การขยายตัวเชิงเส้นกำกับ

ในทางคณิตศาสตร์การขยายอนุกรมเชิงอะซิมโทติกหรือการขยายอนุกรมปวงกาเร (ตั้งชื่อตามอองรี ปวงกา เร ) คืออนุกรมฟังก์ชันเชิงรูปแบบที่มีคุณสมบัติว่าการตัดทอนอนุกรมหลังจากจำนวนพจน์ที่จำกัดจะให้ค่าประมาณของฟังก์ชันที่กำหนดให้ เมื่ออาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันมีแนวโน้มเข้าใกล้จุดเฉพาะจุดหนึ่ง ซึ่งมักจะเป็นอนันต์ การวิจัยของดิงเกิล (1973)พบว่าส่วนที่ลู่เข้าของการขยายอนุกรมเชิงอะซิมโทติกนั้นมีความหมายแฝง กล่าวคือ มีข้อมูลเกี่ยวกับค่าที่แท้จริงของฟังก์ชันที่ขยายแล้ว

Poincaré และStieltjesพัฒนาทฤษฎีการขยายอนุกรมอนันต์โดยอิสระในปี พ.ศ. 2429 ^{[ 1 ]}

การขยายอนุกรมเชิงอะซิมโทติกที่พบได้บ่อยที่สุดคืออนุกรมกำลังไม่ว่าจะเป็นกำลังบวกหรือลบ วิธีการสร้างการขยายอนุกรมดังกล่าว ได้แก่สูตรการรวมของออยเลอร์-แมคลาลินและการแปลงเชิงอินทิกรัลเช่น การแปลง ลาปลาสและการแปลงเมลลิน การ อินทิเกรตโดยใช้การแยกส่วน ซ้ำๆ มักจะนำไปสู่การขยายอนุกรมเชิงอะซิมโทติก

เนื่องจากอนุกรมเทย์เลอร์ที่ลู่เข้า ก็สอดคล้องกับนิยามของการขยายอนุกรมเชิงอะซิมโทติกเช่นกัน วลี "อนุกรมเชิงอะซิมโทติก" จึงมักหมายถึง อนุกรมที่ ไม่ลู่เข้าแม้จะไม่ลู่เข้า การขยายอนุกรมเชิงอะซิมโทติกก็ยังมีประโยชน์เมื่อตัดทอนให้เหลือจำนวนพจน์ที่จำกัด การประมาณค่าอาจให้ประโยชน์โดยสามารถจัดการทางคณิตศาสตร์ได้ง่ายกว่าฟังก์ชันที่กำลังขยาย หรือโดยการเพิ่มความเร็วในการคำนวณของฟังก์ชันที่ขยาย โดยทั่วไป การประมาณค่าที่ดีที่สุดจะได้รับเมื่ออนุกรมถูกตัดทอนที่พจน์ที่เล็กที่สุด วิธีการตัดทอนการขยายอนุกรมเชิงอะซิมโทติกอย่างเหมาะสมนี้เรียกว่าซูเปอร์อะซิมโทติก [ ²^]^ข้อผิดพลาดโดยทั่วไปจะมีรูปแบบ $~ exp(-$ $c$ $/$ $ε$ $)$ โดยที่ $ε$ คือพารามิเตอร์การขยาย ข้อผิดพลาดจึงเกินกว่าลำดับทั้งหมดของพารามิเตอร์การขยาย เป็นไปได้ที่จะปรับปรุงข้อผิดพลาดของซูเปอร์อะซิมโทติก เช่น โดยการใช้วิธีการรวมใหม่ เช่นการรวมใหม่ของโบเรลไปยังส่วนหางที่ลู่เข้า วิธีการดังกล่าว มักถูกเรียกว่าการประมาณค่าแบบไฮเปอร์อะซิมโทติก

โปรดดูการวิเคราะห์เชิงอะซิมโทติกและสัญกรณ์บิ๊กโอสำหรับสัญลักษณ์ที่ใช้ในบทความนี้

คำจำกัดความอย่างเป็นทางการ

ขั้นแรก เราจะกำหนดมาตราส่วนเชิงอะซิมโทติก จากนั้นจึงให้คำจำกัดความอย่างเป็นทางการของการขยายเชิงอะซิมโทติก

ถ้า $\varphi _{n}$ เป็นลำดับของฟังก์ชันต่อเนื่องของตัวแปรเชิงเส้นกำกับ ${\textstyle x}$ บนโดเมนบางแห่ง และถ้า $L$ หากเป็นจุดจำกัดของโดเมน ลำดับจะประกอบเป็น^{มาตราส่วน}เชิงเส้นกำกับหากสำหรับทุก $n$ [ ^{3 ]}

\varphi _{n+1}(x)=o(\varphi _{n}(x))\quad (x\to L)\ .

