การเหนี่ยวนำแบบแท่ง (Bar induction)เป็นหลักการใช้เหตุผลที่ใช้ในคณิตศาสตร์เชิงสัญชาตญาณซึ่งริเริ่มโดยLEJ Brouwerการใช้งานหลักของการเหนี่ยวนำแบบแท่งคือการพิสูจน์ทฤษฎีบทพัด (Fan theorem) ในเชิงสัญชาตญาณ ซึ่งเป็นผลลัพธ์สำคัญที่ใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทความต่อเนื่องสม่ำเสมอ (Uniform Continuity theorem)

นอกจากนี้ยังเป็นประโยชน์ในการนำเสนอ ทางเลือก เชิงสร้างสรรค์ เพื่อทดแทน ผลลัพธ์ แบบดั้งเดิมอื่นๆ ด้วย

เป้าหมายของหลักการนี้คือการพิสูจน์คุณสมบัติของลำดับอนันต์ทั้งหมดของจำนวนธรรมชาติ (เรียกว่าลำดับการเลือกในศัพท์เฉพาะของลัทธิสัจนิยม) โดยการลดทอนคุณสมบัติเหล่านั้นลงเป็นคุณสมบัติของรายการจำกัดโดยใช้วิธีการอุปนัย นอกจากนี้ การอุปนัยแบบบาร์ยังสามารถใช้เพื่อพิสูจน์คุณสมบัติของลำดับการเลือก ทั้งหมด ในสเปรด ( เซตชนิดพิเศษ) ได้อีกด้วย

เมื่อกำหนดลำดับการเลือกแล้ว ลำดับจำกัดใดๆ ขององค์ประกอบในลำดับนี้เรียกว่าส่วนเริ่มต้นของลำดับการเลือกนี้ ${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},\ldots }$${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{i}}$

ปัจจุบันในเอกสารวิชาการมีวิธีการอุปนัยแบบแท่งอยู่ 3 รูปแบบ แต่ละรูปแบบกำหนดข้อจำกัดบางประการสำหรับคู่ของภาคแสดง และความแตกต่างที่สำคัญจะถูกเน้นด้วยตัวอักษรตัวหนา

กำหนดให้มี述语 (predicate) สองตัวคือและบนลำดับจำกัดของจำนวนธรรมชาติ โดยที่เงื่อนไขต่อไปนี้ทั้งหมดเป็นจริง: ${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$

• ลำดับตัวเลือกทุกชุดจะมีส่วนเริ่มต้นอย่างน้อยหนึ่งส่วนที่ตรงตามเงื่อนไขณ จุดใดจุดหนึ่ง (ซึ่งแสดงโดยการกล่าวว่าเป็นแท่ง )${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$
• ${\displaystyle R}$สามารถตัดสินได้ (เช่น บาร์ของเราสามารถตัดสินได้ )
• ลำดับจำกัดทุกตัวที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้ก็จะสอดคล้องกับเงื่อนไขนี้เช่นกัน(ดังนั้นจึงใช้ได้กับลำดับการเลือกทุกตัวที่เริ่มต้นด้วยลำดับจำกัดที่กล่าวถึงข้างต้น)${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$
• ถ้าส่วนขยายทั้งหมดของลำดับจำกัดด้วยองค์ประกอบหนึ่งตัวเป็นไปตามเงื่อนไขแล้วลำดับจำกัดนั้นก็จะเป็นไปตามเงื่อนไข เช่นกัน(บางครั้งเรียกว่าการสืบทอดจากล่างขึ้นบน )${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

จากนั้นเราสามารถสรุปได้ว่า เงื่อนไขนี้ ใช้ได้กับลำดับว่าง (กล่าวคือ เงื่อนไข A ใช้ได้กับลำดับตัวเลือกทั้งหมดที่เริ่มต้นด้วยลำดับว่าง) ${\displaystyle A}$

หลักการเหนี่ยวนำด้วยแท่งโลหะนี้เป็นที่นิยมในงานเขียนของAS Troelstra , SC Kleeneและ Albert Dragalin

กำหนดให้มี述语 (predicate) สองตัวคือและบนลำดับจำกัดของจำนวนธรรมชาติ โดยที่เงื่อนไขต่อไปนี้ทั้งหมดเป็นจริง: ${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$

• ลำดับตัวเลือกแต่ละลำดับจะมีส่วนเริ่มต้นที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งตรง ตามเงื่อนไขบางประการ (เช่น แท่งของเรานั้นบาง )${\displaystyle R}$
• ลำดับจำกัดทุกตัวที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้ ก็จะสอดคล้องกับเงื่อนไข นี้ด้วยเช่นกัน${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$
• ถ้าส่วนขยายทั้งหมดของลำดับจำกัดด้วยองค์ประกอบหนึ่งตัวเป็นไปตามเงื่อนไขแล้วลำดับจำกัดนั้นก็จะเป็นไปตามเงื่อนไข เช่นกัน${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

