ในฟิสิกส์เครื่องเร่งอนุภาคค่าemittanceเป็นคุณสมบัติของลำแสงอนุภาคประจุโดยหมายถึงพื้นที่ที่ลำแสงครอบครองในปริภูมิเฟสตำแหน่งและ โมเมนตัม^{[ 1 ]}

แต่ละอนุภาคในลำแสงสามารถอธิบายได้ด้วยตำแหน่งและโมเมนตัม ตามแกน ตั้งฉากทั้งสามแกน รวมเป็นพิกัดตำแหน่งและโมเมนตัมทั้งหมดหกพิกัด เมื่อพล็อตตำแหน่งและโมเมนตัมสำหรับแกนเดียวลงบนกราฟสองมิติ ค่าเฉลี่ยของการกระจายของพิกัดบนกราฟนี้คือค่า emittance สำหรับแกนนั้น ดังนั้น ลำแสงจะมีค่า emittance สามค่า ค่าหนึ่งตามแต่ละแกน ซึ่งสามารถอธิบายได้อย่างอิสระ เนื่องจากโมเมนตัมของอนุภาคตามแกนมักจะอธิบายเป็นมุมเทียบกับแกนนั้น พื้นที่บนกราฟตำแหน่ง-โมเมนตัมจึงมักจะมีมิติเป็นความยาว × มุม (ตัวอย่างเช่น มิลลิเมตร × มิลลิเรเดียน) ^{[ 1 ] : 78–83}

ค่า Emittance มีความสำคัญต่อการวิเคราะห์ลำแสงอนุภาค ตราบใดที่ลำแสงอยู่ภายใต้แรงอนุรักษ์เท่านั้น ทฤษฎีบทของ Liouvilleแสดงให้เห็นว่าค่า Emittance เป็นปริมาณอนุรักษ์ หากการกระจายตัวเหนือปริภูมิเฟสแสดงเป็นกลุ่มเมฆในกราฟ (ดูรูป) ค่า Emittance คือพื้นที่ของกลุ่มเมฆ คำจำกัดความที่แม่นยำยิ่งขึ้นจะคำนึงถึงขอบเขตที่ไม่แน่นอนของกลุ่มเมฆและกรณีของกลุ่มเมฆที่ไม่มีรูปร่างเป็นวงรี นอกจากนี้ ค่า Emittance ตามแต่ละแกนจะเป็นอิสระต่อกัน เว้นแต่ลำแสงจะผ่านองค์ประกอบของลำแสง (เช่น แม่เหล็กโซลีนอยด์) ซึ่งทำให้ค่า Emittance มีความสัมพันธ์กัน^{[ 2 ]}

ลำแสงอนุภาคที่มีค่า emittance ต่ำ คือลำแสงที่อนุภาคถูกจำกัดอยู่ในบริเวณเล็กๆ และมีโมเมนตัม เกือบเท่ากัน ซึ่งเป็นคุณสมบัติที่พึงประสงค์เพื่อให้แน่ใจว่าลำแสงทั้งหมดถูกส่งไปยังปลายทาง ในเครื่องเร่งอนุภาคแบบชนกัน การรักษาค่า emittance ให้ต่ำหมายความว่าโอกาสในการเกิดปฏิสัมพันธ์ของอนุภาคจะมากขึ้น ส่งผลให้ความสว่างสูง ขึ้น ^{[ 3 ]} ในแหล่งกำเนิดแสงซินโครตรอนค่า emittance ต่ำหมายความว่าลำแสงเอ็กซ์เรย์ที่ได้จะมีขนาดเล็ก และส่งผลให้ความสว่างสูงขึ้น^{[ 4 ]}

ระบบพิกัดที่ใช้ในการอธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคในเครื่องเร่งอนุภาคมีแกนตั้งฉากสามแกน แต่แทนที่จะอยู่ตรงกลางจุดคงที่ในอวกาศ แกนเหล่านี้จะวางแนวตามวิถีการเคลื่อนที่ของอนุภาค "อุดมคติ" ที่เคลื่อนที่ผ่านเครื่องเร่งอนุภาคโดยไม่มีการเบี่ยงเบนจากความเร็ว ตำแหน่ง หรือทิศทางที่ตั้งใจไว้ การเคลื่อนที่ตามวิถีที่ออกแบบนี้เรียกว่า แกน ตามยาวและแกนสองแกนที่ตั้งฉากกับวิถีนี้ (โดยปกติจะวางแนวราบและแนวตั้ง) เรียกว่า แกน ตามขวาง ตาม ธรรมเนียมที่พบได้บ่อยที่สุด แกนตามยาวจะถูกกำหนดชื่อเป็นและแกนตามขวางจะถูกกำหนดชื่อเป็นและ[ ^{1 ] : 66–70} ${\displaystyle z}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

ค่าการแผ่รังสีมีหน่วยเป็นความยาว แต่โดยทั่วไปจะเรียกในรูปแบบ "ความยาว × มุม" เช่น "มิลลิเมตร × มิลลิเรเดียน" สามารถวัดได้ในมิติเชิงพื้นที่ทั้งสามมิติ