โดยทั่วไป $L$ ถือว่าเป็นศูนย์หรืออนันต์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลำดับของฟังก์ชันจะเป็นมาตราส่วนเชิงอะซิมโทติกก็ต่อเมื่อแต่ละฟังก์ชันในลำดับนั้นเติบโตช้าลงอย่างเคร่งครัด (ในลิมิต⁠ $x\to L$ )มากกว่าฟังก์ชันก่อนหน้า

ถ้า $f$ ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนโดเมนของมาตราส่วนเชิงอะซิมโทติกแล้ว $f$ จะมีการขยายเชิงอะซิมโทติกมาตรฐานอันดับ $N$ โดยคำนึงถึงมาตราส่วนเป็นชุดอย่างเป็นทางการ^{[ 4 ]}

\sum _{n=0}^{N}a_{n}\varphi _{n}(x)

ถ้า

f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)=O(\varphi _{N}(x))\quad (x\to L)

หรือสภาวะที่อ่อนแอกว่า

f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)=o(\varphi _{N-1}(x))\quad (x\to L)\

รู้สึกพอใจ ที่นี่ $o$ คือ สัญลักษณ์ o ตัวเล็กถ้าเงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่งเป็นจริงสำหรับทุก⁠ $N$ จาก นั้นเราเขียน^{[ 5 ]}

f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\varphi _{n}(x)\quad (x\to L)\ .

ตรงกันข้ามกับอนุกรมลู่เข้าสำหรับ⁠ $f$ โดยที่อนุกรมจะลู่เข้าสำหรับค่าคงที่ใด ๆ $x$ ในขีดจำกัด $N\to \infty$ เราอาจมองว่าอนุกรมเชิงอะซิมโทติกลู่เข้าเมื่อ ค่าคงที่ค่า หนึ่งคงที่ $N$ ในขีดจำกัด $x\to L$ (กับ $L$ อาจเป็นอนันต์ก็ได้)

ตัวอย่าง

กราฟแสดงค่าสัมบูรณ์ของความคลาดเคลื่อนเชิงเศษส่วนในการขยายอนุกรมเชิงอะซิมโทติกของฟังก์ชันแกมมา (ซ้าย) แกนแนวนอนแสดงจำนวนพจน์ในการขยายอนุกรมเชิงอะซิมโทติก จุดสีน้ำเงินแสดงค่าสำหรับ $x = 2$ และจุดสีแดงแสดงค่าสำหรับ $x = 3$ จะเห็นได้ว่าความคลาดเคลื่อนน้อยที่สุดเกิดขึ้นเมื่อมี 14 พจน์สำหรับ $x = 2$ และ 20 พจน์สำหรับ $x = 3$ หลังจากนั้นความคลาดเคลื่อนจะล diverge

ฟังก์ชันแกมมา ( การประมาณของสเตอร์ลิง ) ${\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\to \infty )$
อินทิกรัลเลขชี้กำลัง $xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n}}}\ (x\to \infty )$
อินทิกรัลลอการิทึม $\operatorname {li} (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}$
ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ $\zeta (s)\sim \sum _{n=1}^{N}n^{-s}+{\frac {N^{1-s}}{s-1}}-{\frac {N^{-s}}{2}}+N^{-s}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {B_{2m}s^{\overline {2m-1}}}{(2m)!N^{2m-1}}}$ ที่ไหน $B_{2m}$ คือจำนวนเบอร์นูลลีและ $s^{\overline {2m-1}}$ เป็นแฟกทอเรียลที่เพิ่มขึ้นการขยายนี้ใช้ได้กับจำนวนเชิงซ้อน $s$ ทั้งหมด และมักใช้ในการคำนวณฟังก์ชันซีตาโดยใช้ค่า $N ที่มากพอ$ ตัวอย่างเช่น $N>\vert s\vert$ ⁠ .
ฟังก์ชันข้อผิดพลาด ${\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}{\rm {erfc}}(x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2x^{2})^{n}}}\ (x\to \infty )$ โดยที่ $(2 n - 1)!!$ คือ แฟกทอเรี ยลคู่

ตัวอย่างการใช้งาน

การขยายอนุกรมเชิงอะซิมโทติกมักเกิดขึ้นเมื่อใช้อนุกรมธรรมดาในนิพจน์เชิงรูปธรรมที่บังคับให้ค่าของอนุกรมอยู่นอกเหนือขอบเขตการลู่เข้าตัวอย่างเช่น อาจเริ่มต้นด้วยอนุกรมธรรมดา

{\frac {1}{1-w}}=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}.

