ดัชนีแอตคินสัน (หรือที่รู้จักกันในชื่อมาตรวัดแอตคินสันหรือมาตรวัดความไม่เท่าเทียมกันของแอตคินสัน ) เป็นมาตรวัดความไม่เท่าเทียมกันของรายได้ที่พัฒนาโดยนักเศรษฐศาสตร์ชาวอังกฤษแอนโทนี บาร์นส์ แอตคินสันมาตรวัดนี้มีประโยชน์ในการกำหนดว่าปลายด้านใดของการกระจายมีส่วนทำให้เกิดความไม่เท่าเทียมกันที่สังเกตได้มากที่สุด^{[ 1 ]}

ดัชนีแอตคินสัน (Atkinson index) นิยามได้ดังนี้:

${\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})={\begin{cases}1-{\frac {1}{\mu }}\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}y_{i}^{1-\varepsilon }\right)^{1/(1-\varepsilon )}&{\mbox{สำหรับ}}\ 0\leq \varepsilon \neq 1\\1-{\frac {1}{\mu }}\left(\prod _{i=1}^{N}y_{i}\right)^{1/N}&{\mbox{สำหรับ}}\ \varepsilon =1\\1-{\frac {1}{\mu }}\min \left(y_{1},...,y_{N}\right)&{\mbox{สำหรับ}}\ \varepsilon =+\infty \end{กรณี}}}$

โดยที่คือรายได้รายบุคคล ( i = 1, 2, ..., N ) และคือรายได้ เฉลี่ย${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle \mu }$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ดัชนีแอตกินสันเป็นส่วนเติมเต็มของ 1 ของอัตราส่วนของค่าเฉลี่ยทั่วไปของโฮลเดอร์ที่มีเลขชี้กำลัง 1−ε ต่อค่าเฉลี่ยเลขคณิตของรายได้ (โดยที่ค่าเฉลี่ยทั่วไปที่มีเลขชี้กำลัง 0 ตามปกติจะถูกตีความว่าเป็นค่าเฉลี่ยเรขาคณิต )

ดัชนีสามารถเปลี่ยนเป็น มาตรวัด เชิงบรรทัดฐานได้โดยการกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ เพื่อถ่วงน้ำหนักรายได้ สามารถให้น้ำหนักมากขึ้นกับการเปลี่ยนแปลงในส่วนใดส่วนหนึ่งของการกระจายรายได้โดยการเลือกค่าระดับ "ความไม่ชอบความไม่เท่าเทียมกัน" ให้เหมาะสม ดัชนี Atkinson จะมีความไวต่อการเปลี่ยนแปลงที่ส่วนล่างของการกระจายรายได้มากขึ้นเมื่อค่าเพิ่มขึ้น ในทางกลับกัน เมื่อระดับความไม่ชอบความไม่เท่าเทียมกันลดลง (นั่นคือ เมื่อเข้าใกล้ 0) ดัชนี Atkinson จะมีความไวต่อการเปลี่ยนแปลงที่ส่วนล่างของการกระจายรายได้น้อยลง ดัชนี Atkinson สำหรับค่าที่ไม่มีค่า จะมีความไวสูงต่อรายได้สูงสุดเนื่องจากข้อจำกัดทั่วไปที่ว่ามีค่าไม่เป็นลบ^{[ 2 ]}${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$

พารามิเตอร์ แอตคินสันมักถูกเรียกว่า "พารามิเตอร์ความไม่ชอบความไม่เท่าเทียม" เนื่องจากมันควบคุมความไวของความสูญเสียสวัสดิการสังคมโดยนัยจากความไม่เท่าเทียมต่อความไม่เท่าเทียมทางรายได้ ซึ่งวัดได้จากดัชนีเอนโทรปีทั่วไปที่สอดคล้องกัน ดัชนีแอตคินสันถูกกำหนดโดยอ้างอิงถึงฟังก์ชันสวัสดิการสังคมที่สอดคล้องกัน โดยที่รายได้เฉลี่ยคูณด้วยหนึ่งลบด้วยดัชนีแอตคินสันจะให้รายได้ที่กระจายอย่างเท่าเทียมกันซึ่งเทียบเท่ากับสวัสดิการดังนั้น ดัชนีแอตคินสันจึงแสดงส่วนแบ่งของรายได้ปัจจุบันที่สามารถเสียสละได้โดยไม่ลดสวัสดิการสังคม หากมีการใช้ความไม่เท่าเทียมอย่างสมบูรณ์ สำหรับกรณีที่(ไม่มีความไม่ชอบความไม่เท่าเทียม) สวัสดิการสังคมส่วนเพิ่มจากรายได้จะไม่เปลี่ยนแปลงตามรายได้ กล่าวคือ การเพิ่มขึ้นของรายได้ส่วนเพิ่มจะสร้างสวัสดิการสังคมเท่ากันไม่ว่าจะเป็นคนจนหรือคนรวย ในกรณีนี้ รายได้ที่กระจายอย่างเท่าเทียมกันซึ่งเทียบเท่ากับสวัสดิการจะเท่ากับรายได้เฉลี่ย และดัชนีแอตคินสันจะเป็นศูนย์ ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon =0}$