เมื่ออนุภาคเคลื่อนที่ผ่านเครื่องเร่งอนุภาคแบบวงกลมหรือวงแหวนเก็บประจุ ตำแหน่งและมุมของอนุภาคในทิศทาง x จะลากเป็นรูปวงรีในปริภูมิเฟส (ส่วนทั้งหมดนี้ใช้ได้กับและ ด้วยเช่นกัน ) วงรีนี้สามารถอธิบายได้ด้วยสมการต่อไปนี้: ^{[ 1 ] : 81} ${\displaystyle x}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle x/x'}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y'}$

${\displaystyle {\frac {\varepsilon }{\pi }}=\gamma x^{2}+2\alpha xx'+\beta x'^{2}}$

โดยที่xและx ′คือตำแหน่งและมุมของอนุภาค และคือพารามิเตอร์ Courant–Snyder (Twiss)ที่คำนวณจากรูปร่างของวงรี ${\displaystyle \beta ,\alpha ,\gamma }$

ค่าการแผ่รังสีจะกำหนดโดยและมีหน่วยเป็นความยาว × มุม อย่างไรก็ตาม แหล่งข้อมูลหลายแห่งจะย้ายปัจจัยของเข้าไปในหน่วยของการแผ่รังสีแทนที่จะรวมค่าเฉพาะ ทำให้มีหน่วยเป็น "ความยาว × มุม × ." ^{[ 2 ] : 335–336} ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$

สูตรนี้คือค่าความคลาดเคลื่อนของอนุภาคเดี่ยว (single particle emittance ) ซึ่งอธิบายพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยวิถีการเคลื่อนที่ของอนุภาคเดี่ยวในปริภูมิเฟส อย่างไรก็ตาม ค่าความคลาดเคลื่อนจะมีประโยชน์มากกว่าในการอธิบายคุณสมบัติโดยรวมของอนุภาคในลำแสง มากกว่าคุณสมบัติของอนุภาคเดี่ยว เนื่องจากอนุภาคในลำแสงไม่ได้กระจายตัวอย่างสม่ำเสมอในปริภูมิเฟสเสมอไป ดังนั้นคำจำกัดความของค่าความคลาดเคลื่อนสำหรับลำแสงทั้งหมดจึงขึ้นอยู่กับพื้นที่ของวงรีที่จำเป็นในการล้อมรอบอนุภาคในลำแสงในสัดส่วนที่กำหนด

หากลำแสงมีการกระจายตัวในปริภูมิเฟสด้วยการกระจายแบบเกาส์เซียนค่าความคลาดเคลื่อนของลำแสงอาจระบุได้ในรูปของ ค่า รากกำลังสองเฉลี่ยของและสัดส่วนของลำแสงที่จะนำมาคำนวณค่าความคลาดเคลื่อน ${\displaystyle x}$

สมการสำหรับค่าการแผ่รังสีของลำแสงเกาส์เซียนคือ: ^{[ 1 ] : 83}

${\displaystyle \varepsilon =-{\frac {2\pi \sigma ^{2}}{\beta }}ln(1-F)}$

โดยที่คือความกว้างรากกำลังสองเฉลี่ยของลำแสงคือ Courant-Snyder และคือเศษส่วนของลำแสงที่จะอยู่ในวงรี ซึ่งกำหนดเป็นตัวเลขระหว่าง 0 ถึง 1 ในที่นี้ ปัจจัยของจะแสดงอยู่ทางด้านขวาของสมการ และมักจะรวมอยู่ในหน่วยของค่าการแผ่รังสี แทนที่จะคูณเข้ากับค่าที่คำนวณได้^{[ 2 ] : 335–336} ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle F}$${\displaystyle \pi }$

ค่าที่เลือกจะขึ้นอยู่กับการใช้งานและผู้เขียน และมีตัวเลือกที่แตกต่างกันมากมายในเอกสาร ตัวเลือกทั่วไปบางส่วนและคำจำกัดความที่เทียบเท่าของค่าการแผ่รังสีมีดังนี้: ^{[ 1 ] : 83} ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \varepsilon }$	${\displaystyle F}$
${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{\beta }}}$	0.15
${\displaystyle {\frac {\pi \sigma ^{2}}{\beta }}}$	0.39
${\displaystyle {\frac {4\pi \sigma ^{2}}{\beta }}}$	0.87
${\displaystyle {\frac {6\pi \sigma ^{2}}{\beta }}}$	0.95

แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วแกน x และแกน y จะเทียบเท่ากันทางคณิตศาสตร์ แต่ในวงแหวนแนวนอนที่พิกัด x แทนระนาบของวงแหวนสามารถเพิ่ม การพิจารณา การกระจายตัวเข้าไป ในสมการของค่าความคลาดเคลื่อนได้ เนื่องจาก แรงแม่เหล็กของแม่เหล็กดัดโค้งขึ้นอยู่กับพลังงานของอนุภาคที่ถูกดัดโค้ง อนุภาคที่มีพลังงานต่างกันจะถูกดัดโค้งไปตามวิถีที่แตกต่างกันผ่านแม่เหล็ก แม้ว่าตำแหน่งและมุมเริ่มต้นจะเหมือนกันก็ตาม ผลของการกระจายตัวนี้ต่อค่าความคลาดเคลื่อนของลำแสงแสดงได้ดังนี้:

