ในเรขาคณิตเชิงคอนฟอร์ มัล การสร้างแอมเบียนต์หมายถึงการสร้างของCharles FeffermanและRobin Graham ^{[ 1 ]}ซึ่งแมนิโฟลด์เชิงคอนฟอร์มัลที่มีมิติnจะถูกทำให้เป็นจริง ( แอมเบียนต์ ) ในฐานะขอบเขตของแมนิโฟลด์ปวงกาเร บางอย่าง หรืออีกทางหนึ่งในฐานะทรงกลมท้องฟ้าของแมนิโฟลด์ ซูโดรีมัน น์บางอย่าง

การสร้างแบบแอมเบียนต์เป็นแบบแคนอนิกในแง่ที่ว่ามันถูกสร้างขึ้นโดยใช้เพียงคลาสคอนฟอร์มอลของเมตริกเท่านั้น: มันมีความคงตัวแบบคอนฟอร์มอล อย่างไรก็ตาม การสร้างนี้ใช้งานได้เฉพาะในเชิงอะซิมโทติก เท่านั้น จนถึงลำดับการประมาณค่า ที่แน่นอน โดยทั่วไปแล้ว มีอุปสรรคในการขยายต่อไปเกินกว่าลำดับวิกฤต อุปสรรคนั้นมีลักษณะเป็นเทนเซอร์ และเรียกว่าเทนเซอร์อุปสรรค (คอนฟอร์มอล) มันเป็นหนึ่งในสองค่าคงที่ดั้งเดิมในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์คอนฟอร์มอล ร่วมกับ เทนเซอร์เวล์

นอกเหนือจากเทนเซอร์การกีดขวางแล้ว การสร้างสภาพแวดล้อมยังสามารถใช้เพื่อกำหนดคลาสของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามคอนฟอร์มัลที่เรียกว่า ตัวดำเนิน การGJMS ^{[ 2 ]}

โครงสร้างที่เกี่ยวข้องอีกอย่างหนึ่งคือมัดรถแทรกเตอร์

รูปทรงเรขาคณิตแบนราบสำหรับการสร้างสภาพแวดล้อมคือกรวยว่าง ในอนาคต ในปริภูมิ Minkowskiโดยที่จุดกำเนิดถูกลบออกไป ทรงกลมท้องฟ้าที่อนันต์คือแมนิโฟลด์เชิงคอนฟอร์มัลMและรังสีว่างในกรวยกำหนดมัดเส้นเหนือMยิ่งไปกว่านั้น กรวยว่างยังบรรจุเมตริกที่เสื่อมสภาพในทิศทางของตัวสร้างของกรวย

การสร้างสภาพแวดล้อมในปริภูมิแบบจำลองแบนราบนี้จึงตั้งคำถามว่า หากเรามีบันเดิลเส้นดังกล่าว พร้อมกับเมตริกที่เสื่อมสภาพแล้ว เราจะสามารถขยายเมตริกออกจากกรวยว่างในลักษณะเชิงแคนอนิกได้มากน้อยเพียงใด เพื่อฟื้นคืนปริภูมิ Minkowski ที่เป็นสภาพแวดล้อม? ในแง่ของรูปแบบ เมตริกที่เสื่อมสภาพจะให้เงื่อนไขขอบเขต Dirichletสำหรับปัญหาการขยาย และโดยธรรมชาติแล้ว เงื่อนไขที่เหมาะสมคือเมตริกที่ขยายแล้วจะต้องแบนราบแบบ Ricci (เนื่องจากการทำให้เป็นมาตรฐานของการเชื่อมต่อเชิงคอนฟอร์มัลปกติ )

การสร้างแบบแอมเบียนต์จะขยายแนวคิดนี้ไปยังกรณีที่Mเป็นเส้นโค้งแบบคอนฟอร์มัล โดยเริ่มจากการสร้างบันเดิลเส้นศูนย์ธรรมชาติNที่มีเมตริกแบบเสื่อมสภาพ จากนั้นจึงแก้ปัญหา Dirichlet ที่เกี่ยวข้องบนN × (-1,1)

ส่วนนี้จะกล่าวถึงภาพรวมของการสร้าง โดยเริ่มจากกลุ่มเส้นศูนย์ (null line bundle) ก่อน แล้วจึงกล่าวถึงส่วนขยายโดยรอบ (ambient extension) ของกลุ่มเส้นศูนย์ดังกล่าว

สมมติว่าMเป็นแมนิโฟลด์แบบคอนฟอร์มอล และ [ g ] แทนเมตริกแบบคอนฟอร์มอลที่กำหนดบนMให้ π : N → Mแทนซับบันเดิลแบบทอโทโลจิคัลของ T ^* M ⊗ T ^* Mที่กำหนดโดยตัวแทนทั้งหมดของเมตริกแบบคอนฟอร์มอล ในแง่ของเมตริกพื้นหลังg ₀ที่ กำหนดไว้ Nประกอบด้วยผลคูณบวกทั้งหมด ω ² g ₀ของเมตริก มีการกระทำตามธรรมชาติของR ⁺บนNซึ่งกำหนดโดย

