ในทฤษฎีความน่าจะเป็น สมการสมดุลคือสมการที่อธิบายการไหลของความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับห่วงโซ่มาร์คอฟเข้าและออกจากสถานะหรือชุดของสถานะ^{[ 1 ]}

สมการสมดุลทั่วโลก (เรียกอีกอย่างว่าสมการสมดุลเต็มรูปแบบ^{[ 2 ]} ) คือชุดสมการที่อธิบายลักษณะการกระจายสมดุล (หรือการกระจายแบบคงที่ใดๆ) ของห่วงโซ่มาร์คอฟ เมื่อมีการกระจายดังกล่าว

สำหรับลูกโซ่ Markov เวลาต่อเนื่องที่มีปริภูมิสถานะอัตราการเปลี่ยนสถานะจากสถานะหนึ่งไปยังอีก สถานะหนึ่ง กำหนดโดยและการกระจายสมดุลกำหนดโดยสมการสมดุลทั่วโลกกำหนดโดย^{[ 3 ]}${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle q_{ij}}$${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \pi _{i}\sum _{j\in S\setminus \{i\}}q_{ij}=\sum _{j\in S\setminus \{i\}}\pi _{j}q_{ji}.}$

สำหรับทั้งหมดที่นี่แสดงถึงฟลักซ์ความน่าจะเป็นจากสถานะหนึ่งไปยังอีกสถานะหนึ่งดังนั้นด้านซ้ายมือแสดงถึงการไหลทั้งหมดจากสถานะiไปยังสถานะอื่นที่ไม่ใช่iในขณะที่ด้านขวามือแสดงถึงการไหลทั้งหมดจากทุกสถานะไปยังสถานะโดยทั่วไปแล้วการคำนวณแก้ระบบสมการนี้สำหรับแบบจำลองคิวส่วนใหญ่ทำได้ยาก^{[ 4 ]}${\displaystyle i\in S}$${\displaystyle \pi _{i}q_{ij}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j\neq i}$${\displaystyle i}$

สำหรับห่วงโซ่มาร์คอฟแบบต่อเนื่องเวลา (CTMC) ที่มีเมทริกซ์อัตราการเปลี่ยนสถานะ ถ้าสามารถหาค่า ได้เช่นนั้นสำหรับทุกคู่ของสถานะและ${\displaystyle Q}$${\displaystyle \pi _{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle \pi _{i}q_{ij}=\pi _{j}q_{ji}}$

หาก เงื่อนไขเป็นจริง การรวมผลลัพธ์เข้าด้วยกันจะทำให้สมการสมดุลทั่วโลกเป็นไปตามเงื่อนไข และจะเป็นการกระจายตัวแบบคงที่ของกระบวนการ^{[ 5 ]}หากสามารถหาคำตอบดังกล่าวได้ สมการที่ได้มักจะง่ายกว่าการแก้สมการสมดุลทั่วโลกโดยตรงมาก^{[ 4 ]}${\displaystyle j}$${\displaystyle \pi }$

CTMC จะย้อนกลับได้ก็ต่อเมื่อเงื่อนไขสมดุลโดยละเอียดเป็นไปตามข้อกำหนดสำหรับทุกคู่ของสถานะ และ${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

โซ่Markov แบบเวลาไม่ต่อเนื่อง (DTMC) ที่มีเมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะและการกระจายสมดุล^จะอยู่ในสมดุลโดยละเอียดหากสำหรับทุกคู่และ[ ^{6 ]}${\displaystyle P}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle \pi _{i}p_{ij}=\pi _{j}p_{ji}.}$

เมื่อสามารถหาทางออกได้ เช่นในกรณีของ CTMC การคำนวณมักจะเร็วกว่าการแก้สมการสมดุลโดยรวมโดยตรงมาก

ในบางสถานการณ์ พจน์ที่อยู่ด้านใดด้านหนึ่งของสมการสมดุลทั่วโลกจะหักล้างกัน สมการสมดุลทั่วโลกสามารถแบ่งออกเพื่อให้ได้ชุดสมการสมดุลเฉพาะที่ ( เรียกอีกอย่างว่าสมการสมดุลบางส่วน^{[ 2 ]}สมการสมดุลอิสระ^{[ 7 ]}หรือสมการสมดุลรายบุคคล^{[ 8 ]} ) ^{[ 1 ]}สมการสมดุลเหล่านี้ได้รับการพิจารณาครั้งแรกโดยPeter Whittle [ ^{8 ] [ 9 ] สม}การที่ได้นั้นอยู่ระหว่างสมการสมดุลโดยละเอียดและสมการสมดุลทั่วโลก คำตอบใดๆของสมการสมดุลเฉพาะที่จะเป็นคำตอบของสมการสมดุลทั่วโลกเสมอ (เราสามารถกู้คืนสมการสมดุลทั่วโลกได้โดยการรวมสมการสมดุลเฉพาะที่ที่เกี่ยวข้อง) แต่ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริงเสมอไป^{[ 2 ]}บ่อยครั้ง การสร้างสมการสมดุลเฉพาะที่เทียบเท่ากับการลบผลรวมภายนอกในสมการสมดุลทั่วโลกสำหรับพจน์บางพจน์^{[ 1 ]}${\displaystyle \pi }$

ในช่วงทศวรรษ 1980 เชื่อกันว่าความสมดุลในท้องถิ่นเป็นข้อกำหนดสำหรับการกระจายสมดุลรูปแบบผลิตภัณฑ์ [ ^{10 ] [ 11 ]}แต่ แบบจำลอง เครือข่าย GของGelenbe แสดงให้ ^เห็นว่าไม่ใช่เช่นนั้น^{[ 12 ]}