ในทางคณิตศาสตร์อนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกพื้นฐานหรืออนุกรมq- ไฮเปอร์จีโอเมตริก คืออนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกทั่วไป ที่ถูกขยายความโดยใช้ q-อนาล็อกและในทางกลับกัน อนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกเชิงวงรีก็ถูกขยายความโดยอนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกเชิงวงรี อีกที อนุกรมx เรียกว่าอนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริก ถ้าอัตราส่วนของพจน์ที่ต่อเนื่องกันx / x เป็นฟังก์ชันตรรกยะของnถ้าอัตราส่วนของพจน์ที่ต่อเนื่องกันเป็นฟังก์ชันตรรกยะของq ⁿแล้ว อนุกรมนั้นเรียกว่าอนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกพื้นฐาน โดยที่qเรียกว่าฐาน

อนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกพื้นฐาน${\displaystyle {}_{2}\phi _{1}(q^{\alpha },q^{\beta };q^{\gamma };q,x)}$แนวคิดนี้ ได้รับการพิจารณาครั้งแรกโดยEduard Heine ( 1846 )และกลายเป็นอนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริก ${\displaystyle F(\alpha ,\beta$ ;\gamma ;x)} ในขีดจำกัดเมื่อฐาน${\displaystyle q=1}$.

อนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกพื้นฐานมีสองรูปแบบ ได้แก่อนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกพื้นฐานด้านเดียว φ และอนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกพื้นฐานสองด้าน ψ ซึ่งเป็นรูปแบบทั่วไปมากกว่า อนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกพื้นฐานด้านเดียวถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle \;_{j}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{j};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k},q;q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{n \choose 2}\right)^{1+kj}z^{n}}$

ที่ไหน

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}}$

และ

${\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})}$

คือแฟกทอเรียลที่เลื่อนqกรณีพิเศษที่สำคัญที่สุดคือเมื่อj = k + 1 ซึ่งจะกลายเป็น

${\displaystyle \;_{k+1}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{k}&a_{k+1}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k+1};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k},q;q)_{n}}}z^{n}.}$

อนุกรมนี้เรียกว่าสมดุลถ้าa ... a = b ... b qอนุกรมนี้เรียกว่าสมดุลดีถ้าa q = a b = ... = a b และสมดุลดีมาก ถ้า a = − a = qa ^1/2เพิ่มเติม อนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกพื้นฐานแบบข้างเดียวเป็นอนาล็อก q ของอนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริก เนื่องจาก

${\displaystyle \lim _{q\to 1}\;_{j}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}q^{a_{1}}&q^{a_{2}}&\ldots &q^{a_{j}}\\q^{b_{1}}&q^{b_{2}}&\ldots &q^{b_{k}}\end{matrix}};q,(q-1)^{1+kj}z\right]=\;_{j}F_{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};z\right]}$

ถือ ( Koekoek & Swarttouw (1996) ) อนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกพื้นฐานทวิภาคีซึ่งสอดคล้องกับอนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกทวิภาคีถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle \;_{j}\psi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{j};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{n \choose 2}\right)^{kj}z^{n}.}$

กรณีพิเศษที่สำคัญที่สุดคือเมื่อj = kซึ่งจะกลายเป็น

${\displaystyle \;_{k}\psi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{k}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}z^{n}.}$

อนุกรมแบบฝ่ายเดียวสามารถหาได้เป็นกรณีพิเศษของอนุกรมแบบสองฝ่าย โดยการกำหนดให้ ตัวแปร b ตัวใดตัวหนึ่ง เท่ากับqอย่างน้อยที่สุดเมื่อไม่มี ตัวแปร aตัวใดเป็นกำลังของqเนื่องจากพจน์ทั้งหมดที่มีn < 0 จะหายไป

นิพจน์อนุกรมอย่างง่ายบางส่วนได้แก่

${\displaystyle {\frac {z}{1-q}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;q\\q^{2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{3}}}+\ldots }$

และ

${\displaystyle {\frac {z}{1-q^{1/2}}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;q^{1/2}\\q^{3/2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q^{1/2}}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{3/2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{5/2}}}+\ldots }$

และ

${\displaystyle \;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;-1\\-q\end{matrix}}\;;q,z\right]=1+{\frac {2z}{1+q}}+{\frac {2z^{2}}{1+q^{2}}}+{\frac {2z^{3}}{1+q^{3}}}+\ldots .}$

