ในปัญญาประดิษฐ์และสาขาที่เกี่ยวข้องกรอบการโต้แย้งเป็นวิธีการจัดการกับข้อมูลที่ขัดแย้งและสรุปผลจากข้อมูลเหล่านั้นโดยใช้ข้อ โต้แย้ง ที่เป็นทางการ

ในกรอบการโต้แย้งเชิงนามธรรม^{[ 1 ]}ข้อมูลระดับเริ่มต้นคือชุดของข้อโต้แย้งเชิงนามธรรมที่แสดงถึงข้อมูลหรือข้อเสนอ ตัวอย่างเช่น ความขัดแย้งระหว่างข้อโต้แย้งจะแสดงด้วยความสัมพันธ์แบบไบนารีบนชุดของข้อโต้แย้ง ในแง่ที่เป็นรูปธรรม กรอบการโต้แย้งจะแสดงด้วยกราฟแบบมีทิศทางโดยที่โหนดคือข้อโต้แย้ง และลูกศรแสดงถึงความสัมพันธ์ของการโจมตี มีส่วนขยายบางอย่างของกรอบงานของ Dung เช่น กรอบการโต้แย้งตามตรรกะ^{[ 2 ]}หรือกรอบการโต้แย้งตามคุณค่า^{[ 3 ]}

กรอบการโต้แย้งเชิงนามธรรม หรือที่เรียกว่า กรอบการโต้แย้งแบบ Dungนั้น ถูกกำหนดอย่างเป็นทางการเป็นคู่ดังนี้:

• ชุดขององค์ประกอบนามธรรมที่เรียกว่าอาร์กิวเมนต์ซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์${\displaystyle A}$
• ความสัมพันธ์ทวิภาคบนเรียกว่าความสัมพันธ์การโจมตีซึ่งแสดงด้วย${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$

ตัวอย่างเช่น ระบบการโต้แย้งที่มีและประกอบด้วยข้อโต้แย้งสี่ข้อ ( และ) และการโจมตีสามแบบ ( การโจมตีการโจมตีและการโจมตี) ${\displaystyle S=\langle A,R\rangle }$${\displaystyle A=\{a,b,c,d\}}$${\displaystyle R=\{(a,b),(b,c),(d,c)\}}$${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle d}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle d}$${\displaystyle c}$

Dung ได้ให้คำจำกัดความของแนวคิดบางประการไว้ดังนี้:

• ข้อโต้แย้งนั้นเป็นที่ยอมรับได้ก็ต่อเมื่อปกป้องสิ่งนั้น กล่าวคือเป็นเช่นนั้น${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle E\subseteq A}$${\displaystyle E}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \forall b\in A}$${\displaystyle (b,a)\in R,\exists c\in E}$${\displaystyle (c,b)\in R}$
• ชุดข้อโต้แย้งจะปราศจากข้อขัดแย้งหากไม่มีการโจมตีกันระหว่างข้อโต้แย้งเหล่านั้น ในเชิงรูปแบบคือ:${\displaystyle E}$${\displaystyle \forall a,b\in E,(a,b)\not \in R}$
• ชุดข้อโต้แย้งจะยอมรับได้ก็ต่อเมื่อไม่มีข้อขัดแย้งและข้อโต้แย้งทั้งหมดนั้นเป็นที่ยอมรับได้ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับ${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

เพื่อตัดสินว่าข้อโต้แย้งใดสามารถยอมรับได้หรือไม่ หรือว่าข้อโต้แย้งหลายข้อสามารถยอมรับได้พร้อมกันหรือไม่ Dung ได้กำหนดความหมายของการยอมรับหลายประการ ซึ่งช่วยให้สามารถคำนวณชุดของข้อโต้แย้ง (เรียกว่าส่วนขยาย ) ได้ เมื่อกำหนดระบบการโต้แย้งมาให้ ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนด ${\displaystyle S=\langle A,R\rangle }$

