การฉายภาพแบบพื้นที่เท่ากัน

Q: ตารางสถิติ

คำว่า "ตารางสถิติ" หมายถึง ตารางแบบไม่ต่อเนื่อง (ทั่วโลกหรือท้องถิ่น) ของการแสดงพื้นผิวที่มีพื้นที่เท่ากัน ซึ่งใช้สำหรับ การแสดงภาพข้อมูล การระบุ พิกัด ทางภูมิศาสตร์ และ การวิเคราะห์เชิงพื้นที่ทาง สถิติ [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]

ในวิชาการทำแผนที่ การฉายภาพ แบบเท่ากัน ( equivalent projection)หรือการฉายภาพแบบพื้นที่เท่ากัน (equal-area projection ) คือการฉายภาพแผนที่ที่รักษา ขนาด พื้นที่ สัมพัทธ์ ระหว่างทุกภูมิภาคบนแผนที่ การฉายภาพแบบเท่ากันนี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในแผนที่เฉพาะเรื่องที่แสดงการกระจายตัวของสถานการณ์ต่างๆ เช่น ประชากร การกระจายตัวของพื้นที่เกษตรกรรม พื้นที่ป่าไม้ และอื่นๆ เนื่องจากแผนที่แบบพื้นที่เท่ากันจะไม่เปลี่ยนแปลงความหนาแน่นที่ปรากฏของปรากฏการณ์ที่กำลังทำแผนที่

ตามทฤษฎีบทเอเกรเกียม ของเกาส์ การฉายภาพแบบพื้นที่เท่ากันไม่สามารถเป็นการฉายภาพแบบคอนฟอร์มอลได้ซึ่งหมายความว่าการฉายภาพแบบพื้นที่เท่ากันจะทำให้รูปร่างบิดเบี้ยวอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ แม้ว่าจุดหรือเส้นทางบนแผนที่อาจไม่มีการบิดเบี้ยว แต่ยิ่งพื้นที่ของบริเวณที่ทำแผนที่นั้นกว้างมากเท่าใด การบิดเบี้ยวของรูปร่างก็จะยิ่งมากขึ้นและเห็นได้ชัดเจนมากขึ้นเท่านั้น

คำอธิบาย

เพื่อให้การฉายภาพแผนที่ของทรงกลมมีพื้นที่เท่ากัน สูตรการสร้างจะต้องเป็นไปตาม เงื่อนไขคล้าย โคชี-รีมันน์ นี้ : ^{[ 1 ]} ${\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\cdot {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}-{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}\cdot {\frac {\partial x}{\partial \varphi }}=s\cdot \cos \varphi$ ที่ไหน $s$ มีค่าคงที่ตลอดทั้งแผนที่ ในที่นี้ $\varphi$ แสดงถึงละติจูด; $\lambda$ แสดงถึงเส้นลองจิจูด และ $x$ และ $y$ คือพิกัดที่ฉายลงบนระนาบสำหรับจุดที่กำหนด $(\varphi ,\lambda )$ คู่พิกัด

ตัวอย่างเช่นการฉายภาพแบบไซน์เป็นรูปแบบการฉายภาพแบบพื้นที่เท่ากันที่ง่ายมาก สูตรการสร้างมีดังนี้: ${\begin{aligned}x&=R\cdot \lambda \cos \varphi \\y&=R\cdot \varphi \end{aligned}}$ ที่ไหน $R$ คือรัศมีของโลก การคำนวณอนุพันธ์ย่อย ${\frac {\partial x}{\partial \varphi }}=-R\cdot \lambda \cdot \sin \varphi ,\quad {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=R\cdot \cos \varphi ,\quad {\frac {\partial y}{\partial \varphi }}=R,\quad {\frac {\partial y}{\partial \lambda }}=0$ และดังนั้น ${\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\cdot {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}-{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}\cdot {\frac {\partial x}{\partial \varphi }}=R\cdot R\cdot \cos \varphi -0\cdot (-R\cdot \lambda \cdot \sin \varphi )=R^{2}\cdot \cos \varphi =s\cdot \cos \varphi$ กับ $s$ โดยพิจารณาค่าของค่าคงที่ $R^{2}$ .

สำหรับแผนที่พื้นที่เท่ากันของทรงรีเงื่อนไขเชิงอนุพันธ์ที่สอดคล้องกันที่ต้องเป็นไปตามนั้นคือ: ^{[ 1 ]} ${\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\cdot {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}-{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}\cdot {\frac {\partial x}{\partial \varphi }}=s\cdot \cos \varphi \cdot {\frac {(1-e^{2})}{(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi )^{2}}}$ ที่ไหน $e$ คือค่าความเยื้องศูนย์กลางของทรงรีที่เกิดจากการหมุนรอบแกน