จากนั้นเราสามารถสรุปได้ว่า ข้อความนี้ ใช้ได้กับลำดับว่าง ${\displaystyle A}$

หลักการเหนี่ยวนำแบบแท่งนี้เป็นที่นิยมในงานเขียนของJoan Moschovakisและสามารถพิสูจน์ได้ว่าเทียบเท่ากับการเหนี่ยวนำแบบแท่งที่ตัดสินได้ (ในเชิงสัญชาตญาณ)

กำหนดให้มี述语 (predicate) สองตัวคือและบนลำดับจำกัดของจำนวนธรรมชาติ โดยที่เงื่อนไขต่อไปนี้ทั้งหมดเป็นจริง: ${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$

• ลำดับตัวเลือกทุกชุดจะมีส่วนเริ่มต้นอย่างน้อยหนึ่งส่วนที่ตรงตามเงื่อนไขในบางจุด${\displaystyle R}$
• เมื่อลำดับจำกัดใดๆ สอดคล้องกับเงื่อนไขดังกล่าวแล้ว ส่วนขยายที่เป็นไปได้ทั้งหมดของลำดับจำกัดนั้นก็จะสอดคล้องกับเงื่อนไขดังกล่าวด้วย${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$ (กล่าวคือ แถบของเราเป็นลำดับโมโนโทนิ ก )
• ลำดับจำกัดทุกตัวที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้ ก็จะสอดคล้องกับเงื่อนไข นี้ด้วยเช่นกัน${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$
• ถ้าส่วนขยายทั้งหมดของลำดับจำกัดด้วยองค์ประกอบหนึ่งตัวเป็นไปตามเงื่อนไขแล้วลำดับจำกัดนั้นก็จะเป็นไปตามเงื่อนไข เช่นกัน${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

จากนั้นเราสามารถสรุปได้ว่า ข้อความนี้ ใช้ได้กับลำดับว่าง ${\displaystyle A}$

หลักการเหนี่ยวนำด้วยแท่งโลหะนี้ถูกนำไปใช้ในผลงานของAS Troelstra , SC Kleene , Dragalin และJoan Moschovakis

ผลลัพธ์ต่อไปนี้เกี่ยวกับแผนผังเหล่านี้สามารถ พิสูจน์ได้ โดยสัญชาตญาณ :

${\displaystyle {\begin{aligned}BI_{M}&\vdash BI_{D}\\[3pt]BI_{D}&\vdash BI_{T}\\[3pt]BI_{T}&\vdash BI_{D}\end{aligned}}}$

(สัญลักษณ์ " " คือ " ประตูหมุน ) ${\displaystyle \,\vdash \,}$

เดิมที Brouwer (1975) ได้เสนอรูปแบบการเหนี่ยวนำแบบแท่งเพิ่มเติมเป็นทฤษฎีบทโดยไม่มีข้อจำกัด "พิเศษ" ใดๆ ภายใต้ชื่อทฤษฎีบทแท่ง (The Bar Theorem ) อย่างไรก็ตาม การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ผิดพลาด และการเหนี่ยวนำแบบแท่งที่ไม่มีข้อจำกัดนั้นไม่ถือว่าถูกต้องตามหลักการทางสัญชาตญาณ (ดู Dummett 1977 หน้า 94–104 สำหรับบทสรุปว่าทำไมจึงเป็นเช่นนั้น) เพื่อความสมบูรณ์ จึงได้แสดงรูปแบบการเหนี่ยวนำแบบแท่งที่ไม่มีข้อจำกัดไว้ด้านล่าง ${\displaystyle R}$

กำหนดให้มี述语 (predicate) สองตัวคือและบนลำดับจำกัดของจำนวนธรรมชาติ โดยที่เงื่อนไขต่อไปนี้ทั้งหมดเป็นจริง: ${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$

• ลำดับตัวเลือกทุกชุดจะมีส่วนเริ่มต้นอย่างน้อยหนึ่งส่วนที่ตรงตามเงื่อนไขในบางจุด${\displaystyle R}$
• ลำดับจำกัดทุกตัวที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้ ก็จะสอดคล้องกับเงื่อนไข นี้ด้วยเช่นกัน${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$
• ถ้าส่วนขยายทั้งหมดของลำดับจำกัดด้วยองค์ประกอบหนึ่งตัวเป็นไปตามเงื่อนไขแล้วลำดับจำกัดนั้นก็จะเป็นไปตามเงื่อนไข เช่นกัน${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

จากนั้นเราสามารถสรุปได้ว่า ข้อความนี้ ใช้ได้กับลำดับว่าง ${\displaystyle A}$

ในคณิตศาสตร์ย้อนกลับ แบบคลาสสิก "การเหนี่ยวนำแบบแท่ง" ( ) หมายถึงหลักการที่เกี่ยวข้องซึ่งระบุว่า ถ้าความสัมพันธ์เป็นลำดับที่ดีเราจะมีโครงร่างของการเหนี่ยวนำอนันต์เหนือสำหรับสูตรใดๆ ${\displaystyle BI_{D}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

• การแพร่กระจาย (ลัทธิสัญชาตญาณนิยม)