${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\sigma _{x}^{2}}{\beta _{x}(s)}}-{\frac {D(s)^{2}}{\beta _{x}}}({\frac {\sigma _{p}}{p_{o}}})^{2}}$

โดยที่คือการกระจายตัวที่ตำแหน่ง s คือโมเมนตัมของอนุภาคในอุดมคติ และคือรากกำลังสองเฉลี่ยของความแตกต่างของโมเมนตัมของอนุภาคในลำแสงจากโมเมนตัมในอุดมคติ (คำจำกัดความนี้ถือว่า F=0.15) ^{[ 1 ] : 91} ${\displaystyle D(s)}$${\displaystyle p_{o}}$${\displaystyle \sigma _{p}}$

นิยามทางเรขาคณิตของค่าการแผ่รังสีตามแนวยาวมีความซับซ้อนกว่าค่าการแผ่รังสีตามแนวขวาง ในขณะที่ พิกัด x และ y แสดงถึงการเบี่ยงเบนจากวิถีอ้างอิงซึ่งคงที่ พิกัด z แสดงถึงการเบี่ยงเบนจากอนุภาคอ้างอิงซึ่งเคลื่อนที่ด้วยพลังงานที่กำหนด การเบี่ยงเบนนี้สามารถแสดงได้ในแง่ของระยะทางตามวิถีอ้างอิง เวลาในการบินตามวิถีอ้างอิง (อนุภาคมาถึง "เร็ว" หรือ "ช้า" เมื่อเทียบกับอนุภาคอ้างอิง) หรือเฟส (สำหรับความถี่อ้างอิงที่กำหนด) ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$

ในทางกลับกันพิกัดโดยทั่วไปจะไม่แสดงเป็นมุม เนื่องจากแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงของ z เมื่อเวลาผ่านไป จึงสอดคล้องกับการเคลื่อนที่ไปข้างหน้าของอนุภาค ซึ่งสามารถระบุได้ในรูปสัมบูรณ์ เช่น ความเร็ว โมเมนตัม หรือพลังงาน หรือในรูปสัมพัทธ์ เช่น เศษส่วนของตำแหน่ง โมเมนตัม หรือพลังงานของอนุภาคอ้างอิง^{[ 1 ] : 32} ${\displaystyle z'}$${\displaystyle z'}$

อย่างไรก็ตาม แนวคิดพื้นฐานของค่าการแผ่รังสีนั้นยังคงเหมือนเดิม กล่าวคือ ตำแหน่งของอนุภาคในลำแสงจะถูกพล็อตตามแกนหนึ่งของแผนภาพปริภูมิเฟส อัตราการเปลี่ยนแปลงของตำแหน่งเหล่านั้นเมื่อเวลาผ่านไปจะถูกพล็อตบนแกนอีกแกนหนึ่ง และค่าการแผ่รังสีเป็นตัววัดพื้นที่ที่ครอบครองบนแผนภาพนั้น

นิยามหนึ่งที่เป็นไปได้ของค่าการแผ่รังสีตามแนวยาวมีดังนี้:

${\displaystyle \varepsilon _{\phi }=\int _{S}{\frac {\Delta E}{\omega _{rf}}}d\phi }$

โดยที่อินทิกรัลจะถูกคำนวณตามเส้นทางที่ล้อมรอบอนุภาคของลำแสงอย่างแน่นหนาในปริภูมิเฟส โดยที่คือความถี่อ้างอิง และพิกัดตามยาวคือเฟสของอนุภาคที่สัมพันธ์กับอนุภาคอ้างอิง สมการตามยาวเช่นนี้มักจะต้องแก้ด้วยวิธีเชิงตัวเลขมากกว่าวิธีเชิงวิเคราะห์^{[ 3 ] : 218} ${\displaystyle S}$${\displaystyle E/\phi }$${\displaystyle \omega _{rf}}$${\displaystyle \phi }$

นิยามทางเรขาคณิตของค่าการแผ่รังสีนั้นตั้งอยู่บนสมมติฐานที่ว่า การกระจายตัวของอนุภาคในปริภูมิเฟสสามารถอธิบายได้อย่างดีพอสมควรด้วยรูปวงรี นอกจากนี้ นิยามที่ใช้ค่าเฉลี่ยกำลังสองรากของการกระจายตัวของอนุภาคยังตั้งอยู่บนสมมติฐานว่าอนุภาคมีการกระจายตัวแบบเกาส์เซียนด้วย