• ${\displaystyle E}$จะเป็นส่วนขยายที่สมบูรณ์ของก็ต่อเมื่อเป็นเซตที่ยอมรับได้และข้อโต้แย้งที่ยอมรับได้ทุกข้อเกี่ยวกับเป็นส่วนหนึ่งของ${\displaystyle S}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$
• ${\displaystyle E}$ถือเป็นส่วนขยายที่ต้องการก็ต่อเมื่อเป็นองค์ประกอบสูงสุด (โดยคำนึงถึงการรวมเชิงทฤษฎีเซต) ในบรรดาเซตที่ยอมรับได้ โดยคำนึงถึง${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$
• ${\displaystyle E}$ถือเป็นส่วนขยายที่เสถียรของก็ต่อเมื่อเป็นเซตที่ปราศจากความขัดแย้งซึ่งโจมตีทุกอาร์กิวเมนต์ที่ไม่เกี่ยวข้อง(ในทางรูปธรรมคือ เช่นนั้น)${\displaystyle S}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \forall a\in A\backslash E,\exists b\in E}$${\displaystyle (b,a)\in R}$
• ${\displaystyle E}$จะเป็นส่วนขยายที่มีรากฐาน (ที่ไม่ซ้ำกัน) ของก็ต่อเมื่อเป็นองค์ประกอบที่เล็กที่สุด (เมื่อพิจารณาจากการรวมเซต) ในบรรดาส่วนขยายที่สมบูรณ์ของ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

มีการรวมบางส่วนระหว่างชุดส่วนขยายที่สร้างขึ้นด้วยความหมายเหล่านี้:

• ทุกส่วนขยายที่เสถียรล้วนเป็นที่ต้องการ
• ส่วนต่อขยายที่ต้องการทั้งหมดเสร็จสมบูรณ์แล้ว
• การต่อเติมส่วนที่ต่อลงดินเสร็จสมบูรณ์แล้ว
• หากระบบมีพื้นฐานที่มั่นคง (ไม่มีลำดับอนันต์ใดที่ทำให้) ความหมายทั้งหมดเหล่านี้จะสอดคล้องกัน กล่าวคือ มีเพียงส่วนขยายเดียวเท่านั้นที่มีพื้นฐานที่มั่นคง เป็นที่ยอมรับ และสมบูรณ์${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n},\dots }$${\displaystyle \forall i>0,(a_{i+1},a_{i})\in R}$

มีการกำหนดความหมายอื่นๆ อีก^{[ 4 ]}

มีการแนะนำสัญลักษณ์หนึ่ง เพื่อ ระบุ เซตของส่วนขยายของระบบ${\displaystyle Ext_{\sigma }(S)}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle S}$

ในกรณีของระบบในรูปด้านบนสำหรับความหมายเชิงตรรกะของ Dung ทุกประการ ระบบนั้นมีพื้นฐานที่ดี นั่นอธิบายได้ว่าทำไมความหมายเชิงตรรกะจึงตรงกัน และข้อโต้แย้งที่ยอมรับได้คือ: และ${\displaystyle S}$${\displaystyle Ext_{\sigma }(S)=\{\{a,d\}\}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle d}$

การติดป้ายกำกับเป็นวิธีที่แสดงออกได้ชัดเจนกว่าการขยายความเพื่อแสดงการยอมรับข้อโต้แย้ง กล่าวคือ การติดป้ายกำกับคือการจับคู่ที่เชื่อมโยงข้อโต้แย้งแต่ละข้อกับป้ายกำกับin (ข้อโต้แย้งได้รับการยอมรับ), out (ข้อโต้แย้งถูกปฏิเสธ) หรือundec (ข้อโต้แย้งไม่ได้รับการกำหนด—ไม่ได้รับการยอมรับหรือถูกปฏิเสธ) เรายังสามารถระบุการติดป้ายกำกับเป็นชุดของคู่ได้อีกด้วย ${\displaystyle ({\mathit {argument}},{\mathit {label}})}$

การจับคู่แบบนี้จะไม่มีความหมายหากไม่มีข้อจำกัดเพิ่มเติม แนวคิดเรื่องการติดฉลากการคืนสถานะรับประกันความหมายของการจับคู่การติดฉลากการคืนสถานะในระบบจะเป็นไปก็ต่อเมื่อ: ${\displaystyle L}$${\displaystyle S=\langle A,R\rangle }$

• ${\displaystyle \forall a\in A,L(a)={\mathit {in}}}$ก็ต่อเมื่อเป็นเช่นนั้น${\displaystyle \forall b\in A}$${\displaystyle (b,a)\in R,L(b)={\mathit {out}}}$
• ${\displaystyle \forall a\in A,L(a)={\mathit {out}}}$ก็ต่อเมื่อและ${\displaystyle \exists b\in A}$${\displaystyle (b,a)\in R}$${\displaystyle L(b)={\mathit {in}}}$
• ${\displaystyle \forall a\in A,L(a)={\mathit {undec}}}$ก็ต่อเมื่อและ${\displaystyle L(a)\neq {\mathit {in}}}$${\displaystyle L(a)\neq {\mathit {out}}}$

