ในด้านอากาศพลศาสตร์ กฎของเบทซ์ ระบุถึง พลังงานสูงสุดที่สามารถดึงออกมาจากลมได้ โดยไม่ขึ้นอยู่กับการออกแบบกังหันลมในกระแสลมเปิด กฎนี้ได้รับการตีพิมพ์ในปี 1919 โดยนักฟิสิกส์ชาวเยอรมันอัลเบิร์ต เบทซ์ [ ^{1 ] [ 2 ] กฎ}นี้ได้มาจากหลักการอนุรักษ์มวลและโมเมนตัมของกระแสลมที่ไหลผ่าน " แผ่นดิสก์ ตัวกระตุ้น " ในอุดมคติที่ดึงพลังงานจากกระแสลม ตามกฎของเบทซ์ กังหันลมที่มีกลไกใดๆ ก็ไม่สามารถดักจับพลังงานจลน์ในลม ได้มากกว่า 16/27 (59.3%) ^{[ 2 ]} ปัจจัย 16/27 (0.593 ) เรียกว่าสัมประสิทธิ์ของเบทซ์หรือขีดจำกัดของเบทซ์^{[ 2 ]}กังหันลมขนาดใหญ่ที่ใช้ในทางปฏิบัติสามารถทำได้สูงสุด 75–80% ของขีดจำกัดของเบทซ์^{[ 3 ] [ 4 ]}

ขีดจำกัดของ Betz อิงตามแอคทูเอเตอร์แบบแผ่น ดิสก์เปิด หาก ใช้ ตัวกระจายเพื่อรวบรวมกระแสลมเพิ่มเติมและส่งผ่านกังหัน จะสามารถดึงพลังงานออกมาได้มากขึ้น แต่ขีดจำกัดยังคงใช้กับหน้าตัดของโครงสร้างทั้งหมด^{[ 5 ]}

กฎของเบทซ์ใช้ได้กับของไหลแบบนิวตัน ทั้งหมด รวมถึงลมด้วย หากพลังงานทั้งหมดที่ได้จากการเคลื่อนที่ของลมผ่านกังหันถูกนำไปใช้เป็นพลังงานที่มีประโยชน์ ความเร็วลมหลังจากนั้นจะลดลงเหลือศูนย์ หากลมหยุดเคลื่อนที่ที่ทางออกของกังหันแล้ว ก็จะไม่มีลมใหม่เข้ามาได้อีก เพราะจะถูกปิดกั้น เพื่อให้ลมยังคงเคลื่อนที่ผ่านกังหันได้ จะต้องมีการเคลื่อนที่ของลมบ้าง แม้เพียงเล็กน้อย ที่อีกด้านหนึ่ง โดยมีความเร็วลมมากกว่าศูนย์ กฎของเบทซ์แสดงให้เห็นว่า เมื่ออากาศไหลผ่านพื้นที่หนึ่ง และเมื่อความเร็วลมลดลงเนื่องจากการสูญเสียพลังงานไปกับการดึงพลังงานจากกังหัน การไหลของอากาศจะต้องกระจายไปยังพื้นที่ที่กว้างขึ้น ดังนั้น รูปทรงเรขาคณิตจึงจำกัดประสิทธิภาพสูงสุดของกังหันใดๆ

นักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษFrederick W. Lanchester ได้คำนวณค่าสูงสุดเดียวกันในปี 1915 Nikolay Zhukowskyผู้นำของโรงเรียนอากาศพลศาสตร์ของรัสเซียก็ได้ตีพิมพ์ผลลัพธ์เดียวกันสำหรับกังหันลมในอุดมคติในปี 1920 ^{[ 6 ]}ซึ่งเป็นปีเดียวกับ Betz ^{[ 7 ]}ดังนั้นจึงเป็นตัวอย่างของกฎของ Stiglerซึ่งระบุว่าไม่มีการค้นพบทางวิทยาศาสตร์ใดที่ตั้งชื่อตามผู้ค้นพบที่แท้จริง

