ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ปัญหาของเบิร์นสไตน์มีดังนี้: ถ้ากราฟของฟังก์ชันบนR ^{n −1}เป็นพื้นผิวขั้นต่ำในR ⁿแล้ว นั่นหมายความว่าฟังก์ชันนั้นเป็นเชิงเส้นหรือไม่? นี่เป็นจริงสำหรับnไม่เกิน 8 แต่เป็นเท็จสำหรับnอย่างน้อย 9 ปัญหานี้ตั้งชื่อตามเซอร์เกย์ นาตาโนวิช เบิร์นสไตน์ผู้แก้ปัญหากรณี  n  = 3 ในปี 1914

สมมติว่าfเป็นฟังก์ชันของ ตัวแปรจริง n  − 1 ตัว กราฟของfเป็นพื้นผิวในR ⁿและเงื่อนไขที่ว่านี่คือพื้นผิวขั้นต่ำคือfต้องสอดคล้องกับสมการพื้นผิวขั้นต่ำ

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}{\sqrt {1+\sum _{j=1}^{n-1}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)^{2}}}}=0}$

ปัญหาของเบิร์นสไตน์ถามว่า ฟังก์ชัน ทั้งหมด (ฟังก์ชันที่กำหนดตลอดทั้งR ^{n −1} ) ที่แก้สมการนี้ จำเป็นต้องเป็นพหุนามดีกรี 1 หรือไม่

เบิร์นสไตน์ (ค.ศ. 1915–1917)พิสูจน์ทฤษฎีบทของเบิร์นสไตน์ที่ว่า กราฟของฟังก์ชันจริงบนR²ซึ่งเป็นพื้นผิวขั้นต่ำใน R³ ด้วย^จะต้อง^เป็นระนาบ

เฟลมมิง (1962)ได้เสนอการพิสูจน์ใหม่ของทฤษฎีบทของเบิร์นสไตน์โดยอนุมานจากข้อเท็จจริงที่ว่าไม่มีกรวยที่ไม่เป็นระนาบที่ลดพื้นที่ให้น้อยที่สุดใน R ³

De Giorgi (1965)แสดงให้เห็นว่าหากไม่มีกรวยที่ลดพื้นที่ลงโดยไม่เป็นระนาบในR ^{n −1}แล้วทฤษฎีบทของ Bernstein ที่คล้ายกันจะเป็นจริงสำหรับกราฟในR ⁿซึ่งโดยเฉพาะอย่างยิ่งหมายความว่าจะเป็นจริงใน R ⁴

Almgren (1966)แสดงให้เห็นว่าไม่มีกรวยลดขนาดที่ไม่เป็นระนาบในR ⁴ดังนั้นจึงขยายทฤษฎีบทของ Bernstein ไปยัง R ⁵

ไซมอนส์ (1968)แสดงให้เห็นว่าไม่มีกรวยลดขนาดที่ไม่เป็นระนาบในR ⁷ดังนั้นจึงขยายทฤษฎีบทของเบิร์นสไตน์ไปยังR ⁸เขายังแสดงให้เห็นว่าพื้นผิวที่กำหนดโดย

${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}}$

เป็นกรวย ที่มีเสถียรภาพในระดับท้องถิ่น ในR ⁸และถูกถามว่าเป็นกรวยที่ลดพื้นที่ลงในระดับสากลหรือไม่

Bombieri, De Giorgi & Giusti (1969)แสดงให้เห็นว่ากรวยของ Simons นั้นทำให้ค่าต่ำสุดทั่วโลกจริง ๆ และในR ⁿสำหรับn ≥9 มีกราฟที่เล็กที่สุด แต่ไม่ใช่ไฮเปอร์เพลน เมื่อรวมกับผลลัพธ์ของ Simons แล้ว สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทของ Bernstein นั้นเป็นจริงในR ⁿสำหรับn ≤8 และเป็นเท็จในมิติที่สูงกว่า

• ไซมอนส์ โคน

• บทความในสารานุกรมคณิตศาสตร์เกี่ยวกับทฤษฎีบทเบิร์นสไตน์