่นใจได้ว่าผลรวมที่ได้จะเป็นจำนวนเต็มบวกทั้งหมด การเปลี่ยนกฎโดยให้ตัวเลขที่มีดัชนีเป็นเลขคี่หรือเลขคู่มีเครื่องหมายลบ (โดยไม่คำนึงถึงว่าn เป็นเลขคู่หรือเลข คี่) จะเปลี่ยนเครื่องหมายของผลรวมที่ได้ แต่จะไม่เปลี่ยนค่าสัมบูรณ์ของผลรวม

Živković (1999)พิสูจน์ว่ามีเพียงแฟกทอเรียลสลับจำนวนจำกัดเท่านั้นที่เป็นจำนวนเฉพาะเนื่องจาก 3612703 หาร af(3612702) ลงตัว และด้วยเหตุนี้จึงหาร af( n ) ลงตัวสำหรับทุกn ≥ 3612702 ^{[ 1 ]}จำนวนเฉพาะคือ af( n ) สำหรับ

n = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 19, 41, 59, 61, 105, 160, 661, ... (ลำดับA001272ในOEIS )

โดยมี จำนวนเฉพาะที่มีความเป็นไปได้สูงกว่าหลายจำนวนที่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์ว่าเป็นจำนวนเฉพาะ