ในทางคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะในทฤษฎีลำดับความสัมพันธ์ทวิภาค บนปริภูมิเวกเตอร์เหนือ จำนวน จริงหรือจำนวนเชิงซ้อนเรียกว่าอาร์คิมีเดียนถ้าสำหรับทุก ๆเมื่อใดก็ตามที่มีอยู่บางค่าที่ทำให้สำหรับจำนวนเต็มบวกทั้งหมดแล้วจำเป็นต้องมี ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีลำดับ อาร์คิมีเดียน (ก่อน)คือปริภูมิเวกเตอร์ที่มีลำดับ (ก่อน) ซึ่งมีลำดับเป็นอาร์คิมีเดียน^{[ 1 ]}ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีลำดับ ก่อนเรียกว่าเกือบอาร์คิมีเดียนถ้าสำหรับทุก ๆเมื่อใดก็ตามที่มีอยู่บางค่าที่ทำให้สำหรับจำนวนเต็มบวกทั้งหมดแล้ว^{[ 2 ]}${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle y\in X}$${\displaystyle nx\leq y}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle x\leq 0.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle y\in X}$${\displaystyle -n^{-1}y\leq x\leq n^{-1}y}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle x=0.}$

ปริภูมิเวกเตอร์ที่เรียงลำดับ ล่วงหน้าที่มีหน่วยลำดับจะเรียงลำดับล่วงหน้าแบบอาร์คิมีเดียนก็ต่อเมื่อสำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบทั้งหมดจะหมายความว่า^{[ 3 ]}${\displaystyle (X,\leq )}$${\displaystyle u}$${\displaystyle nx\leq u}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x\leq 0.}$

ให้เป็นปริภูมิเวกเตอร์เรียงลำดับเหนือจำนวนจริงที่มีมิติจำกัด จากนั้นลำดับของจะเป็นอาร์คิมีเดียนก็ต่อเมื่อกรวยบวกของปิดสำหรับโทโพโลยีเฉพาะตัวที่เป็นปริภูมิเวกเตอร์โทโพโลยีเฮาส์ดอร์ฟ (ปริภูมิเวกเตอร์โทโพโลยี) ^{[ 4 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

สมมติว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์เรียงลำดับเหนือจำนวนจริงที่มีหน่วยลำดับซึ่งมีลำดับเป็นอาร์คิมีเดียน และให้ จากนั้นฟังก์ชันมินคอฟสกีของ(กำหนดโดย) เป็นนอร์มที่เรียกว่านอร์มหน่วยลำดับมันสอดคล้องกับและลูกบอลหน่วยปิดที่กำหนดโดยเท่ากับ(นั่นคือ^{[ 3 ]}${\displaystyle (X,\leq )}$${\displaystyle u}$${\displaystyle U=[-u,u].}$${\displaystyle p_{U}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle p_{U}(x):=\inf \left\{r>0:x\in r[-u,u]\right\}}$${\displaystyle p_{U}(u)=1}$${\displaystyle p_{U}}$${\displaystyle [-u,u]}$${\displaystyle [-u,u]=\{x\in X:p_{U}(x)\leq 1\}.}$

พื้นที่ของแผนที่ค่าจริงที่มีขอบเขตบนเซตที่มีลำดับจุดต่อจุดนั้นมีลำดับอาร์คิมีเดียนพร้อมหน่วยลำดับ(นั่นคือฟังก์ชันที่เหมือนกันบน) บรรทัดฐานหน่วยลำดับบน นั้น เหมือนกับบรรทัดฐานสูงสุดปกติ: ^{[ 3 ]}${\displaystyle l_{\infty }(S,\mathbb {R} )}$${\displaystyle S}$${\displaystyle u:=1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle S}$${\displaystyle l_{\infty }(S,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \|f\|:=\sup _{}|f(S)|.}$

แลตทิซเวกเตอร์ที่สมบูรณ์แบบ ทุก อัน มีลำดับแบบอาร์คิมีเดียน^{[ 5 ]} แลตทิซเวกเตอร์มิติจำกัดที่มีมิติจะมีลำดับแบบอาร์คิมีเดียนก็ต่อเมื่อมันสมมาตรกับลำดับแบบแคนอนิก^{[ 5 ]} อย่างไรก็ตาม ลำดับเวกเตอร์ที่มีลำดับสมบูรณ์ที่มีมิติไม่สามารถมีลำดับแบบอาร์คิมีเดียนได้^{[ 5 ]} มีปริภูมิเวกเตอร์ที่มีลำดับซึ่งเกือบจะเป็นอาร์คิมีเดียนแต่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียน ${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \,>1}$

พื้นที่ยุคลิด เหนือจำนวนจริงที่มีลำดับพจนานุกรมไม่ได้เรียงลำดับแบบอาร์คิมีเดียนเนื่องจากสำหรับทุกๆแต่^{[ 3 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle r(0,1)\leq (1,1)}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle (0,1)\neq (0,0).}$

• สมบัติอาร์คิมีเดียน  – สมบัติทางคณิตศาสตร์ของโครงสร้างพีชคณิต
• ปริภูมิเวกเตอร์เรียงลำดับ  – ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีลำดับบางส่วน

• นาริซี, ลอว์เรนซ์; เบคเกนสไตน์, เอ็ดเวิร์ด (2011). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). โบคา ราตัน, ฟลอริดา: สำนักพิมพ์ CRC. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอ โล ยีGTMเล่ม 8 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์ Springer New York. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .