กระดานกัลตัน

กล่องกัลตันแสดงให้เห็น

กระดานGaltonหรือที่รู้จักกันในชื่อกล่อง Galtonหรือquincunxหรือเครื่องถั่ว (หรือเรียกผิดว่ากระดาน Dalton ) เป็นอุปกรณ์ที่คิดค้นโดยFrancis Galton ^{[ 1 ]}^{: 63}เพื่อสาธิตทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางโดยเฉพาะอย่างยิ่งว่าด้วยขนาดตัวอย่างที่เพียงพอการแจกแจงทวินามจะใกล้เคียงกับการ แจกแจงปกติ

กัลตันออกแบบสิ่งนี้เพื่อแสดงให้เห็นถึงแนวคิดเรื่องการถดถอยสู่ค่าเฉลี่ย [ ²^{] ซึ่งเขาเรียก}^ว่า "การกลับคืนสู่ความเป็นธรรมดา" และทำให้เป็นส่วนหนึ่งของอุดมการณ์ยูจีนิสต์ ของเขา ^{[ 3 ]}

คำอธิบาย

กระดาน Galton ประกอบด้วยกระดานแนวตั้งที่มีแถวหมุดสลับกัน ลูกปัดจะถูกปล่อยลงมาจากด้านบน และเมื่ออุปกรณ์อยู่ในระดับ ลูกปัดจะกระเด้งไปทางซ้ายหรือขวาเมื่อกระทบกับหมุด ในที่สุดลูกปัดจะถูกรวบรวมลงในถังที่ด้านล่าง ซึ่งความสูงของคอลัมน์ลูกปัดที่สะสมอยู่ในถังจะมีลักษณะคล้ายเส้นโค้งระฆัง การวางสามเหลี่ยมของปาสคาลลงบนหมุดจะแสดงจำนวนเส้นทางที่แตกต่างกันที่สามารถใช้เพื่อไปยังแต่ละถังได้^{[ 4 ]}

แบบจำลองการทำงานขนาดใหญ่ของอุปกรณ์นี้ที่สร้างโดยCharles และ Ray Eamesสามารถชมได้ในนิทรรศการ Mathematica: A World of Numbers... and Beyondซึ่งจัดแสดงถาวรที่พิพิธภัณฑ์วิทยาศาสตร์บอสตันหอวิทยาศาสตร์นิวยอร์กหรือพิพิธภัณฑ์เฮนรีฟอร์ด [ ^{5 ] เครื่องจักร}ของพิพิธภัณฑ์ฟอร์ดถูกจัดแสดงที่ศาลา IBM ในงานมหกรรมโลกนิวยอร์กปี 1964-65ต่อมาได้ไปจัดแสดงที่ศูนย์วิทยาศาสตร์แปซิฟิกในซีแอตเติล^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}แบบจำลองขนาดใหญ่อีกแบบหนึ่งจัดแสดงอยู่ในล็อบบี้ของ Index Fund Advisors ใน เออร์ไวน์ รัฐแคลิฟอร์เนีย^{[ 8 ]}

สามารถสร้างบอร์ดสำหรับการกระจายแบบอื่นได้โดยการเปลี่ยนรูปร่างของหมุดหรือปรับให้เอนเอียงไปในทิศทางใดทิศทางหนึ่ง และแม้แต่บอร์ดแบบสองโหมดก็เป็นไปได้^{[ 9 ]}บอร์ดสำหรับการกระจายแบบลอการิทมิกปกติ (ซึ่งพบได้ทั่วไปในกระบวนการทางธรรมชาติหลายอย่างโดยเฉพาะอย่างยิ่งทางชีววิทยา) ซึ่งใช้รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีความกว้างต่างกันเพื่อ 'คูณ' ระยะทางที่ลูกปัดเคลื่อนที่แทนที่จะใช้ขั้นตอนขนาดคงที่ซึ่งจะ 'บวก' กันนั้น ถูกสร้างขึ้นโดยJacobus Kapteynในขณะที่ศึกษาและเผยแพร่สถิติของลอการิทมิกปกติ เพื่อช่วยให้เห็นภาพและแสดงให้เห็นถึงความเป็นไปได้^{[ 10 ]}ตั้งแต่ปี 1963 บอร์ดนี้ได้รับการเก็บรักษาไว้ในมหาวิทยาลัย Groningen ^{[ 11 ]} นอกจากนี้ยังมีเครื่องจักรลอการิทมิกปกติที่ได้รับการปรับปรุงซึ่งใช้ รูปสามเหลี่ยมเบ้ที่มีด้านขวายาวกว่า จึงหลีกเลี่ยงการเลื่อนค่ามัธยฐานของลูกปัดไปทางซ้าย^{[ 12 ]}