นิพจน์ทางด้านซ้ายนั้นใช้ได้กับระนาบเชิงซ้อน ทั้งหมด $w\neq 1$ ในขณะที่ด้านขวามือจะลู่เข้าเฉพาะเมื่อ⁠ $\vert w\vert <1$ คูณด้วย $e^{-w/t}$ และการบูรณาการทั้งสองด้านเข้าด้วยกันจะให้ผลลัพธ์ดังนี้

\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {w}{t}}}}{1-w}}\,dw=\sum _{n=0}^{\infty }t^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{-u}u^{n}\,du,

หลังจากการเปลี่ยนตัว $u=w/t$ ทางด้านขวามือ ปริพันธ์ทางด้านซ้ายมือ ซึ่งเข้าใจว่าเป็นค่าหลักของโคชีสามารถแสดงได้ในรูปของปริพันธ์เลขชี้กำลังปริพันธ์ทางด้านขวามืออาจถือได้ว่าเป็นฟังก์ชันแกมมาเมื่อประเมินทั้งสอง จะได้การขยายอนุกรมเชิงเส้นกำกับ

e^{-{\frac {1}{t}}}\operatorname {Ei} \left({\frac {1}{t}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }n!t^{n+1}.

$ในที่นี้ ด้านขวามือเห็นได้ชัดว่าไม่ลู่เข้าสำหรับค่า t$ ใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์อย่างไรก็ตาม โดยการตัดทอนอนุกรมทางด้านขวาให้เหลือจำนวนพจน์ที่จำกัด เราอาจได้ค่าประมาณที่ดีพอสมควรสำหรับค่าของ t $\operatorname {Ei} \left({\tfrac {1}{t}}\right)$ สำหรับ $ค่า t$ ที่เล็กพอสมควร โดยการแทนที่ $x=-{\tfrac {1}{t}}$ และสังเกตว่า $\operatorname {Ei} (x)=-E_{1}(-x)$ ส่งผลให้ได้การขยายเชิงอะซิมโทติกที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ในบทความนี้

การบูรณาการโดยใช้ส่วนประกอบ

โดยใช้การอินทิเกรตโดยส่วน เราสามารถได้สูตรที่ชัดเจน^{[ 6 ]} $\operatorname {Ei} (z)={\frac {e^{z}}{z}}\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {k!}{z^{k}}}+e_{n}(z)\right),\quad e_{n}(z)\equiv (n+1)!\ ze^{-z}\int _{-\infty }^{z}{\frac {e^{t}}{t^{n+2}}}\,dt$ สำหรับค่าคงที่ใดๆ $z$ ค่าสัมบูรณ์ของพจน์ความคลาดเคลื่อน $|e_{n}(z)|$ ลดลง แล้วเพิ่มขึ้น จุดต่ำสุดเกิดขึ้นที่⁠ $n\sim \vert z\vert$ ณจุดนั้น $\textstyle \vert e_{n}(z)\vert \leq {\sqrt {\frac {2\pi }{\vert z\vert }}}e^{-\vert z\vert }$ ขอบเขตนี้กล่าวกันว่าเป็น "ค่าประมาณเชิงอนุกรมที่อยู่เหนือลำดับทั้งหมด"

คุณสมบัติ

ความเป็นเอกลักษณ์สำหรับมาตราส่วนเชิงเส้นกำกับที่กำหนด

สำหรับมาตราส่วนเชิงเส้นกำกับที่กำหนด $\{\varphi _{n}(x)\}$ การขยายเชิงเส้นกำกับของฟังก์ชัน $f(x)$ มีเอกลักษณ์^{[ 7 ]}นั่นคือสัมประสิทธิ์ $\{a_{n}\}$ ถูกกำหนดอย่างเป็นเอกลักษณ์ด้วยวิธีดังต่อไปนี้: ${\begin{aligned}a_{0}&=\lim _{x\to L}{\frac {f(x)}{\varphi _{0}(x)}}\\a_{1}&=\lim _{x\to L}{\frac {f(x)-a_{0}\varphi _{0}(x)}{\varphi _{1}(x)}}\\&\;\;\vdots \\a_{N}&=\lim _{x\to L}{\frac {f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)}{\varphi _{N}(x)}}\end{aligned}}$ ที่ไหน $L$ คือจุดลิมิตของการขยายอนุกรมเชิงอะซิมโทติกนี้ (อาจจะเป็น⁠ $\pm \infty$ )

ความไม่เป็นเอกลักษณ์สำหรับฟังก์ชันที่กำหนด

ฟังก์ชันที่กำหนด $f(x)$ อาจมีการขยายเชิงเส้นกำกับหลายแบบ (แต่ละแบบมีมาตราส่วนเชิงเส้นกำกับที่แตกต่างกัน) ^{[ 7 ]}

