ในทฤษฎีหมวดหมู่ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์แอนติไอโซมอร์ฟิซึม (หรือแอนติไอโซมอร์ฟิซึม ) ระหว่างเซตที่มีโครงสร้างAและBคือไอโซมอร์ฟิซึมจากAไปยังสิ่งที่ตรงข้ามกับB (หรือเทียบเท่าจากสิ่งที่ตรงข้ามกับAไปยังB ) ^{[ 1 ]}หากมีแอนติไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างโครงสร้างสองโครงสร้าง จะเรียกว่าโครงสร้างทั้งสองนั้นเป็นแอนติไอโซมอร์ฟิก

โดยสัญชาตญาณแล้ว การกล่าวว่าโครงสร้างทางคณิตศาสตร์สองโครงสร้างเป็นแอนติไอโซมอร์ฟิกหมายความว่าโครงสร้างทั้งสองนั้นเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกันโดยพื้นฐาน

แนวคิดนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งในบริบททางพีชคณิต เช่น เมื่อนำไปใช้กับริง

ให้Aเป็นความสัมพันธ์ทวิภาค (หรือกราฟทิศทาง ) ที่ประกอบด้วยสมาชิก {1,2,3} และความสัมพันธ์ทวิภาคที่กำหนดดังต่อไปนี้: ${\displaystyle \rightarrow }$

• ${\displaystyle 1\rightarrow 2,}$
• ${\displaystyle 1\rightarrow 3,}$
• ${\displaystyle 2\rightarrow 1.}$

ให้Bเป็นเซตความสัมพันธ์ทวิภาคที่ประกอบด้วยสมาชิก { a , b , c } และความสัมพันธ์ทวิภาคที่กำหนดดังต่อไปนี้: ${\displaystyle \Rightarrow }$

• ${\displaystyle b\Rightarrow a,}$
• ${\displaystyle c\Rightarrow a,}$
• ${\displaystyle a\Rightarrow b.}$

โปรดทราบว่า สิ่งที่ตรงข้ามกับB (เขียนแทนด้วยB ^op ) คือเซตขององค์ประกอบเดียวกัน แต่มีความสัมพันธ์ทวิภาคแบบตรงข้าม(กล่าวคือ กลับทิศทางของส่วนโค้งทั้งหมดในกราฟแบบมีทิศทาง): ${\displaystyle \Leftarrow }$

• ${\displaystyle b\Leftarrow a,}$
• ${\displaystyle c\Leftarrow a,}$
• ${\displaystyle a\Leftarrow b.}$

ถ้าเราแทนค่าa , bและcด้วย 1, 2 และ 3 ตามลำดับ เราจะเห็นว่ากฎแต่ละข้อในB ^opเหมือนกับกฎบางข้อในAนั่นคือ เราสามารถกำหนดไอโซมอร์ฟิซึมจากAไปยังB ^opได้โดย และ จะ เป็น แอนติไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างAและB${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi (1)=a,\phi (2)=b,\phi (3)=c}$${\displaystyle \phi }$

เมื่อนำภาษาทั่วไปของทฤษฎีหมวดหมู่มาใช้กับหัวข้อพีชคณิตของวงแหวน เราจะได้ว่า: ให้RและSเป็นวงแหวน และf : R → Sเป็นการส่งแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงแล้วfเป็นแอนติไอโซมอร์ฟิซึมของวงแหวน^{[ 2 ]}ถ้า

${\displaystyle f(x+_{R}y)=f(x)+_{S}f(y)\ \ \ {\text{และ}}\ \ \ f(x\cdot _{R}y)=f(y)\cdot _{S}f(x)\ \ \ {\text{สำหรับทุก }}x,y\in R.}$

ถ้าR = Sแล้วfเป็นแอนติออโตมอร์ฟิซึมของ ริง

ตัวอย่างหนึ่งของแอนติออโตมอร์ฟิซึมของวงแหวนแสดงโดยการแมปคอนจูเกตของควอเทอร์เนียน : ^{[ 3 ]}

${\displaystyle x_{0}+x_{1}\mathbf {i} +x_{2}\mathbf {j} +x_{3}\mathbf {k} \ \ \mapsto \ \ x_{0}-x_{1}\mathbf {i} -x_{2}\mathbf {j} -x_{3}\mathbf {k} .}$