การกระจายตัวของลูกปัด

ถ้าลูกปัดกระเด้งไปทางขวาkครั้งระหว่างทางลง (และไปทางซ้ายบนหมุดที่เหลือ) มันจะไปอยู่ใน ถังที่ kนับจากซ้าย โดยกำหนดให้n เป็นจำนวนแถวของหมุดในกระดาน Galton จำนวนเส้นทางไปยัง ถังที่ kด้านล่างจะกำหนดโดยสัมประสิทธิ์ทวินาม โปรดสังเกตว่าถังซ้ายสุดคือ ถัง 0ถัดไปคือ ถัง 1เป็นต้น และถังที่อยู่ไกลที่สุดทางขวาคือ ถัง nดังนั้นจำนวนถังทั้งหมดจึงเท่ากับn+1 (แต่ละแถวไม่จำเป็นต้องมีหมุดมากกว่าจำนวนที่ระบุแถวนั้นเอง เช่น แถวแรกมี 1 หมุด แถวที่สองมี 2 หมุด จนถึง แถวที่ nที่มีnหมุดซึ่งตรงกับ ถัง n+1 ) ถ้าความน่าจะเป็นที่ลูกบอลจะกระดอนลงบนหมุดพอดีคือp (ซึ่งเท่ากับ 0.5 บนเครื่องระดับที่ไม่ลำเอียง) ความน่าจะเป็นที่ลูกบอลจะตกลงไปในช่องที่k จะเท่ากับ นี่คือฟังก์ชันความน่าจะเป็นมวลของการแจกแจงแบบทวินามจำนวนแถวสอดคล้องกับขนาดของการแจกแจงแบบทวินามในจำนวนครั้งของการทดลอง ในขณะที่ความน่าจะเป็นpของแต่ละหมุดคือp ของการแจกแจงแบบทวิ นาม ${n \choose k}$ ${n \choose k}p^{k}(1-p)^{nk}$

ตามทฤษฎีบทลิมิตกลาง (โดยเฉพาะทฤษฎีบทเดอ มัวร์-ลาปลาส ) การแจกแจงทวินามจะประมาณค่าการแจกแจงปกติได้ก็ต่อเมื่อจำนวนแถวและจำนวนลูกบอลมีขนาดใหญ่ การเปลี่ยนแปลงจำนวนแถวจะส่งผลให้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานหรือความกว้างของเส้นโค้งระฆังหรือการแจกแจงปกติในแต่ละช่วง มีค่าแตกต่างกัน

อีกหนึ่งการตีความที่แม่นยำกว่าจากมุมมองทางกายภาพนั้นได้มาจากเอนโทรปี : เนื่องจากพลังงานที่ลูกปัดแต่ละเม็ดที่ตกลงมานั้นมีค่าจำกัด ดังนั้นแม้ว่าการชนกันของลูกปัดที่ปลายใดๆ ก็ตามจะเป็นไปในเชิงอลหม่านเพราะอนุพันธ์ไม่สามารถกำหนดได้ (ไม่มีวิธีใดที่จะคาดเดาได้ล่วงหน้าว่าด้านใดจะตกลงมา) ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของลูกปัดแต่ละเม็ดจึงถูกจำกัดให้มีค่าจำกัด (พวกมันจะไม่มีวันกระเด็นออกนอกกล่อง) และรูปร่างแบบเกาส์เซียนเกิดขึ้นเพราะมันเป็นการกระจายความน่าจะเป็นที่มีเอนโทรปีสูงสุดสำหรับกระบวนการต่อเนื่องที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนที่กำหนดไว้ การเกิดขึ้นของการกระจายแบบปกติอาจตีความได้ว่าข้อมูลที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่ลูกปัดแต่ละเม็ดมีอยู่เกี่ยวกับเส้นทางที่มันเดินทางนั้นได้สูญหายไปอย่างสมบูรณ์แล้วจากการชนกันขณะตกลงมา

ตัวอย่าง

กระดานกัลตัน (ขนาด 7.5 นิ้ว x 4.5 นิ้ว)
ก่อนและหลังการหมุน
แบบจำลองที่ใช้งานได้จริงของเครื่องจักร (ตามแบบที่ดัดแปลงเล็กน้อย)

ประวัติศาสตร์

ฟรานซิส กัลตันออกแบบกระดานของเขาเป็นส่วนหนึ่งของการนำเสนอในงานสัมมนาของสถาบันหลวงเมื่อวันที่ 27 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2417 โดยมีเป้าหมายเพื่อส่งเสริมการใช้การจัดอันดับแทนการวัดในสถิติ เพื่อให้สามารถกำหนดตัวเลขให้กับคุณสมบัติต่างๆ เช่น สติปัญญาได้โดยไม่ต้องใช้ข้อมูลจากการทดลอง การเรียงลูกบอลในลักษณะการกระจายแบบปกติมีจุดประสงค์เพื่อแสดงให้เห็นว่าค่าเฉลี่ยจะเกิดขึ้นจากการทดสอบหลายครั้ง^{[ 13 ]}