ในกรณีที่สมมติฐานเหล่านี้ไม่เป็นจริง ก็ยังสามารถกำหนดค่าการแผ่รังสีของลำแสงโดยใช้โมเมนต์ของการกระจายได้ โดยที่ค่าการแผ่รังสี RMS ( ) ถูกกำหนดให้เป็น^{[ 5 ]}${\displaystyle \varepsilon _{\text{RMS}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{\text{RMS}}={\sqrt {\langle x^{2}\rangle \langle x^{\prime 2}\rangle -\langle x\cdot x^{\prime }\rangle ^{2}}}}$

โดยที่คือค่าความแปรปรวนของตำแหน่งของอนุภาคคือค่าความแปรปรวนของมุมที่อนุภาคทำกับทิศทางการเคลื่อนที่ในเครื่องเร่งอนุภาค ( โดยที่ อยู่ในทิศทางการเคลื่อนที่) และแสดงถึงความสัมพันธ์ระหว่างมุมและตำแหน่งของอนุภาคในลำแสง คำจำกัดความนี้เทียบเท่ากับค่าความคลาดเคลื่อนทางเรขาคณิตในกรณีของการกระจายตัวของอนุภาคแบบวงรีในปริภูมิเฟส ${\displaystyle \langle x^{2}\rangle }$${\displaystyle \langle x^{\prime 2}\rangle }$${\textstyle x^{\prime }={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} z}}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \langle x\cdot x^{\prime }\rangle }$

ค่าการแผ่รังสีอาจแสดงได้ในรูปของดีเทอร์มิแนน ต์ของเมทริก ซ์ความแปรปรวนร่วมของพิกัดปริภูมิเฟสของลำแสง ซึ่งจะเห็นได้ชัดว่าปริมาณดังกล่าวอธิบายพื้นที่ที่มีประสิทธิภาพที่ลำแสงครอบครองในแง่ของสถิติอันดับสอง

${\displaystyle \varepsilon _{\text{RMS}}={\sqrt {\begin{vmatrix}\langle x\cdot x\rangle &\langle x\cdot x^{\prime }\rangle \\\langle x\cdot x^{\prime }\rangle &\langle x^{\prime }\cdot x^{\prime }\rangle \end{vmatrix}}}}$

ขึ้นอยู่กับบริบท คำจำกัดความบางอย่างของค่าการแผ่รังสี RMS จะเพิ่มตัวคูณมาตราส่วนเพื่อให้สอดคล้องกับสัดส่วนของการกระจายทั้งหมด เพื่ออำนวยความสะดวกในการเปรียบเทียบกับค่าการแผ่รังสีเชิงเรขาคณิตโดยใช้สัดส่วนเดียวกัน

บางครั้งการพูดถึงพื้นที่ปริภูมิเฟสก็มีประโยชน์ ไม่ว่าจะเป็นปริภูมิเฟสตามขวางสี่มิติ (IE , , , ) หรือปริภูมิเฟสหกมิติเต็มของอนุภาค (IE , , , , , ) ค่าความคลาดเคลื่อน RMS สามารถขยายไปสู่ปริภูมิสามมิติเต็มได้ดังที่แสดงไว้: ${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{\prime }}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y^{\prime }}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{\prime }}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y^{\prime }}$${\displaystyle \Delta z}$${\displaystyle \Delta z^{\prime }}$

${\displaystyle \varepsilon _{{\text{RMS}},6D}={\sqrt {\begin{vmatrix}\langle x\cdot x\rangle &\langle x\cdot x^{\prime }\rangle &\langle x\cdot y\rangle &\langle x\cdot y^{\prime }\rangle &\langle x\cdot z\rangle &\langle x\cdot z^{\prime }\rangle \\\langle x^{\prime }\cdot x\rangle &\langle x^{\prime }\cdot x^{\prime }\rangle &\langle x^{\prime }\cdot y\rangle &\langle x^{\prime }\cdot y^{\prime }\rangle &\langle x^{\prime }\cdot z\rangle &\langle x^{\prime }\cdot z^{\prime }\rangle \\\langle y\cdot x\rangle &\langle y\cdot x^{\prime }\rangle &\langle y\cdot y\rangle &\langle y\cdot y^{\prime }\rangle &\langle y\cdot z\rangle &\langle y\cdot z^{\prime }\rangle \\\langle y^{\prime }\cdot x\rangle &\langle y^{\prime }\cdot x^{\prime }\rangle &\langle y^{\prime }\cdot y\rangle &\langle y^{\prime }\cdot y^{\prime }\rangle &\langle y^{\prime }\cdot z\rangle &\langle y^{\prime }\cdot z^{\prime }\rangle \\\langle z\cdot x\rangle &\langle z\cdot x^{\prime }\rangle &\langle z\cdot y\rangle &\langle z\cdot y^{\prime }\rangle &\langle z\cdot z\rangle &\langle z\cdot z^{\prime }\rangle \\\langle z^{\prime }\cdot x\rangle &\langle z^{\prime }\cdot x^{\prime }\rangle &\langle z^{\prime }\cdot y\rangle &\langle z^{\prime }\cdot y^{\prime }\rangle &\langle z^{\prime }\cdot z\rangle &\langle z^{\prime }\cdot z^{\prime }\rangle \\\end{vmatrix}}}}$

