ในตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์แผนผังสัจพจน์ (พหูพจน์: แผนผังสัจพจน์หรือแผนผังสัจพจน์หลายชุด ) คือกฎหรือแม่แบบที่ระบุตระกูลของสัจพจน์แผนผังประกอบด้วยตัวแทนพร้อมกับเงื่อนไขเสริมที่ระบุว่าตัวแทนเหล่านั้นสามารถถูกแทนที่ได้อย่างไร การแทนที่ที่อนุญาตแต่ละครั้งถือเป็นอินสแตนซ์ของแผนผัง^{[ 1 ] [ 2 ]}แผนผังสัจพจน์มักใช้เพื่ออธิบายทฤษฎีที่มีสัจพจน์ซึ่งประกอบด้วยสูตรจำนวนอนันต์^{[ 3 ]}

ให้เป็นภาษาวัตถุของทฤษฎีเชิงรูปธรรม แผนผังสัจพจน์คือการแสดงออกเชิงอภิภาษาหรือแม่แบบแผนผัง ซึ่งประกอบด้วยตัวแทนอย่างน้อยหนึ่งตัวสำหรับการแสดงออกของพร้อมด้วยเงื่อนไขด้านข้างที่ระบุการแสดงออกที่อาจแทนที่ตัวแทน^{[ 1 ] [ 2 ]}สูตรภาษาวัตถุที่ได้คืออินสแตนซ์ของแผนผังและถือเป็นสัจพจน์ของทฤษฎี ${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$

ตัวยึดตำแหน่งในแผนผังสัจพจน์อาจแทนคำศัพท์ สูตร 述语 หรือความสัมพันธ์ ขึ้นอยู่กับระบบที่เป็นทางการ เงื่อนไขด้านข้างมักกำหนดให้คำศัพท์ต้องเป็นอิสระสำหรับตัวแปรในสูตร ตัวแปรต้องปรากฏเป็นอิสระในสูตร หรือตัวแปรต้องไม่ปรากฏเป็นอิสระในสูตรที่ระบุ^{[ 3 ]}เงื่อนไขดังกล่าวเป็นส่วนหนึ่งของแผนผัง ไม่ใช่สัจพจน์เพิ่มเติมของภาษาวัตถุ

สิ่งนี้ทำให้ตัวอักษรแบบแผนผังแตกต่างจากตัวแปรภาษาวัตถุทั่วไป ตัวอย่างเช่น ตัวอักษรแบบแผนผังอาจเป็นตัวแทนสำหรับสูตรใดๆ ของภาษา ในขณะที่ตัวแปรภาษาวัตถุครอบคลุมวัตถุต่างๆ ในโดเมนของการตีความ^{[ 1 ]}

การนำเสนอ ตรรกศาสตร์ลำดับที่หนึ่งในรูปแบบของฮิลเบิร์ตจำนวนมากใช้แผนผังสัจพจน์ ตัวอย่างเช่น แผนผังสัจพจน์ของตัวบ่งปริมาณ

${\displaystyle \forall x\,\Phi (x)\rightarrow \Phi (t)}$

มีสูตรที่ได้มาเป็นตัวอย่างโดยการแทนที่ด้วยสูตรภาษาวัตถุและด้วยเทอม โดยขึ้นอยู่กับเงื่อนไขที่เป็นอิสระสำหรับใน^{[ 3 ]} กฎหรือโครงร่างสัจพจน์ประเภทนี้หลีกเลี่ยงการแสดงรายการสูตรทุกสูตรที่ได้มาจาก การแทนที่ที่อนุญาตแยกกัน ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \Phi }$

การนำเสนอเลขคณิตของ พีอาโนในลำดับที่หนึ่งมาตรฐานนั้นรวมถึงแผนผังการอุปมาน สำหรับทุกสูตรในภาษาเลขคณิตที่มีพารามิเตอร์ที่เป็นไปได้แผนผังจะมีอินสแตนซ์ในรูปแบบ ${\displaystyle \varphi (x,{\vec {y}})}$${\displaystyle {\vec {y}}}$

${\displaystyle {\bigl (}\varphi (0,{\vec {y}})\land \forall x(\varphi (x,{\vec {y}})\rightarrow \varphi (Sx,{\vec {y}})){\bigr )}\rightarrow \forall x\,\varphi (x,{\vec {y}})}$

ดังนั้นหลักการอุปนัยจึงไม่ใช่สัจพจน์ลำดับแรกเพียงตัวเดียว แต่เป็นตระกูลของสัจพจน์ หนึ่งตัวสำหรับแต่ละสูตรที่ยอมรับได้^{[ 3 ] [ 4 ]}${\displaystyle \varphi }$

Czesław Ryll-Nardzewskiพิสูจน์ว่าเลขคณิต Peano ลำดับที่หนึ่งไม่สามารถกำหนดเป็นสัจพจน์แบบจำกัดได้ในภาษาปกติ^{[ 5 ]}ด้วยเหตุนี้ แผนผังการเหนี่ยวนำจึงไม่สามารถแทนที่ในภาษานั้นด้วยรายการสัจพจน์แบบจำกัดที่มีผลลัพธ์การอนุมานแบบเดียวกันได้

ระบบสัจพจน์ลำดับแรกมาตรฐานZFCประกอบด้วยแผนผังสัจพจน์ รวมถึงแผนผังการแยกและแผนผังการแทนที่ในแผนผังการแทนที่ สูตรแต่ละสูตรที่กำหนดความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันจะให้สัจพจน์ที่ยืนยันว่าภาพของเซตใด ๆ ภายใต้ฟังก์ชันที่กำหนดได้นั้นก็เป็นเซตเช่นกัน^{[ 6 ] [ 7 ]}