ความด้อยกว่า

การขยายเชิงอะซิมโทติกอาจเป็นการขยายเชิงอะซิมโทติกไปยังฟังก์ชันมากกว่าหนึ่งฟังก์ชัน^{[ 7 ]}

ดูเพิ่มเติม

สาขาที่เกี่ยวข้อง

วิธีการเชิงอะซิมโทติก

หมายเหตุ

↑ Jahnke, Hans Niels (2003). ประวัติศาสตร์ของการวิเคราะห์ . ประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์. พรอวิเดนซ์ (โรดไอส์แลนด์): สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน. หน้า 190. ISBN 978-0-8218-2623-2.
↑ Boyd, John P. (1999), "The Devil's Invention: Asymptotic, Superasymptotic and Hyperasymptotic Series" (PDF) , Acta Applicandae Mathematicae , 56 (1): 1– 98, doi : 10.1023/A:1006145903624 , hdl : 2027.42/41670 .
↑ Olver, FWJ (10 พฤษภาคม 2014). Asymptotics and Special Functions . Academic Press. หน้า17. ISBN 978-1-4832-6744-9.
↑ Boyd, John P. (1 มีนาคม 1999). "สิ่งประดิษฐ์ของปีศาจ: อนุกรมเชิงอะซิมโทติก ซูเปอร์อะซิมโทติก และไฮเปอร์อะซิมโทติก" . Acta Applicandae Mathematica . 56 (1): 2, 9. doi : 10.1023/A:1006145903624 . ISSN 1572-9036 .
↑ Erdélyi, A. (27 เมษายน 2555). การขยายเชิงอะซิมโทติก . Courier Corporation. หน้า12. ISBN 978-0-486-15505-0.
↑ O'Malley, Robert E. (2014), "การประมาณเชิงอะซิมโทติก"ใน O'Malley, Robert E. (บรรณาธิการ), พัฒนาการทางประวัติศาสตร์ของการรบกวนแบบเอกลักษณ์ , Cham: Springer International Publishing, หน้า27–51 , doi : 10.1007/978-3-319-11924-3_2 , ISBN 978-3-319-11924-3สืบค้นเมื่อ 2023-05-04
1 2 3 S.JA Malham, "บทนำสู่การวิเคราะห์เชิงอะซิมโทติก ",มหาวิทยาลัยเฮริออต-วัตต์

ลิงก์ภายนอก

"การขยายเชิงอะซิมโทติก" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
Wolfram Mathworld: อนุกรมเชิงเส้นกำกับ

[1] Jahnke, Hans Niels (2003). ประวัติศาสตร์ของการวิเคราะห์ . ประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์. พรอวิเดนซ์ (โรดไอส์แลนด์): สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน. หน้า 190. ISBN 978-0-8218-2623-2.

[2] Boyd, John P. (1999), "The Devil's Invention: Asymptotic, Superasymptotic and Hyperasymptotic Series" (PDF) , Acta Applicandae Mathematicae , 56 (1): 1– 98, doi : 10.1023/A:1006145903624 , hdl : 2027.42/41670 .

[3] Olver, FWJ (10 พฤษภาคม 2014). Asymptotics and Special Functions . Academic Press. หน้า17. ISBN 978-1-4832-6744-9.

[4] Boyd, John P. (1 มีนาคม 1999). "สิ่งประดิษฐ์ของปีศาจ: อนุกรมเชิงอะซิมโทติก ซูเปอร์อะซิมโทติก และไฮเปอร์อะซิมโทติก" . Acta Applicandae Mathematica . 56 (1): 2, 9. doi : 10.1023/A:1006145903624 . ISSN 1572-9036 .

[5] Erdélyi, A. (27 เมษายน 2555). การขยายเชิงอะซิมโทติก . Courier Corporation. หน้า12. ISBN 978-0-486-15505-0.

[6] O'Malley, Robert E. (2014), "การประมาณเชิงอะซิมโทติก"ใน O'Malley, Robert E. (บรรณาธิการ), พัฒนาการทางประวัติศาสตร์ของการรบกวนแบบเอกลักษณ์ , Cham: Springer International Publishing, หน้า27–51 , doi : 10.1007/978-3-319-11924-3_2 , ISBN 978-3-319-11924-3สืบค้นเมื่อ 2023-05-04

[Malham-7] 1 2 3 S.JA Malham, "บทนำสู่การวิเคราะห์เชิงอะซิมโทติก ",มหาวิทยาลัยเฮริออต-วัตต์

[ 1 ]

2

มาตราส่วน

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]