ในกรณีที่ไม่มีความสัมพันธ์ระหว่างแกนต่างๆ ในเครื่องเร่งอนุภาคค่าเมทริกซ์ส่วนใหญ่จะกลายเป็นศูนย์ และเราจะเหลือเพียงผลคูณของค่าความคลาดเคลื่อนตามแต่ละแกน

${\displaystyle \varepsilon _{{\text{RMS}},6D}={\sqrt {\begin{vmatrix}\langle x\cdot x\rangle &\langle x\cdot x^{\prime }\rangle &0&0&0&0\\\langle x^{\prime }\cdot x\rangle &\langle x^{\prime }\cdot x^{\prime }\rangle &0&0&0&0\\0&0&\langle y\cdot y\rangle &\langle y\cdot y^{\prime }\rangle &0&0\\0&0&\langle y^{\prime }\cdot y\rangle &\langle y^{\prime }\cdot y^{\prime }\rangle &0&0\\0&0&0&0&\langle z\cdot z\rangle &\langle z\cdot z^{\prime }\rangle \\0&0&0&0&\langle z^{\prime }\cdot z\rangle &\langle z^{\prime }\cdot z^{\prime }\rangle \\\end{vmatrix}}}={\sqrt {\begin{vmatrix}\langle x\cdot x\rangle &\langle x\cdot x^{\prime }\rangle \\\langle x^{\prime }\cdot x\rangle &\langle x^{\prime }\cdot x^{\prime }\rangle \\\end{vmatrix}}}{\sqrt {\begin{vmatrix}\langle y\cdot y\rangle &\langle y\cdot y^{\prime }\rangle \\\langle y^{\prime }\cdot y\rangle &\langle y^{\prime }\cdot y^{\prime }\rangle \\\end{vmatrix}}}{\sqrt {\begin{vmatrix}\langle z\cdot z\rangle &\langle z\cdot z^{\prime }\rangle \\\langle z^{\prime }\cdot z\rangle &\langle z^{\prime }\cdot z^{\prime }\rangle \\\end{vmatrix}}}=\varepsilon _{x}\varepsilon _{y}\varepsilon _{z}}$

แม้ว่าค่าความคลาดเคลื่อนของลำแสง (emittance) ตามคำจำกัดความก่อนหน้านี้จะคงที่สำหรับการขนส่งลำแสงเชิงเส้น แต่จะเปลี่ยนแปลงไปเมื่ออนุภาคเกิดการเร่งความเร็ว (ปรากฏการณ์ที่เรียกว่าการลดทอนแบบอะเดียแบติก) ในบางแอปพลิเคชัน เช่น สำหรับเครื่องเร่งอนุภาคเชิงเส้นเครื่องฉีดโฟตอนและส่วนเร่งความเร็วของระบบขนาดใหญ่ การเปรียบเทียบคุณภาพของลำแสงที่ระดับพลังงานต่างกันจึงมีความสำคัญ ค่าความคลาดเคลื่อนของลำแสงแบบนอร์มาไลซ์ (Normalized emittance) ซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเร่งความเร็ว จะถูกนำมาใช้เพื่อจุดประสงค์นี้

ค่าการแผ่รังสีแบบนอร์มาไลซ์ในมิติเดียวคำนวณได้จากสูตร:

${\displaystyle \varepsilon _{n}={\sqrt {\langle x^{2}\rangle \langle \left(\gamma \beta _{x}\right)^{2}\rangle -\langle x\cdot \gamma \beta _{x}\rangle ^{2}}}={\sqrt {\begin{vmatrix}\langle x\cdot x\rangle &\langle x\cdot \gamma \beta _{x}\rangle \\\langle x\cdot \gamma \beta _{x}\rangle &\langle \gamma \beta _{x}\cdot \gamma \beta _{x}\rangle \end{vmatrix}}}}$

มุมในคำจำกัดความก่อนหน้านี้ถูกแทนที่ด้วยโมเมนตัมตามขวางแบบนอร์มาไลซ์โดยที่คือตัวประกอบลอเรนซ์และคือความเร็วตามขวางแบบนอร์มาไลซ์ ${\textstyle x^{\prime }={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} z}}}$${\textstyle {\frac {p_{x}}{mc}}=\gamma \beta _{x}}$${\displaystyle \gamma }$${\textstyle \beta _{x}=v_{x}/c}$

ค่า emittance ที่เป็นมาตรฐานเกี่ยวข้องกับคำจำกัดความก่อนหน้าของ emittance ผ่านและความเร็วที่เป็นมาตรฐานในทิศทางการเดินทางของลำแสง ( ): ^{[ 6 ]}${\displaystyle \gamma }$${\textstyle \beta _{z}=v_{z}/c}$