Richard Montagueพิสูจน์ผลลัพธ์ของการกำหนดสัจพจน์ที่ไม่จำกัดสำหรับทฤษฎีเซตแบบ ZF โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อสมมติว่ามีความสอดคล้อง ZFC ไม่สามารถกำหนดสัจพจน์ได้แบบจำกัดในภาษาลำดับแรกปกติ^{[ 8 ]}ดังนั้น แผนผังการแทนที่และการแยกจึงไม่สามารถกำจัดออกจาก ZFC ได้ง่ายๆ โดยการแทนที่ด้วยสัจพจน์จำนวนจำกัดในภาษาเดียวกัน

ทฤษฎีสามารถกำหนดสัจพจน์ได้อย่างจำกัดหากมีชุดประโยคจำนวนจำกัดซึ่งการปิดเชิงอนุมานคือทฤษฎีนั้นพอดี^{[ 9 ]}แผนผังสัจพจน์อาจอธิบายได้อย่างจำกัดในขณะที่ยังคงระบุสัจพจน์จำนวนอนันต์ เนื่องจากแผนผังเป็นสูตรอภิทฤษฎีสำหรับการสร้างอินสแตนซ์มากกว่าชุดประโยคภาษาวัตถุจำนวนจำกัด^{[ 10 ]}

ทฤษฎีจะสามารถกำหนดเป็นระบบสัจพจน์แบบจำกัดได้หรือไม่นั้น ขึ้นอยู่กับภาษาที่ใช้ในการกำหนดทฤษฎีนั้น ทฤษฎีที่ไม่สามารถกำหนดเป็นระบบสัจพจน์แบบจำกัดได้ในภาษาหนึ่ง อาจมีส่วนขยายเชิงอนุรักษ์ที่กำหนดเป็นระบบสัจพจน์แบบจำกัดได้ในภาษาที่สมบูรณ์กว่า

ทฤษฎีเซต Von Neumann–Bernays–Gödel (NBG) ขยายภาษาของทฤษฎีเซตโดยการเพิ่มคลาส NBG เป็นส่วนขยายแบบอนุรักษ์นิยมของ ZFC สำหรับข้อความเกี่ยวกับเซต แต่ต่างจาก ZFC ตรงที่สามารถกำหนดสัจพจน์ได้แบบจำกัด: ทฤษฎีบทการมีอยู่ของคลาสได้มาจากสัจพจน์การมีอยู่ของคลาสจำนวนจำกัด แทนที่จะมาจากสคีมา^{[ 7 ] [ 11 ]}

New Foundations (NF) ซึ่งนำเสนอโดยWVO Quineมักจะนำเสนอด้วยคุณสมบัติการขยายและโครงสร้างความเข้าใจแบบแบ่งชั้น^{[ 12 ]} Theodore Hailperinแสดงให้เห็นในปี 1944 ว่าหลักการความเข้าใจนี้เทียบเท่ากับการเชื่อมโยงแบบจำกัดของอินสแตนซ์ ทำให้เกิดการกำหนดสัจพจน์แบบจำกัดของ NF ^{[ 13 ]}การนำเสนอ NF และระบบที่เกี่ยวข้องในภายหลังอาจใช้สัจพจน์แบบจำกัดเป็นพื้นฐานและพิสูจน์ความเข้าใจแบบแบ่งชั้นเป็นทฤษฎีบท^{[ 14 ]}

โครงร่างสัจพจน์บางอย่างในทฤษฎีลำดับที่หนึ่งสามารถแทนที่ได้ด้วยสัจพจน์เดี่ยวในภาษาลำดับที่สูงกว่า ตัวอย่างเช่น โครงร่างการอุปนัยลำดับที่หนึ่งสำหรับเลขคณิตมีแบบเทียบเคียงในลำดับที่สองซึ่งตัวแปรจะระบุปริมาณของคุณสมบัติหรือคลาสโดยตรง:

${\displaystyle \forall F{\bigl (}(F(0)\land \forall x(F(x)\rightarrow F(Sx)))\rightarrow \forall x\,F(x){\bigr )}.}$

ในประโยคลำดับที่สองนี้เป็นตัวแปรที่แท้จริงซึ่งครอบคลุมคุณสมบัติหรือคลาส ไม่ใช่ตัวแทนเชิงอภิภาษา^{[ 3 ]}ดังนั้น สัจพจน์การเหนี่ยวนำลำดับที่สองและแบบแผนการเหนี่ยวนำลำดับแรกจึงแตกต่างกันในเชิงรูปแบบ และสัจพจน์ลำดับที่สองมีความแข็งแกร่งกว่าภายใต้ความหมายมาตรฐานสำหรับตรรกะลำดับที่สอง^{[ 3 ]}${\displaystyle F}$

ในทำนองเดียวกัน แผนผังทฤษฎีเซตลำดับแรกบางส่วนสามารถแสดงได้โดยการกำหนดปริมาณเหนือคลาสหรือวัตถุลำดับสูงกว่าในภาษาที่ขยายออกไป นี่เป็นเหตุผลหนึ่งที่ทฤษฎีคลาสเช่น NBG สามารถให้สัจพจน์จำกัดในขณะที่ยังคงอนุรักษ์ ZFC สำหรับประโยคทฤษฎีเซต^{[ 7 ] [ 11 ]}

• แผนผังสัจพจน์ของการแยกเชิงทำนาย
• แผนผังสัจพจน์ของการทดแทน
• โครงร่างสัจพจน์ของข้อกำหนด