เราสามารถแปลงส่วนขยายทุกส่วนให้เป็นการติดฉลากการคืนสถานะได้ โดยอาร์กิวเมนต์ของส่วนขยายจะอยู่ในส่วนที่ถูกโจมตีโดยอาร์กิวเมนต์ของส่วนขยายจะอยู่นอกและส่วนที่เหลือจะยังไม่ประกาศ ในทางกลับกัน เราสามารถสร้างส่วนขยายจากการติดฉลากการคืนสถานะได้เพียงแค่เก็บอาร์กิวเมนต์ไว้ในอันที่จริง Caminada ^{[ 5 ]}ได้พิสูจน์แล้วว่าการติดฉลากการคืนสถานะและส่วนขยายที่สมบูรณ์สามารถจับคู่กันได้ แบบ หนึ่งต่อหนึ่งยิ่งไปกว่านั้น ความหมายอื่นๆ ของ Datung สามารถเชื่อมโยงกับชุดการติดฉลากการคืนสถานะบางชุดได้

การติดป้ายกำกับการคืนสถานะจะแยกแยะข้อโต้แย้งที่ไม่ได้รับการยอมรับเนื่องจากถูกโจมตีโดยข้อโต้แย้งที่ได้รับการยอมรับ ออกจากข้อโต้แย้งที่ไม่ได้กำหนดไว้—นั่นคือ ข้อโต้แย้งที่ไม่ได้รับการปกป้องไม่สามารถปกป้องตัวเองได้ ข้อโต้แย้งจะถูกจัดว่าไม่ได้กำหนดไว้หากถูกโจมตีโดยข้อโต้แย้งที่ ไม่ได้กำหนดไว้อย่างน้อยหนึ่งข้อ หากถูกโจมตีโดยข้อโต้แย้งที่อยู่นอกเหนือการกำหนดไว้ เท่านั้น ข้อโต้แย้งนั้นจะต้องอยู่ในเหนือการกำหนดไว้และหากถูกโจมตีโดยข้อโต้แย้งที่อยู่ในเหนือการกำหนดไว้ ข้อโต้แย้งนั้นก็จะถูกจัดว่าอยู่ นอกเหนือการกำหนดไว้

ฉลากการคืนสถานะเฉพาะที่สอดคล้องกับระบบข้างต้นคือ. ${\displaystyle S}$${\displaystyle L=\{(a,{\mathit {in}}),(b,{\mathit {out}}),(c,{\mathit {out}}),(d,{\mathit {in}})\}}$

โดยทั่วไปแล้ว เมื่อมีการคำนวณส่วนขยายหลายรายการสำหรับความหมายที่กำหนดตัวแทนที่ให้เหตุผลจากระบบสามารถใช้กลไกหลายอย่างเพื่ออนุมานข้อมูลได้: ^{[ 6 ]}${\displaystyle \sigma }$

• การอนุมานแบบเชื่ออย่างงมงาย : ตัวแทนจะยอมรับข้อโต้แย้งก็ต่อเมื่อข้อโต้แย้งนั้นเป็นส่วนหนึ่งของส่วนขยายอย่างน้อยหนึ่งส่วน—ซึ่งในกรณีนี้ ตัวแทนอาจเสี่ยงที่จะยอมรับข้อโต้แย้งบางอย่างที่ไม่สามารถยอมรับร่วมกันได้ ( เช่น การโจมตีและซึ่งแต่ละข้อเป็นส่วนหนึ่งของส่วนขยาย)${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$
• การอนุมานเชิงสงสัย : ตัวแทนจะยอมรับข้อโต้แย้งก็ต่อเมื่อข้อโต้แย้งนั้นเป็นส่วนหนึ่งของส่วนขยายทุกส่วนเท่านั้น ในกรณีนี้ ตัวแทนอาจเสี่ยงที่จะอนุมานข้อมูลได้น้อยเกินไป (หากส่วนร่วมของส่วนขยายว่างเปล่าหรือมีจำนวนสมาชิกน้อยมาก)${\displaystyle \sigma }$