${\displaystyle \varepsilon _{n}=\gamma \beta _{z}\varepsilon }$

ค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน (normalized emittance) ไม่เปลี่ยนแปลงตามพลังงาน ดังนั้นจึงสามารถใช้บ่งชี้การเสื่อมสภาพของลำแสงได้หากอนุภาคถูกเร่งความเร็ว สำหรับความเร็วที่ใกล้เคียงกับความเร็วแสงซึ่งมีค่าใกล้เคียงกับหนึ่ง ค่าความคลาดเคลื่อนจะแปรผกผันกับพลังงานโดยประมาณ ในกรณีนี้ ความกว้างทางกายภาพของลำแสงจะแปรผกผันกับรากที่สองของพลังงาน ${\displaystyle \beta =v/c}$

สามารถกำหนดเวอร์ชันมิติสูงกว่าของค่าการแผ่รังสีแบบนอร์มาไลซ์ได้ในลักษณะเดียวกับเวอร์ชัน RMS โดยการแทนที่มุมทั้งหมดด้วยโมเมนตัมที่สอดคล้องกัน

หนึ่งในวิธีการพื้นฐานที่สุดในการวัดค่าการแผ่รังสีของลำแสงคือวิธีการสแกนควอดรูโพล ค่าการแผ่รังสีของลำแสงสำหรับระนาบที่สนใจโดยเฉพาะ (เช่น แนวนอนหรือแนวตั้ง) สามารถหาได้โดยการเปลี่ยนแปลงความแรงของสนามของควอดรูโพล (หรือควอดรูโพลหลายตัว) ที่อยู่ด้านหน้าของมอนิเตอร์ (เช่น สายไฟหรือหน้าจอ) ^{[ 4 ]}

คุณสมบัติของคานสามารถอธิบายได้ด้วยเมทริกซ์คานดังต่อไปนี้

${\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}\langle x\cdot x\rangle &\langle x\cdot x^{\prime }\rangle \\\langle x\cdot x^{\prime }\rangle &\langle x^{\prime }\cdot x^{\prime }\rangle \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\end{bmatrix}}}$

โดยที่คืออนุพันธ์ของ x เทียบกับพิกัดตามแนวยาว แรงที่ลำแสงได้รับขณะเคลื่อนที่ไปตามแนวลำแสงและผ่านควอดรูโพลจะถูกอธิบายโดยใช้เมทริกซ์การถ่ายโอนของแนวลำแสง ซึ่งรวมถึงควอดรูโพลและส่วนประกอบอื่นๆ ของแนวลำแสง เช่น ดริฟต์: ${\textstyle x^{\prime }={dx \over dz}}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle R=S_{1}QS_{2}={\begin{pmatrix}r_{11}&r_{12}\\r_{21}&r_{22}\end{pmatrix}}}$

นี่คือเมทริกซ์การถ่ายโอนระหว่างตำแหน่งลำแสงดั้งเดิมและควอดรูโพลคือเมทริกซ์การถ่ายโอนของควอดรูโพล และคือเมทริกซ์การถ่ายโอนระหว่างควอดรูโพลและหน้าจอแสดงผล ในระหว่างกระบวนการสแกนของควอดรูโพลและจะคงที่ และจะเปลี่ยนแปลงไปตามความแรงของสนามแม่เหล็กของควอดรูโพล ${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle S_{2}}$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{2}}$${\displaystyle Q}$

ลำแสงสุดท้ายเมื่อตกกระทบหน้าจอมอนิเตอร์ที่ระยะ s จากตำแหน่งเดิม สามารถอธิบายได้ว่าเป็นเมทริกซ์ลำแสงอีกแบบหนึ่ง: ${\displaystyle \Sigma _{s}}$

${\displaystyle \Sigma _{s}={\begin{bmatrix}\langle x_{s}\cdot x_{s}\rangle &\langle x_{s}\cdot x_{s}^{\prime }\rangle \\\langle x_{s}\cdot x_{s}^{\prime }\rangle &\langle x_{s}^{\prime }\cdot x_{s}^{\prime }\rangle \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma _{s,11}&\sigma _{s,12}\\\sigma _{s,21}&\sigma _{s,22}\end{bmatrix}}}$

สามารถคำนวณเมทริกซ์ลำแสงสุดท้าย ได้จากเมทริกซ์ลำแสงดั้งเดิม โดยการคูณเมทริกซ์กับเมทริกซ์การถ่ายโอนลำแสง: ${\displaystyle \Sigma _{s}}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle R}$

${\displaystyle \Sigma _{s}=R\Sigma R^{T}}$

ทรานสโพส ของอยู่ที่ไหน${\displaystyle R^{T}}$${\displaystyle R}$

ทีนี้ เมื่อเราพิจารณาเฉพาะองค์ประกอบ (1,1) ของเมทริกซ์ลำแสงสุดท้ายตลอดการคูณเมทริกซ์ เราจะได้สมการดังนี้:

${\displaystyle \sigma _{s,11}=r_{11}^{2}\sigma _{11}+2r_{11}r_{12}\sigma _{12}+r_{12}^{2}\sigma _{22}}$

ในที่นี้พจน์กลางมีตัวประกอบเป็น 2 เพราะว่า. ${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{21}}$

