ในทางคณิตศาสตร์ พหุนาม เบิร์นสไตน์-ซาโตะเป็นพหุนามที่เกี่ยวข้องกับตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ซึ่งได้รับการแนะนำโดยอิสระโดยโจเซฟ เบิร์นสไตน์ (1971) ^{[ 1 ]}และมิคิโอ ซาโตะและทาคุโร ชินทานิ ( 1972 , 1974 ) ^{[ 2 ] [ 3 ]}ซาโตะ (1990) ^{[ 4 ]} นอกจากนี้ยังรู้จักกันในชื่อ ฟังก์ชัน bพหุนาม bและพหุนามเบิร์นสไตน์แม้ว่าจะไม่เกี่ยวข้องกับพหุนามเบิร์นสไตน์ที่ใช้ในทฤษฎีการประมาณค่า ก็ตาม มีการประยุกต์ใช้ในทฤษฎีเอกฐานทฤษฎีโมโนโดรมีและทฤษฎีสนามควอนตัม

Severino Coutinho ( 1995 ) ^{[ 5 ]}ให้บทนำเบื้องต้น ในขณะที่Armand Borel  ( 1987 ) ^{[ 6 ]}และMasaki Kashiwara  ( 2003 ) ^{[ 7 ]}ให้รายละเอียดขั้นสูงกว่า

ถ้าเป็นพหุนามในหลายตัวแปร แล้วจะมีพหุนามที่ไม่เป็นศูนย์และตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นพหุนาม เช่นนั้น ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle b(s)}$${\displaystyle P(s)}$

${\displaystyle P(s)f(x)^{s+1}=b(s)f(x)^{s}.}$

พหุนามเบิร์นสไตน์-ซาโตะเป็นพหุนามเอกลักษณ์ที่มีดีกรีน้อยที่สุดในบรรดาพหุนามประเภทเดียวกันการมีอยู่ของพหุนามนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้แนวคิดของโมดูล D แบบโฮโลโน มิ ก${\displaystyle b(s)}$

Kashiwara (1976) พิสูจน์ว่ารากทั้งหมดของพหุนาม Bernstein–Sato เป็นจำนวนตรรกยะลบ^{[ 8 ]}

พหุนาม Bernstein–Sato สามารถกำหนดได้สำหรับผลคูณของกำลังของพหุนามหลายตัว^{[ 9 ]}ในกรณีนี้เป็นผลคูณของตัวประกอบเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์ตรรกยะ

Nero Budur, Mircea MustațăและMorihiko Saito  ( 2006 ) ได้ขยายพหุนาม Bernstein–Sato ไปยังวาไรตี้ใดๆ^{[ 10 ]}

พหุนามเบิร์นสไตน์-ซาโตะสามารถคำนวณได้โดยใช้อัลกอริทึม อย่างไรก็ตาม การคำนวณดังกล่าวโดยทั่วไปทำได้ยาก มีการนำอัลกอริทึมที่เกี่ยวข้องไปใช้ในระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์ RISA/Asir , Macaulay2และSINGULAR

Daniel Andres, Viktor Levandovskyy และ Jorge Martín-Morales ( 2009 ) ^{[ 11 ]}นำเสนออัลกอริทึมในการคำนวณพหุนาม Bernstein–Sato ของวาไรตี้เชิงเส้นพร้อมกับการนำไปใช้ในระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์SINGULAR Christine Berkesch และ Anton Leykin ( 2010 ) อธิบายอัลกอริทึมบางส่วนสำหรับการคำนวณพหุนาม Bernstein–Sato ด้วยคอมพิวเตอร์^{[ 12 ]}

• ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle f(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\,}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\partial _{i}^{2}f(x)^{s+1}=4(s+1)\left(s+{\frac {n}{2}}\right)f(x)^{s}}$

ดังนั้นพหุนามเบิร์นสไตน์-ซาโตคือ

${\displaystyle b(s)=(s+1)\left(s+{\frac {n}{2}}\right).}$

• ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle f(x)=x_{1}^{n_{1}}x_{2}^{n_{2}}\cdots x_{r}^{n_{r}}}$

${\displaystyle \prod _{j=1}^{r}\partial _{x_{j}}^{n_{j}}\quad f(x)^{s+1}=\prod _{j=1}^{r}\prod _{i=1}^{n_{j}}(n_{j}s+i)\quad f(x)^{s}}$

ดังนั้น

${\displaystyle b(s)=\prod _{j=1}^{r}\prod _{i=1}^{n_{j}}\left(s+{\frac {i}{n_{j}}}\right).}$