สำหรับสองวิธีนี้ในการอนุมานข้อมูล เราสามารถระบุชุดของข้อโต้แย้งที่ยอมรับได้ ซึ่งก็คือชุดของข้อโต้แย้งที่ยอมรับอย่างเชื่องช้าภายใต้ความหมายและชุดของข้อโต้แย้งที่ยอมรับอย่างสงสัยภายใต้ความหมาย( อาจละเว้นได้หากไม่มีความกำกวมเกี่ยวกับความหมาย) ${\displaystyle Cr_{\sigma }(S)}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle Sc_{\sigma }(S)}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma }$

แน่นอนว่า เมื่อมีส่วนขยายเพียงส่วนเดียว (เช่น เมื่อระบบมีพื้นฐานที่ดี) ปัญหานี้จะง่ายมาก: ตัวแทนจะยอมรับข้อโต้แย้งของส่วนขยายเฉพาะนั้น และปฏิเสธข้อโต้แย้งอื่นๆ

เหตุผลเดียวกันนี้สามารถทำได้ด้วยการติดป้ายกำกับที่สอดคล้องกับความหมายที่เลือกไว้: ข้อโต้แย้งสามารถยอมรับได้หากตรงกับป้ายกำกับแต่ละอัน และถูกปฏิเสธหากไม่ตรงกับป้ายกำกับแต่ละอัน ส่วนข้อโต้แย้งอื่นๆ จะอยู่ในสถานะที่ยังไม่ตัดสินใจ (สถานะของข้อโต้แย้งสามารถเตือนให้นึกถึงสถานะทางญาณวิทยาของความเชื่อในกรอบงาน AGM สำหรับพลวัตของความเชื่อ^{[ 7 ]} )

มีเกณฑ์ความเท่าเทียมกันหลายประการระหว่างกรอบการโต้แย้ง เกณฑ์ส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับชุดส่วนขยายหรือชุดข้อโต้แย้งที่ยอมรับได้ กล่าวอย่างเป็นทางการคือ เมื่อกำหนดความหมายแล้ว : ${\displaystyle \sigma }$

• ${\displaystyle {\mathit {EQ_{1}}}}$ กรอบการโต้แย้งสองกรอบจะเทียบเท่ากันหากมีชุดส่วนขยายเดียวกัน นั่นคือ ;${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle S_{1}\equiv _{1}S_{2}\Leftrightarrow Ext_{\sigma }(S_{1})=Ext_{\sigma }(S_{2})}$
• ${\displaystyle {\mathit {EQ_{2}}}}$ กรอบการโต้แย้งสองกรอบจะเทียบเท่ากันหากทั้งสองกรอบยอมรับข้อโต้แย้งเดียวกันด้วยมุมมองที่สงสัย กล่าวคือ ;${\displaystyle S_{1}\equiv _{2}S_{2}\Leftrightarrow Sc_{\sigma }(S_{1})=Sc_{\sigma }(S_{2})}$
• ${\displaystyle {\mathit {EQ_{2}}}}$ กรอบการโต้แย้งสองกรอบจะเทียบเท่ากันหากทั้งสองกรอบยอมรับข้อโต้แย้งเดียวกันโดยปราศจากอคติ กล่าวคือ...${\displaystyle S_{1}\equiv _{3}S_{2}\Leftrightarrow Cr_{\sigma }(S_{1})=Cr_{\sigma }(S_{2})}$

ความสมมูลที่แข็งแกร่ง^{[ 8 ]}กล่าวว่าระบบสองระบบและจะสมมูลกันก็ต่อเมื่อสำหรับระบบอื่นทั้งหมดการรวมกันของกับจะสมมูลกัน (สำหรับเกณฑ์ที่กำหนด) กับการรวมกันของและ^{[ 9 ]}${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{2}}$${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle S_{2}}$${\displaystyle S_{3}}$

กรอบแนวคิดเชิงนามธรรมของ Dung ได้ถูกนำไปประยุกต์ใช้ในกรณีเฉพาะหลายกรณี

ในกรณีของกรอบการโต้แย้งเชิงตรรกะ การโต้แย้งไม่ใช่สิ่งที่เป็นนามธรรม แต่เป็นคู่ โดยส่วนแรกคือชุดสูตรที่สอดคล้องกันขั้นต่ำที่เพียงพอต่อการพิสูจน์สูตรสำหรับส่วนที่สองของการโต้แย้ง ในทางรูปธรรม การโต้แย้งคือคู่ที่มีคุณสมบัติดังนี้ ${\displaystyle (\พี ,\อัลฟา )}$