ทีนี้หารทั้งสองข้างของสมการข้างต้นด้วยสมการจะกลายเป็น: ${\displaystyle r_{12}^{2}}$

${\displaystyle {\frac {\sigma _{s,11}}{r_{12}^{2}}}={\frac {r_{11}^{2}}{r_{12}^{2}}}\sigma _{11}+2{\frac {r_{11}}{r_{12}}}\sigma _{12}+\sigma _{22}}$

ซึ่งเป็นสมการกำลังสองของตัวแปรเนื่องจากค่าการแผ่รังสี RMS ถูกกำหนดไว้ดังนี้ ${\textstyle {\frac {r_{11}}{r_{12}}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{\text{RMS}}={\sqrt {\langle x^{2}\rangle \langle x^{\prime 2}\rangle -\langle x\cdot x^{\prime }\rangle ^{2}}}}$

ค่า RMS emittance ของลำแสงดั้งเดิมสามารถคำนวณได้โดยใช้ค่าเมทริกซ์ของลำแสง:

${\displaystyle \varepsilon _{\text{RMS}}={\sqrt {\sigma _{11}\sigma _{22}-\sigma _{12}^{2}}}}$

ในการวัดค่าการแผ่รังสี จะใช้วิธีการดังต่อไปนี้:

1. สำหรับแต่ละค่า (หรือการรวมกันของค่า) ของควอดรูโพล จะมีการคำนวณเมทริกซ์การ ถ่ายโอนลำแสงเพื่อกำหนดค่าของและ${\displaystyle R}$${\displaystyle r_{11}}$${\displaystyle r_{12}}$
2. ลำแสงจะเคลื่อนที่ผ่านแนวลำแสงที่เปลี่ยนแปลงไป และถูกสังเกตบนหน้าจอมอนิเตอร์ ซึ่งจะทำการวัด ขนาดของลำแสง${\textstyle \sigma _{s,11}}$
3. ทำซ้ำขั้นตอนที่ 1 และ 2 เพื่อให้ได้ค่าต่างๆ ของและ จากนั้นปรับผลลัพธ์ให้เข้ากับพาราโบลา${\textstyle {\frac {\sigma _{s,11}}{r_{12}^{2}}}}$${\displaystyle {\frac {r_{11}}{r_{12}}}}$${\textstyle {\frac {\sigma _{s,11}}{r_{12}^{2}}}=A\left({\frac {r_{11}}{r_{12}}}\right)^{2}+B\left({\frac {r_{11}}{r_{12}}}\right)+C}$
4. เทียบพารามิเตอร์การปรับพาราโบลาให้เข้ากับองค์ประกอบเมทริกซ์ลำแสงดั้งเดิม: , , .${\textstyle A=\sigma _{11}}$${\displaystyle B=2\sigma _{12}}$${\displaystyle C=\sigma _{22}}$
5. คำนวณค่า RMS emittance ของลำแสงดั้งเดิม:${\textstyle \varepsilon _{\text{RMS}}={\sqrt {\sigma _{11}\sigma _{22}-\sigma _{12}^{2}}}}$

ถ้าความยาวของควอดรูโพลสั้นเมื่อเทียบกับความยาวโฟกัสโดยที่คือความแรงสนามของควอดรูโพล เมทริกซ์การถ่ายโอนของมันสามารถประมาณได้โดยใช้ การประมาณ เลนส์บาง : ${\displaystyle f=1/K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}1&0\\K&1\end{pmatrix}}}$

จากนั้นสามารถคำนวณค่า RMS emittance ได้โดยการปรับเส้นโค้งพาราโบลาให้เข้ากับค่าขนาดลำแสงที่วัดได้เทียบกับความแรงของควอดรูโพล ${\displaystyle \sigma _{x}^{2}}$${\displaystyle K}$

ด้วยการเพิ่มควอดรูโพลเพิ่มเติม เทคนิคนี้สามารถขยายไปสู่การสร้างภาพ 4 มิติแบบเต็มรูปแบบได้^{[ 7 ]}

อีกวิธีพื้นฐานในการวัดค่าการแผ่รังสีคือการใช้หน้ากากที่กำหนดไว้ล่วงหน้าเพื่อพิมพ์ลวดลายลงบนลำแสงและสุ่มตัวอย่างลำแสงที่เหลืออยู่บนหน้าจอปลายทาง หน้ากากดังกล่าวสองแบบคือ พริกไทย^{[ 8 ]}และตะแกรง TEM ^{[ 9 ]}   แผนภาพของการวัดด้วยตะแกรง TEM แสดงไว้ด้านล่าง

โดยการใช้ความรู้เกี่ยวกับระยะห่างของคุณลักษณะในหน้ากาก เราสามารถดึงข้อมูลเกี่ยวกับขนาดลำแสงที่ระนาบหน้ากากได้ โดยการวัดระยะห่างระหว่างคุณลักษณะเดียวกันบนลำแสงที่สุ่มตัวอย่างด้านล่าง เราสามารถดึงข้อมูลเกี่ยวกับมุมในลำแสงได้ ปริมาณคุณค่าสามารถดึงออกมาได้ตามที่อธิบายไว้ใน Marx et al. ^{[ 10 ]}

