คณิตศาสตร์เชิงวิเคราะห์ใช้เทคนิคจากการวิเคราะห์เชิงซ้อนเพื่อแก้ปัญหาในคณิตศาสตร์เชิงนับโดยเฉพาะอย่างยิ่งเพื่อหาค่าประมาณเชิงอะซิมโทติกสำหรับสัมประสิทธิ์ของฟังก์ชันก่อกำเนิด^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

หนึ่งในการใช้เทคนิคการวิเคราะห์สำหรับปัญหาการนับครั้งแรกๆ มาจากงานของSrinivasa RamanujanและGH Hardy เกี่ยวกับการ แบ่งพาร์ติชันจำนวนเต็ม [ ^{4 ] [ 5 ] เริ่มต้นในปี พ.ศ. 2461 โดยใช้ทฤษฎีบท Tauberian ก่อน แล้วจึง ใช้}ระเบียบวิธีวงกลมในภายหลัง^{[ 6 ]}

บทความ "A Generalisation of Stirling's Formula" ของ Walter Haymanในปี 1956 ถือเป็นหนึ่งในตัวอย่างแรกๆ ของวิธีการจุดอานม้า^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

ในปี พ.ศ. 2533 Philippe FlajoletและAndrew Odlyzkoได้พัฒนาทฤษฎีการวิเคราะห์ความเอกฐาน^{[ 10 ]}

ในปี 2009 ฟิลิปป์ ฟลาโจเลต์และโรเบิร์ต เซดจ์วิกได้เขียนหนังสือชื่อAnalytic Combinatoricsซึ่งนำเสนอคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงแบบวิเคราะห์ (Analytic Combinatorics) ในมุมมองและสัญลักษณ์ของพวกเขา

งานวิจัยแรกๆ เกี่ยวกับฟังก์ชันสร้างตัวแปรหลายตัวเริ่มขึ้นในช่วงทศวรรษ 1970 โดยใช้วิธีการทางความน่าจะเป็น^{[ 11 ] [ 12 ]}

การพัฒนาเทคนิคหลายตัวแปรเพิ่มเติมเริ่มขึ้นในช่วงต้นทศวรรษ 2000 ^{[ 13 ]}

ถ้าเป็นฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกและเป็นขั้วที่ใกล้ที่สุดกับจุดกำเนิดที่มีอันดับแล้ว^{[ 14 ]}${\displaystyle h(z)={\frac {f(z)}{g(z)}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle [z^{n}]h(z)\sim {\frac {(-1)^{m}mf(a)}{a^{m}g^{(m)}(a)}}\left({\frac {1}{a}}\right)^{n}n^{m-1}\quad }$เช่น${\displaystyle n\to \infty }$

ถ้า

${\displaystyle f(z)\sim {\frac {1}{(1-z)^{\sigma }}}L({\frac {1}{1-z}})\quad }$เช่น${\displaystyle z\to 1}$

โดยที่และเป็นฟังก์ชันที่เปลี่ยนแปลงช้าๆดังนั้น^{[ 15 ]}${\displaystyle \sigma >0}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle [z^{n}]f(z)\sim {\frac {n^{\sigma -1}}{\Gamma (\sigma )}}L(n)\quad }$เช่น${\displaystyle n\to \infty }$

ดูเพิ่มเติมที่ ทฤษฎีบททอเบ อ เรียนของฮาร์ดี-ลิตเติลวูด

สำหรับฟังก์ชันก่อกำเนิดที่มีลอการิทึมหรือรากซึ่งมี จุดเอกฐาน ^ของสาขา [ ^{16 ]}

ถ้าเรามีฟังก์ชันที่และมีรัศมีของการลู่เข้ามากกว่าและมีการขยายอนุกรมเทย์เลอร์ใกล้ 1 ของแล้ว^{[ 17 ]}${\displaystyle (1-z)^{\beta }f(z)}$${\displaystyle \beta \notin \{0,1,2,\ldots \}}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \sum _{j\geq 0}f_{j}(1-z)^{j}}$

${\displaystyle [z^{n}](1-z)^{\beta }f(z)=\sum _{j=0}^{m}f_{j}{\frac {n^{-\beta -j-1}}{\Gamma (-\beta -j)}}+O(n^{-m-\beta -2})}$