ฟรานซิส กัลตัน เขียนหนังสือชื่อ"การสืบทอดทางธรรมชาติ" (Natural Inheritance) ในปี ค.ศ. 1889 ว่า:

ระเบียบในความโกลาหลที่ปรากฏ: ข้าพเจ้าแทบไม่รู้จักสิ่งใดที่จะสามารถตรึงใจจินตนาการได้มากเท่ากับรูปแบบอันน่าอัศจรรย์ของระเบียบจักรวาลที่แสดงออกโดยกฎแห่งความถี่ของความผิดพลาด กฎนี้คงได้รับการยกย่องให้เป็นบุคคลและบูชาโดยชาวกรีก หากพวกเขารู้จักมัน มันปกครองด้วยความสงบและถ่อมตนอย่างสมบูรณ์ท่ามกลางความสับสนวุ่นวายที่สุด ยิ่งฝูงชนมีขนาดใหญ่และยิ่งความอนาธิปไตยที่ปรากฏมากเท่าใด อำนาจของมันก็ยิ่งสมบูรณ์แบบมากขึ้นเท่านั้น มันคือกฎสูงสุดแห่งความไร้เหตุผล เมื่อใดก็ตามที่นำตัวอย่างขนาดใหญ่ขององค์ประกอบที่วุ่นวายมาจัดเรียงตามลำดับขนาดของมัน รูปแบบของความสม่ำเสมอที่คาดไม่ถึงและสวยงามที่สุดก็พิสูจน์ได้ว่าแฝงอยู่ตลอดมา^{[ 1 ]}^{: 66}

อย่างไรก็ตาม กัลตันยังต้องการแสดงให้เห็นว่าค่าสุดขั้วของสติปัญญาเป็นผลมาจากกรรมพันธุ์ ซึ่งดูเหมือนจะขัดแย้งกับการทดลองของเขา เนื่องจากการทดลองของเขาสร้างค่าสุดขั้วจากการกระจายตัวของความสุ่มเพียงอย่างเดียว เมื่อตระหนักถึงปัญหานี้ เขาจึงพยายามแก้ไขในปี พ.ศ. 2418 โดยโต้แย้งว่ากล่องของเขาไม่ได้สะท้อนสถานการณ์ที่อคติจะถูกนำมาใช้โดยสิ่งที่เขาเรียกว่าปัจจัยอิทธิพลหลัก^{[ 2 ]}

ในจดหมายที่เขียนถึงจอร์จ ดาร์วินในปี ค.ศ. 1877 กัลตันได้อธิบายถึงกระดานเวอร์ชันที่สอง ซึ่งมีสองขั้น โดยช่องที่อยู่ด้านล่างของขั้นบนสุดจะมีประตูเล็กๆ ที่จะทำให้ลูกบอลจากช่องที่เลือกตกลงไปในขั้นตอนที่สองได้ เป้าหมายของเขาคือเพื่อแสดงให้เห็นถึงแนวคิดเรื่อง "การกลับคืนสู่ความธรรมดา" กล่าวคือ หากไม่มีการควบคุมการแต่งงาน ส่วนที่ดีที่สุดของประชากรจะผสมกับส่วนที่ธรรมดา ทำให้ลูกหลานค่อยๆ กลับคืนสู่ค่าเฉลี่ย อย่างไรก็ตาม กระดานเวอร์ชันนี้ไม่ได้ถูกสร้างขึ้นจริง

เกมส์

มีการพัฒนาเกมหลายเกมโดยใช้แนวคิดที่ว่าหมุดจะเปลี่ยนแปลงเส้นทางของลูกบอลหรือวัตถุอื่นๆ:

มีข้อเสนอแนะว่าบาแกเทลเป็นแรงบันดาลใจให้กับอุปกรณ์ของกัลตัน^{[ 13 ]}

ลิงก์ภายนอก

เว็บไซต์ข้อมูลของคณะกรรมการกัลตัน พร้อมลิงก์แหล่งข้อมูล
เซอร์ฟรานซิส สูง 8 ฟุต (2.4 เมตร): เครื่องจักรแห่งความน่าจะเป็น - จากความโกลาหลสู่ความเป็นระเบียบ - ความสุ่มในราคาหุ้นจาก Index Fund Advisors IFA.com
Quincunx และความสัมพันธ์กับการแจกแจงแบบปกติจาก Math Is Fun
การจำลองเครื่องคั่วเมล็ดกาแฟหลายขั้นตอน (JS)
รางลูกแก้วของปาสคาล: กระดานกัลตันแบบกำหนดได้
กระดาน Galton แบบลอการิทึมปกติ ( ภาพเคลื่อนไหว )
มิวสิกวิดีโอ โดย Carl McTague ที่มีกระดาน Galton เป็นส่วนประกอบหลัก

[ 1 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

5 ] เครื่องจักร

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]