•  พหุ นาม  เบิร์น สไตน์-ซาโตของx² ⁺ y³ ^คือ

${\displaystyle (s+1)\left(s+{\frac {5}{6}}\right)\left(s+{\frac {7}{6}}\right).}$

• ถ้าt _ijเป็น ตัวแปร n ²ตัว พหุนามเบิร์นสไตน์-ซาโตของ det( t _ij ) จะกำหนดโดย

${\displaystyle (s+1)(s+2)\cdots (s+n)}$

ซึ่งสืบเนื่องมาจาก

${\displaystyle \Omega (\det(t_{ij})^{s})=s(s+1)\cdots (s+n-1)\det(t_{ij})^{s-1}}$

โดยที่ Ω คือกระบวนการโอเมก้าของเคย์ลีย์ซึ่งได้มาจากเอกลักษณ์ของคาเปลลี

• ถ้าเป็นพหุนามที่ไม่เป็นลบ แล้วซึ่งกำหนดไว้เบื้องต้นสำหรับsที่มีส่วนจริงไม่เป็นลบ สามารถขยายต่อไปในเชิงวิเคราะห์เป็น ฟังก์ชัน การกระจายแบบเมโรเมอร์ฟิกของs ได้ โดยใช้สมการเชิงฟังก์ชัน ซ้ำๆ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(x)^{s}}$

${\displaystyle f(x)^{s}={1 \over b(s)}P(s)f(x)^{s+1}.}$

อาจมีขั้วได้เมื่อใดก็ตามที่b ( s +  n  )เป็นศูนย์สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบn

• ถ้าf ( x ) เป็นพหุนามที่ไม่เป็นศูนย์โดยสมบูรณ์ มันจะมีตัวผกผันgซึ่งเป็นการแจกแจง^{[ a ]}กล่าวอีกนัยหนึ่งคือf g  = 1 เป็นการแจกแจง ถ้าf ( x ) ไม่เป็นลบ ตัวผกผันสามารถสร้างได้โดยใช้พหุนามเบิร์นสไตน์-ซาโต โดยการนำพจน์คงที่ของการขยายลอเรนต์ของf ( x ) ^sที่s  = −1 สำหรับf ( x ) ใดๆ เพียงแค่คูณด้วยตัวผกผันของ${\displaystyle {\bar {f}}(x)}$${\displaystyle {\bar {f}}(x)f(x).}$
• ทฤษฎีบทMalgrange–Ehrenpreisกล่าวว่าตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ ทุกตัว ที่มีสัมประสิทธิ์คงที่นั้นมีฟังก์ชันกรีนโดยการใช้การแปลงฟูริเยร์ทำให้ได้ข้อสรุปนี้มาจากการที่พหุนามทุกตัวมีตัวผกผันเชิงการกระจาย ซึ่งได้พิสูจน์ไว้ในย่อหน้าข้างต้นแล้ว
• Pavel Etingof (1999) ^{[ 13 ]}แสดงให้เห็นวิธีการใช้พหุนาม Bernstein เพื่อกำหนดการรักษาความสม่ำเสมอเชิงมิติอย่างเข้มงวด ในกรณี Euclidean ขนาดใหญ่
• สมการฟังก์ชัน Bernstein-Sato ใช้ในการคำนวณอินทิกรัลเอกพจน์ที่ซับซ้อนบางประเภทที่เกิดขึ้นในทฤษฎีสนามควอนตัม [ ^{14 ] การ}คำนวณดังกล่าวจำเป็นสำหรับการวัดที่แม่นยำในฟิสิกส์อนุภาคพื้นฐาน เช่น ที่ปฏิบัติกันที่CERN (ดูเอกสารที่อ้างถึง^{[ 14 ]} ) อย่างไรก็ตาม กรณีที่น่าสนใจที่สุดต้องการการวางนัยทั่วไปอย่างง่ายของสมการฟังก์ชัน Bernstein-Sato ไปยังผลคูณของพหุนามสองตัวโดยที่xมีส่วนประกอบสเกลาร์ 2-6 ตัว และพหุนามทั้งสองตัวมีอันดับ 2 และ 3 น่าเสียดายที่การกำหนดตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ที่สอดคล้องกันโดยใช้กำลังทั้งหมดสำหรับกรณีดังกล่าวพิสูจน์แล้วว่ายุ่งยากอย่างมาก การคิดค้นวิธีการหลีกเลี่ยงการระเบิดเชิงการจัดเรียงของอัลกอริทึมแบบใช้กำลังทั้งหมดจะเป็นประโยชน์อย่างมากในการใช้งานดังกล่าว${\displaystyle (f_{1}(x))^{s_{1}}(f_{2}(x))^{s_{2}}}$${\displaystyle P(s_{1},s_{2})}$${\displaystyle b(s_{1},s_{2})}$