โดยทั่วไป การเลือกใช้หน้ากากจะขึ้นอยู่กับประจุของลำแสง ลำแสงที่มีประจุต่ำจะเหมาะกับหน้ากากแบบตะแกรง TEM มากกว่าหน้ากากแบบกระบอกพริกไทย เนื่องจากลำแสงส่วนใหญ่สามารถทะลุผ่านได้

เพื่อทำความเข้าใจว่าเหตุใด ค่า RMS emittance จึงมีค่าเฉพาะในวงแหวนเก็บประจุ จำเป็นต้องแยกแยะระหว่างวงแหวนเก็บประจุอิเล็กตรอนและวงแหวนเก็บประจุที่มีอนุภาคหนักกว่า (เช่น โปรตอน) ในวงแหวนเก็บประจุอิเล็กตรอน รังสีเป็นผลกระทบที่สำคัญ ในขณะที่เมื่อเก็บอนุภาคอื่น ผลกระทบมักจะน้อย เมื่อรังสีมีความสำคัญ อนุภาคจะเกิดการลดทอนจากรังสี (ซึ่งค่อยๆ ลดค่า emittance ลงทีละรอบ) และการแพร่กระจายที่ขับเคลื่อนโดยความผันผวนเชิงควอนตัมของรังสีซินโครตรอนนำไปสู่ค่า emittance ที่สมดุล^{[ 11 ]} เมื่อไม่มีรังสี ค่า emittance จะคงที่ (ยกเว้นผลกระทบจากอิมพีแดนซ์และการกระเจิงภายในลำแสง) ในกรณีนี้ ค่า emittance จะถูกกำหนดโดยการกระจายตัวของอนุภาคเริ่มต้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากฉีดค่า emittance "น้อย" ค่า emittance ก็จะยังคงน้อย ในขณะที่หากฉีดค่า emittance "มาก" ค่า emittance ก็จะยังคงมาก

ค่าการยอมรับหรือเรียกอีกอย่างว่าค่าการยอมรับ [ ^{12 ] คือค่าการแผ่รังสีสูงสุดที่ระบบขนส่งลำแสงหรือ ระบบ}วิเคราะห์สามารถส่งผ่านได้ นี่คือขนาดของห้องที่แปลงเป็นพื้นที่เฟสและไม่ได้รับผลกระทบจากความกำกวมของคำจำกัดความของการแผ่รังสีของลำแสง

เลนส์สามารถรวมลำแสง ลดขนาดของลำแสงในมิติแนวขวางด้านหนึ่ง ขณะที่เพิ่มการกระจายเชิงมุม แต่ไม่สามารถเปลี่ยนแปลงค่าการแผ่รังสีโดยรวมได้ นี่เป็นผลมาจากทฤษฎีบทของลีอูวิลล์วิธีการลดค่าการแผ่รังสีของลำแสง ได้แก่การลดทอนการแผ่รังสีการระบายความร้อนแบบสุ่มและ การ ระบาย ความร้อนด้วยอิเล็กตรอน

ค่าการแผ่รังสี (Emittance) ยังเกี่ยวข้องกับความสว่างของลำแสงด้วย ในการใช้งานกล้องจุลทรรศน์ความสว่างมักถูกนำมาใช้บ่อยมาก เพราะมันรวมถึงกระแสในลำแสง และระบบส่วนใหญ่มีสมมาตรแบบวงกลม ลองพิจารณาความสว่างของลำแสงที่ตกกระทบลงบนตัวอย่าง

${\displaystyle B={\frac {I}{\lambda \varepsilon }}}$

โดยที่แสดงถึงกระแสลำแสง และแสดงถึงค่าการแผ่รังสีรวมของลำแสงตกกระทบ และ แสดงถึงความยาวคลื่นของอิเล็กตรอนตกกระทบ ${\displaystyle I}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \lambda }$

ค่าการแผ่รังสีภายในซึ่งอธิบายการกระจายแบบปกติในปริภูมิเฟสเริ่มต้น จะถูกกระจายออกไปโดยค่าการแผ่รังสีที่เกิดจากความคลาดเคลื่อน ค่าการแผ่รังสีทั้งหมดโดยประมาณคือผลรวมกำลังสอง ภาย ใต้สมมติฐานของการส่องสว่างที่สม่ำเสมอของช่องรับแสงด้วยกระแสต่อหน่วยมุมเราจะได้ความสัมพันธ์ระหว่างค่าการแผ่รังสีและความสว่างดังต่อไปนี้ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$${\displaystyle \varepsilon _{\chi }}$${\displaystyle J}$

${\displaystyle B={\frac {J\pi \alpha _{0}^{2}}{\lambda {\sqrt {\varepsilon _{i}^{2}+\varepsilon _{\chi }^{2}}}}}}$

• ฟิสิกส์เครื่องเร่งอนุภาค
• เอเทนดู
• พลังงานตามขวางเฉลี่ย