ดูSzegő (1975)สำหรับทฤษฎีบทที่คล้ายกันซึ่งเกี่ยวข้องกับภาวะเอกฐานหลายจุด

ถ้ามีจุดเอกฐานที่และ ${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle f(z)\sim \left(1-{\frac {z}{\zeta }}\right)^{\alpha }\left({\frac {1}{\frac {z}{\zeta }}}\log {\frac {1}{1-{\frac {z}{\zeta }}}}\right)^{\gamma }\left({\frac {1}{\frac {z}{\zeta }}}\log \left({\frac {1}{\frac {z}{\zeta }}}\log {\frac {1}{1-{\frac {z}{\zeta }}}}\right)\right)^{\delta }\quad }$เช่น${\displaystyle z\to \zeta }$

แล้ว^{[ 18 ]} ​${\displaystyle \alpha \notin \{0,1,2,\cdots \},\gamma ,\delta \notin \{1,2,\cdots \}}$

${\displaystyle [z^{n}]f(z)\sim \zeta ^{-n}{\frac {n^{-\alpha -1}}{\Gamma (-\alpha )}}(\log n)^{\gamma }(\log \log n)^{\delta }\quad }$เช่น${\displaystyle n\to \infty }$

สำหรับฟังก์ชันการสร้าง รวมถึงฟังก์ชันทั้งหมด^{[ 19 ] [ 20 ]}

โดยสัญชาตญาณแล้ว ส่วนที่มีส่วนร่วมมากที่สุดในการคำนวณอินทิกรัลตามเส้นโค้งจะอยู่บริเวณจุดอานม้าและการประมาณค่าใกล้จุดอานม้าจะทำให้เราได้ค่าประมาณสำหรับเส้นโค้งทั้งหมด

ถ้าเป็นฟังก์ชันที่ยอมรับได้^{[ 21 ]}แล้ว^{[ 22 ] [ 23 ]}${\displaystyle F(z)}$

${\displaystyle [z^{n}]F(z)\sim {\frac {F(\zeta )}{\zeta ^{n+1}{\sqrt {2\pi f^{''}(\zeta )}}}}\quad }$เช่น${\displaystyle n\to \infty }$

ที่ไหน. ${\displaystyle F^{'}(\zeta )=0}$

ดูเพิ่มเติมที่วิธีความชันสูงสุด (Method of steepest descent )

วิกิบุ๊กมีหนังสือเกี่ยวกับหัวข้อ: คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงแบบวิเคราะห์ (Analytic Combinatorics)

• เดอ บรุยน์, เอ็นจี (1981) วิธีเชิงเส้นกำกับในการวิเคราะห์ สิ่งพิมพ์โดเวอร์
• Flajolet, Philippe; Odlyzko, Andrew (1990). "การวิเคราะห์เอกลักษณ์ของฟังก์ชันก่อกำเนิด" (PDF) . SIAM Journal on Discrete Mathematics . 1990 (3).
• Mishna, Marni (2020). คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงแบบวิเคราะห์: แนวทางหลายมิติ . Taylor & Francis Group, LLC.
• เพแมนเทิล, โรบิน; วิลสัน, มาร์ค ซี.; เมลเซอร์, สตีเฟน (2024). คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงแบบวิเคราะห์ในหลายตัวแปร (PDF) (ฉบับที่ 2). สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์
• เซดจ์วิค, โรเบิร์ต. "6. การวิเคราะห์ภาวะเอกฐาน" (PDF )
• หว่อง, อาร์. (2001). การประมาณเชิงอะซิมโทติกของอินทิกรัล . สมาคมคณิตศาสตร์อุตสาหกรรมและประยุกต์.

• หลักสูตรออนไลน์เรื่องคณิตศาสตร์เชิงวิเคราะห์แบบผสมผสาน
• หลักสูตรออนไลน์เบื้องต้นเกี่ยวกับการวิเคราะห์อัลกอริทึม
• โครงการคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงแบบวิเคราะห์ในหลายตัวแปร
• คำเชิญชวนสู่คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงแบบวิเคราะห์

• วิธีการเชิงสัญลักษณ์ (คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง)
• คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงแบบวิเคราะห์ (หนังสือ)