ทฤษฎีบทq -binomial (ตีพิมพ์ครั้งแรกในปี พ.ศ. 2354 โดยHeinrich August Rothe ) ^{[ 1 ] [ 2 ]}ระบุว่า $${\displaystyle \;_{1}\phi _{0}(a;q,z)={\frac {(az;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-aq^{n}z}{1-q^{n}z}}.}$$ สามารถพิสูจน์ได้โดยการใช้เอกลักษณ์ดังกล่าวซ้ำๆ $${\displaystyle \;_{1}\phi _{0}(a;q,z)={\frac {1-az}{1-z}}\;_{1}\phi _{0}(a;q,qz).}$$ เมื่อไร${\textstyle a=q^{-N}}$ถ้า qเป็นเลขยกกำลังจำนวนเต็มลบ ผลรวมไฮเปอร์จีโอเมตริกจะมีค่าจำกัด และจะได้รูปแบบจำกัดกลับคืนมา $${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}y^{n}q^{n(n+1)/2}{\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}}_{q}=\prod _{k=1}^{N}\left(1+yq^{k}\right)}$$ ของทฤษฎีบททวินามq (บางครั้งเรียกว่าทฤษฎีบททวินามของโคชี) ^{[ 3 ]} ที่นี่${\displaystyle {\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}}_{q}}$เป็นสัมประสิทธิ์ทวินามq

กรณีพิเศษที่a  =  0 มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับq - exponential

ศรีนิวาส รามานุจันเป็นผู้ให้อัตลักษณ์ $${\displaystyle \;_{1}\psi _{1}\left[{\begin{matrix}a\\b\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}={\frac {(b/a,q,q/az,az;q)_{\infty }}{(b,b/az,q/a,z;q)_{\infty }}}}$$ ใช้ได้สำหรับ | q | < 1 และ | b / a | < | z | < 1 เอกลักษณ์ที่คล้ายกันสำหรับ      ${\displaystyle \;_{6}\psi _{6}}$สิ่งเหล่านี้ได้รับการเสนอโดยเบลีย์ เอกลักษณ์ดังกล่าวสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นการขยายความของ ทฤษฎีบท ผลคูณสามเท่าของจาโคบีซึ่งสามารถเขียนได้โดยใช้ชุดอนุกรม q ดังนี้

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n(n+1)/2}z^{n}=(q;q)_{\infty }\;(-1/z;q)_{\infty }\;(-zq;q)_{\infty }.}$

Gwynneth Coogan และKen Ono นำเสนอ ชุดกำลังอย่างเป็นทางการที่เกี่ยวข้อง^{[ 4 ]}

${\displaystyle A(z;q){\stackrel {\rm {def}}{=}}{\frac {1}{1+z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(z;q)_{n}}{(-zq;q)_{n}}}z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}z^{2n}q^{n^{2}}.}$

วัตสันได้แสดงให้เห็นว่าซึ่งเป็นรูปแบบที่คล้ายคลึงกับปริพันธ์ของบาร์นส์สำหรับอนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริก

${\displaystyle {}_{2}\phi _{1}(a,b;c;q,z)={\frac {-1}{2\pi i}}{\frac {(a,b;q)_{\infty }}{(q,c;q)_{\infty }}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {(qq^{s},cq^{s};q)_{\infty }}{(aq^{s},bq^{s};q)_{\infty }}}{\frac {\pi (-z)^{s}}{\sin \pi s}}ds}$

ที่ซึ่งขั้วโลกของ${\displaystyle (aq^{s},bq^{s};q)_{\infty }}$ขั้วจะอยู่ทางด้านซ้ายของเส้นโค้ง และขั้วที่เหลือจะอยู่ทางด้านขวา มีปริพันธ์เส้นโค้งที่คล้ายกันสำหรับ φ ปริพันธ์เส้นโค้งนี้ให้การต่อยอดเชิงวิเคราะห์ของฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกพื้นฐานในz

ฟังก์ชันเมทริกซ์ไฮเปอร์จีโอเมตริกพื้นฐานสามารถกำหนดได้ดังนี้:

${\displaystyle {}_{2}\phi _{1}(A,B;C;q,z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(A;q)_{n}(B;q)_{n}}{(C;q)_{n}(q;q)_{n}}}z^{n},\quad (A;q)_{0}:=1,\quad (A;q)_{n}:=\prod _{k=0}^{n-1}(1-Aq^{k}).}$

การทดสอบอัตราส่วนแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันเมทริกซ์นี้ลู่เข้าอย่างสมบูรณ์^{[ 5 ]}

• ตัวตนของดิกสัน
• เอกลักษณ์ของโรเจอร์ส-รามานุจัน

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ฟังก์ชัน q-ไฮเปอร์จีโอเมตริก" . MathWorld .