• ${\displaystyle \พี \nvdash \bot }$
• ${\displaystyle \พี \vdash \อัลฟา }$
• ${\displaystyle \Phi }$คือเซตขั้นต่ำที่ตรงตามเงื่อนไขโดยที่คือเซตของสูตรที่ตัวแทนใช้ในการให้เหตุผล${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \Delta }$

อย่างหนึ่งคือผลที่ตามมาของและอีกอย่าง หนึ่ง คือการสนับสนุนของ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \alpha }$

ในกรณีนี้ ความสัมพันธ์ของการโจมตีไม่ได้ระบุไว้อย่างชัดเจนในฐานะเซตย่อยของผลคูณคาร์ทีเซียนแต่เป็นคุณสมบัติที่บ่งชี้ว่าอาร์กิวเมนต์หนึ่งโจมตีอีกอาร์กิวเมนต์หนึ่งหรือไม่ ตัวอย่างเช่น ${\displaystyle A\times A}$

• ตัวทำลายความสัมพันธ์ : โจมตีก็ต่อเมื่อ...${\displaystyle (\Psi ,\beta )}$${\displaystyle (\พี ,\อัลฟา )}$${\displaystyle \beta \vdash \neg (\phi _{1}\wedge \dots \wedge \phi _{n})}$${\displaystyle \{\phi _{1},\dots ,\phi _{n}\}\subseteq \Phi }$
• การ ลดทอนความสัมพันธ์ : การโจมตีจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ...${\displaystyle (\Psi ,\beta )}$${\displaystyle (\พี ,\อัลฟา )}$${\displaystyle \beta =\neg (\phi _{1}\wedge \dots \wedge \phi _{n})}$${\displaystyle \{\phi _{1},\dots ,\phi _{n}\}\subseteq \Phi }$
• การ โต้แย้งความสัมพันธ์ : โจมตีก็ต่อเมื่อเป็นสัจนิรันดร์${\displaystyle (\Psi ,\beta )}$${\displaystyle (\พี ,\อัลฟา )}$${\displaystyle \beta \Leftrightarrow \neg \alpha }$

เมื่อกำหนดความสัมพันธ์ของการโจมตีที่เฉพาะเจาะจงแล้ว เราสามารถสร้างกราฟและให้เหตุผลในลักษณะเดียวกับกรอบการโต้แย้งเชิงนามธรรม (การใช้ความหมายเพื่อสร้างส่วนขยาย การอนุมานเชิงสงสัยหรือเชิงเชื่อ) ความแตกต่างก็คือ ข้อมูลที่อนุมานได้จากกรอบการโต้แย้งเชิงตรรกะเป็นชุดของสูตร (ผลลัพธ์ของข้อโต้แย้งที่ยอมรับ)

กรอบแนวคิดการโต้แย้งบนพื้นฐานของค่านิยม มาจากแนวคิดที่ว่า ในระหว่างการแลกเปลี่ยนข้อโต้แย้ง บางข้ออาจมีความแข็งแกร่งกว่าข้ออื่น ๆ ในแง่ของค่านิยมที่ข้อโต้แย้งนั้น ๆ ดังนั้น ความสำเร็จของการโต้แย้งจึงขึ้นอยู่กับความแตกต่างของค่านิยมเหล่านั้น

ในทางทฤษฎีแล้ว กรอบการโต้แย้งเชิงคุณค่าคือทูเปิล ที่มีลักษณะคล้ายคลึงกับกรอบมาตรฐาน (ชุดของข้อโต้แย้งและความสัมพันธ์ทวิภาคบนชุดนี้) โดย ที่ เป็นเซต ของค่าที่ไม่ว่างเปล่า เป็นการแมปที่เชื่อมโยงแต่ละองค์ประกอบจากกับองค์ประกอบจากและเป็นความสัมพันธ์เชิงความชอบ (ถ่ายทอดได้ ไม่สะท้อน และไม่สมมาตร) บน ${\displaystyle VAF=\langle A,R,V,{\textit {val}},{\textit {valprefs}}\rangle }$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\textit {val}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\textit {valprefs}}}$${\displaystyle V\times V}$

ในกรอบความคิดนี้ ข้อโต้แย้งหนึ่งจะหักล้างข้อโต้แย้งอีกข้อหนึ่งได้ก็ต่อเมื่อ... ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