${\displaystyle \delta _{\omega }g=\omega ^{2}g}$

ยิ่งไปกว่านั้นพื้นที่ทั้งหมดของNมีเมตริกเสื่อมสภาพเชิงสัจพจน์ เพราะถ้าpเป็นจุดบนไฟเบอร์ของ π : N → Mที่สอดคล้องกับตัวแทนเชิงคอนฟอร์มัลg _pแล้วให้

${\displaystyle h_{p}(X_{p},Y_{p})=g_{p}(\pi _{*}X,\pi _{*}Y).}$

เมตริกนี้เสื่อมลงตามทิศทางแนวตั้ง นอกจากนี้ยังเป็นเอกพันธุ์ระดับ 2 ภายใต้ การกระทำ R ⁺บนN :

${\displaystyle \delta _{\omega }^{*}h=\omega ^{2}h}$

ให้Xเป็นสนามเวกเตอร์แนวตั้งที่สร้างการกระทำแบบปรับขนาด จากนั้นคุณสมบัติต่อไปนี้จะเกิดขึ้นทันที:

h ( X ,-) = 0

L _X h = 2 hโดยที่L _Xคืออนุพันธ์ลี ตาม แนวเวกเตอร์ฟิลด์X

ให้N ^~ = N × (-1,1) โดยมีการรวมตามธรรมชาติi  : N → N ^~การขยาย δ _{ω ขยายไปสู่} ​​N ^~ตามธรรมชาติและด้วยเหตุนี้ ตัวสร้างXของการขยายจึง ขยายไปสู่ ​​N ~ ด้วยเช่นกัน

เมตริกแวดล้อมบนN ^~คือเมตริกแบบลอเรนซ์h ^~เช่นนั้น

• เมตริกเป็นเอกพันธุ์ : δ _ω ^* h ^~ = ω ² h ^~
• เมตริกนี้เป็นการขยายโดยรอบ : i ^* h ^~ = hโดยที่i ^*คือการดึงกลับตามการรวมตามธรรมชาติ
• เมตริกเป็นแบบริชชีแฟลต : Ric( h ^~ ) = 0

สมมติว่า มีการเลือกตัวแทนคงที่ของเมตริกคอนฟอร์มอลgและระบบพิกัดท้องถิ่นx = ( x ^{i ) บน} Mสิ่งเหล่านี้เหนี่ยวนำให้เกิดพิกัดบนNโดยการระบุจุดในไฟเบอร์ของNกับ ( x , t ² g ( x )) โดยที่t > 0 คือพิกัดไฟเบอร์ (ในพิกัดเหล่านี้X = t ∂ _t .) สุดท้าย ถ้า ρ เป็นฟังก์ชันนิยามของNในN ^~ซึ่งเป็นเอกพันธุ์ดีกรี 0 ภายใต้การขยายแล้ว ( x , t ,ρ) จะเป็นพิกัดของN ^~นอกจากนี้ เมตริกส่วนขยายใดๆ ที่เป็นเอกพันธุ์ดีกรี 2 สามารถเขียนในพิกัดเหล่านี้ได้ในรูปแบบ:

${\displaystyle h^{\sim }=t^{2}g_{ij}(x,\rho )dx^{i}dx^{j}+2\rho dt^{2}+2tdtd\rho ,\,}$

โดยที่g _ijเป็น ฟังก์ชัน n ²ฟังก์ชันที่มีg ( x ,0) = g ( x ) ซึ่งเป็นตัวแทนคอนฟอร์มอลที่กำหนดให้

หลังจากคำนวณแล้วพบว่า ความเรียบของริชชีเทียบเท่ากับสมการเชิงอนุพันธ์ต่อไปนี้ โดยที่เครื่องหมายไพรม์คือการหาอนุพันธ์เทียบกับ ρ:

${\displaystyle \rho g_{ij}''-\rho g^{kl}g_{ik}'g_{jl}+{\tfrac {1}{2}}\rho g^{kl}g_{kl}'g_{ij}'+{\frac {2-n}{2}}g_{ij}'-{\tfrac {1}{2}}g^{kl}g_{kl}'g_{ij}+\mathrm {Ric} (g)_{ij}=0.}$

จากนั้นเราสามารถแก้สมการนี้อย่างเป็นทางการโดยใช้ชุดอนุกรมกำลังใน ρ เพื่อให้ได้การพัฒนาเชิงอะซิมโทติกของเมตริกแวดล้อมนอกกรวยศูนย์ ตัวอย่างเช่น การแทนค่า ρ = 0 แล้วแก้สมการจะได้

g _ij ^′ ( x ,0) = 2 P _ij

โดยที่Pคือเทนเซอร์ Schoutenต่อมา เมื่อทำการหาอนุพันธ์อีกครั้งและแทนค่าที่ทราบของg _ij ^′ ( x ,0) ลงในสมการ จะพบว่าอนุพันธ์อันดับสองเป็นผลคูณของเทนเซอร์ Bachและอื่นๆ ต่อไป

• การติดต่อสื่อสารระหว่าง AdS/CFT
• หลักการโฮโลแกรม