สำหรับ(ความเกลียดชังความไม่เท่าเทียมกันอย่างไม่มีที่สิ้นสุด) สวัสดิการทางสังคมส่วนเพิ่มของรายได้ของบุคคลที่ยากจนที่สุดนั้นมีขนาดใหญ่กว่าบุคคลที่ร่ำรวยกว่าเล็กน้อยอย่างไม่มีที่สิ้นสุด และฟังก์ชันสวัสดิการทางสังคมของแอตกินสันจะเท่ากับรายได้ที่น้อยที่สุดในกลุ่มตัวอย่าง ในกรณีนี้ ดัชนีแอตกินสันจะเท่ากับรายได้เฉลี่ยลบด้วยรายได้ที่น้อยที่สุด หารด้วยรายได้เฉลี่ย เนื่องจากในการกระจายรายได้ทั่วไปขนาดใหญ่ รายได้ที่เป็นศูนย์หรือใกล้ศูนย์นั้นพบได้บ่อย ดัชนีแอตกินสันจึงมีแนวโน้มที่จะเป็นหนึ่งหรือใกล้เคียงกับหนึ่งมากสำหรับค่าที่สูงมาก ${\displaystyle \varepsilon =+\infty }$${\displaystyle \varepsilon }$

ดัชนีแอตคินสันมีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และเป็นตัววัดปริมาณอรรถประโยชน์ทางสังคมที่จะได้รับจากการกระจายรายได้ใหม่ทั้งหมดตามสัดส่วนรายได้ที่กำหนดภายใต้มาตรฐานทางจริยธรรมแบบอรรถประโยชน์นิยมและข้อสมมติที่จำกัดบางประการ (ประชากรที่เป็นเนื้อเดียวกันและความยืดหยุ่นของอรรถประโยชน์ทดแทนคงที่ ) ดัชนีแอตคินสัน จะมีค่าเท่ากับความยืดหยุ่นของอรรถประโยชน์ส่วนเพิ่มของรายได้ ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$

ดัชนีแอตคินสันที่หลีกเลี่ยงความไม่เท่าเทียมกันนั้นเทียบเท่า (ภายใต้การปรับขนาดแบบโมโนโทนิก) กับดัชนีเอนโทรปีทั่วไปที่มีพารามิเตอร์${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \alpha =1-\varepsilon }$

สูตรสำหรับการหาค่าดัชนี Atkinson ที่มีพารามิเตอร์ความไม่ชอบความไม่เท่าเทียมกันจากดัชนี GE ที่สอดคล้องกันภายใต้ข้อจำกัดนั้นมีดังนี้: ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \varepsilon =1-\alpha }$$${\displaystyle A=1-[\varepsilon (\varepsilon -1)GE(\alpha )+1]^{(1/(1-\varepsilon ))}\qquad \varepsilon \neq 1}$$$${\displaystyle A=1-e^{-GE(\alpha )}\qquad \varepsilon =1}$$

ดัชนีแอตคินสันมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

1. ดัชนีมีความสมมาตรในอาร์กิวเมนต์: สำหรับการเรียงสับเปลี่ยนใดๆ${\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=A_{\varepsilon }(y_{\sigma (1)},\ldots ,y_{\sigma (N)})}$${\displaystyle \sigma }$
2. ดัชนีนี้มีค่าไม่เป็นลบ และมีค่าเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อรายได้ทั้งหมดเท่ากันเท่านั้นกล่าวคือ ก็ต่อเมื่อสำหรับทุกค่า${\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=0}$${\displaystyle y_{i}=\mu }$${\displaystyle i}$
3. ดัชนีนี้สอดคล้องกับหลักการโอนเงิน กล่าวคือ หากมีการโอนเงินจากบุคคลที่มีรายได้หนึ่งไปยังอีกบุคคลหนึ่งที่มีรายได้หนึ่งโดยที่ดัชนีความไม่เท่าเทียมจะไม่เพิ่มขึ้น${\displaystyle \Delta >0}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle y_{j}}$${\displaystyle y_{i}-\เดลต้า >y_{j}+\เดลต้า }$
4. ดัชนีนี้สอดคล้องกับสัจพจน์การจำลองประชากร: หากสร้างประชากรใหม่โดยการจำลองประชากรที่มีอยู่เดิมเป็นจำนวนครั้งใดๆ ก็ตาม อสมการจะยังคงเหมือนเดิม:${\displaystyle A_{\varepsilon }(\{y_{1},\ldots ,y_{N}\},\ldots ,\{y_{1},\ldots ,y_{N}\})=A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})}$
5. ดัชนีนี้สอดคล้องกับสัจพจน์ความเป็นอิสระของค่าเฉลี่ย หรือความสม่ำเสมอของรายได้: หากรายได้ทั้งหมดถูกคูณด้วยค่าคงที่บวก ความไม่เท่าเทียมกันจะยังคงเหมือนเดิม: สำหรับทุกๆ${\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=A_{\varepsilon }(ky_{1},\ldots ,ky_{N})}$${\displaystyle k>0}$
6. ดัชนีสามารถแยกกลุ่มย่อยได้ (แบบไม่บวก) และดัชนีเอนโทรปีทั่วไปที่สอดคล้องกันสามารถแยกกลุ่มย่อยได้แบบบวก^{[ 3 ]}ซึ่งหมายความว่าความไม่เท่าเทียมกันโดยรวมในประชากรสามารถคำนวณได้จากผลรวมของดัชนี GE ที่สอดคล้องกันภายในแต่ละกลุ่ม และดัชนี GE ของรายได้เฉลี่ยของกลุ่ม:

${\displaystyle GE(\alpha ;y_{gi}:g=1,\ldots ,G,i=1,\ldots ,N_{g})=\sum _{g=1}^{G}w_{g}GE(\alpha ;y_{g1},\ldots ,y_{gN_{g}})+GE(\alpha ;\mu _{1},\ldots ,\mu _{G})}$

โดยที่ดัชนีกลุ่ม , , บุคคลภายในกลุ่ม , คือรายได้เฉลี่ยในกลุ่มและน้ำหนักขึ้นอยู่กับและขอบเขตของดัชนีความไม่เท่าเทียมที่สามารถแยกส่วนได้แบบบวกนั้นมีข้อจำกัดมาก อันที่จริง มีเพียงดัชนีเอนโทรปีทั่วไปเท่านั้นที่สามารถแยกส่วนได้แบบบวก ดัชนีที่เป็นที่นิยมหลายตัว รวมถึงดัชนี Giniไม่เป็นไปตามคุณสมบัตินี้${\displaystyle g}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \mu _{g}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle w_{g}}$${\displaystyle \mu _{g},\mu ,N}$${\displaystyle N_{g}}$

• ตัวชี้วัดความเหลื่อมล้ำทางรายได้
• ดัชนีเอนโทรปีทั่วไป
• ดัชนีจินี

ซอฟต์แวร์:

• เครื่องคำนวณออนไลน์ฟรีนี้คำนวณค่าสัมประสิทธิ์ Gini, สร้างกราฟเส้นโค้ง Lorenz และคำนวณค่าการวัดความเข้มข้นอื่นๆ อีกมากมายสำหรับชุดข้อมูลใดๆ ก็ได้
• เครื่องคำนวณฟรี: สคริปต์ออนไลน์และ ดาวน์โหลดได้ ( PythonและLua ) สำหรับอสมการ Atkinson, Gini และ Hoover
• ผู้ใช้งาน ซอฟต์แวร์วิเคราะห์ข้อมูล Rสามารถติดตั้งแพ็กเกจ "ineq" ซึ่งช่วยให้สามารถคำนวณดัชนีความไม่เท่าเทียมกันได้หลากหลายประเภท รวมถึงดัชนี Gini, Atkinson และ Theil
• แพ็กเกจอสมการ MATLAB ที่เก็บถาวรเมื่อวันที่ 4 ตุลาคม 2008 บนWayback Machineประกอบด้วยโค้ดสำหรับคำนวณดัชนี Gini, Atkinson, Theil และสำหรับการพล็อตเส้นโค้ง Lorenz มีตัวอย่างมากมายให้ดู
• แพ็กเกจสำหรับวิเคราะห์ความไม่เท่าเทียมกัน ใน Stata : ineqdecoสำหรับแยกความไม่เท่าเทียมกันออกเป็นกลุ่ม; svygei และ svyatkสำหรับคำนวณค่าความแปรปรวนที่สอดคล้องกับการออกแบบสำหรับดัชนีเอนโทรปีทั่วไปและดัชนีแอตกินสัน; glcurveสำหรับสร้างเส้นโค้งลอเรนซ์ทั่วไป คุณสามารถพิมพ์ssc install ineqdecoetc. ในพรอมต์ของ Stata เพื่อติดตั้งแพ็กเกจเหล่านี้ได้