• ${\displaystyle a}$การโจมตีในความหมาย "มาตรฐาน":  ;${\displaystyle b}$${\displaystyle (a,b)\in R}$
• และนั่นหมายความว่าค่าที่เสนอโดยไม่ได้รับการพิจารณาว่าเป็นค่าที่เสนอโดย${\displaystyle ({\textit {val}}(b),val(a))\not \in {\textit {valprefs}}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$

กล่าวกันว่า การโจมตีจะสำเร็จก็ต่อเมื่ออาร์กิวเมนต์ทั้งสองเชื่อมโยงกับค่าเดียวกัน หรือหากไม่มีความชอบเป็นพิเศษระหว่างค่าของอาร์กิวเมนต์เหล่านั้น

ในกรอบแนวคิดการโต้แย้งโดยอาศัยสมมติฐาน (ABA) ข้อโต้แย้งจะถูกกำหนดเป็นชุดของกฎ และการโจมตีจะถูกกำหนดในแง่ของสมมติฐานและข้อขัดแย้ง

ในทางรูปแบบ กรอบการโต้แย้งตามสมมติฐานคือทูเปิล^[ 10 ^{] [ 11 ] [ 12 ] โดย}ที่ ${\displaystyle \langle {\mathcal {L}},{\mathcal {R}},{\mathcal {A}},{\overline {\mathrm {\textvisiblespace} }}\rangle }$

• ${\displaystyle \langle {\mathcal {L}},{\mathcal {R}}\rangle }$ เป็นระบบนิรนัย โดยที่เป็นภาษา และเป็นเซตของกฎการอนุมานในรูปแบบสำหรับและ;${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle s_{0}\leftarrow s_{1},\dotsc ,s_{m}}$${\displaystyle m>0}$${\displaystyle s_{0},s_{1},\dotsc ,s_{m}\in {\mathcal {L}}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$โดยที่เป็นเซตที่ไม่ว่างเปล่า ซึ่งเรียกว่าสมมติฐาน${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {L}}}$
• ${\displaystyle {\overline {\mathrm {\textvisiblespace} }}}$เป็นการแมปแบบสมบูรณ์จากไปยังโดยที่ถูกกำหนดให้เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\overline {a}}}$${\displaystyle a}$

ผลจากการกำหนด ABA ทำให้ข้อโต้แย้งสามารถแสดงได้ในรูปแบบต้นไม้ [ ^{10 ] ใน}ทางรูปแบบ เมื่อกำหนดระบบการอนุมานและชุดสมมติฐาน ข้อโต้แย้ง^{[ 10 ]}สำหรับข้ออ้างที่ได้รับการสนับสนุนโดยคือต้นไม้ที่มีโหนดที่ติดป้ายกำกับด้วยประโยคในหรือด้วยสัญลักษณ์โดยที่: ${\displaystyle \langle {\mathcal {L}},{\mathcal {R}}\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {L}}}$${\textstyle c\in {\mathcal {L}}}$${\displaystyle S\subseteq {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \tau }$

• รากถูกระบุด้วย${\displaystyle c}$
• สำหรับแต่ละโหนด ${\displaystyle N}$
  • ถ้าเป็นโหนดใบแสดงว่าถูกกำหนดป้ายกำกับโดยสมมติฐานหรือโดย${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \tau }$
  • ถ้าไม่ใช่โหนดใบ จะมีกฎการอนุมาน, , โดยที่คือป้ายกำกับของและ ${\displaystyle N}$${\displaystyle l_{N}\leftarrow s_{1},...,s_{m}}$${\displaystyle (m\geq 0)}$${\displaystyle l_{N}}$${\displaystyle N}$
    • ถ้าเช่นนั้นกฎจะเป็น(กล่าวคือ ลูกของคือ)${\displaystyle m=0}$${\displaystyle l_{N}\leftarrow \tau }$${\displaystyle N}$${\displaystyle \tau }$
    • มิเช่นนั้นก็จะมีลูกๆ ที่ถูกติดป้ายกำกับโดย${\displaystyle N}$${\displaystyle m}$${\displaystyle s_{1},...,s_{m}}$
• ${\displaystyle S}$คือเซตของสมมติฐานทั้งหมดที่ใช้ในการกำหนดป้ายกำกับให้กับโหนดใบ

ข้อโต้แย้ง^{[ 10 ]}ที่มีข้ออ้างที่ได้รับการสนับสนุนจากชุดสมมติฐานสามารถแสดงได้ดังนี้${\displaystyle c}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S\vdash c}$