ขีดจำกัดของ Betz คือพลังงานสูงสุดที่เป็นไปได้ที่สามารถสกัดได้จากโรเตอร์ที่บางมากจากของเหลวที่ไหลด้วยความเร็วที่กำหนด^{[ 8 ]}

เพื่อคำนวณประสิทธิภาพทางทฤษฎีสูงสุดของโรเตอร์บาง (เช่น ของกังหันลม ) เราต้องจินตนาการว่าโรเตอร์นั้นถูกแทนที่ด้วยแผ่นดิสก์ที่ดึงพลังงานออกจากของเหลวที่ไหลผ่าน ในระยะห่างจากแผ่นดิสก์นี้ ของเหลวที่ไหลผ่านแผ่นดิสก์จะมีความเร็วลดลงแต่ไม่เป็นศูนย์^{[ 8 ]}

กลับมาใช้สูตรเดิมในการแสดงกำลังโดยอิงจากพลังงานจลน์:

${\displaystyle {\begin{aligned}P&={\tfrac {1}{2}}{\dot {m}}(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})\\&={\tfrac {1}{2}}\rho Sv(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})\\&={\tfrac {1}{4}}\rho S(v_{1}+v_{2})(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})\\&={\tfrac {1}{4}}\rho Sv_{1}^{3}\left(1+\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)-\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)^{2}-\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)^{3}\right).\end{aligned}}}$

โดยการหาความแตกต่าง${\displaystyle P}$ในส่วนที่เกี่ยวกับ${\displaystyle {\tfrac {v_{2}}{v_{1}}}}$สำหรับความเร็วของไหลv ที่กำหนด และพื้นที่S ที่กำหนด เราจะหา ค่า สูงสุดหรือต่ำสุดของ${\displaystyle P}$ผลที่ได้คือ${\displaystyle P}$ถึงค่าสูงสุดเมื่อ${\displaystyle {\tfrac {v_{2}}{v_{1}}}={\tfrac {1}{3}}}$.

เมื่อแทนค่านี้ลงไปจะได้ผลลัพธ์ดังนี้

$${\displaystyle P_{\text{max}}={\tfrac {16}{27}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\rho Sv_{1}^{3}.}$$

กำลังที่ได้จากทรงกระบอกของของเหลวที่มีพื้นที่หน้าตัดSและความเร็วv คือ

$${\displaystyle P=C_{\text{P}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\rho Sv_{1}^{3}.}$$

กำลังอ้างอิงสำหรับการคำนวณประสิทธิภาพของ Betz คือกำลังในของเหลวที่เคลื่อนที่ในทรงกระบอกที่มีพื้นที่หน้าตัดSและความเร็วv :

$${\displaystyle P_{\text{wind}}={\tfrac {1}{2}}\rho Sv_{1}^{3}.}$$

สัมประสิทธิ์กำลัง^{[ 13 ]} C (= P / P ) คืออัตราส่วนที่ไม่มีมิติของกำลังที่สกัดได้Pต่อกำลังจลน์P ที่มีอยู่ในกระแสที่ยังไม่ได้กระจาย มีค่าสูงสุดC = 16/27 = 0.593 (หรือ 59.3%; อย่างไรก็ตาม สัมประสิทธิ์ประสิทธิภาพมักจะแสดงเป็นทศนิยม ไม่ใช่เปอร์เซ็นต์) นิพจน์ที่ได้คือ:  

$${\displaystyle C_{P}\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(1+\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)-\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)^{2}-\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)^{3}\right)}$$

กังหันลมขนาดใหญ่สมัยใหม่มีค่าสูงสุดของC อยู่ในช่วง 0.45 ถึง 0.50 ^{[ 3 ]}ประมาณ 75–85% ของค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ตามทฤษฎี ในความเร็วลมสูง ซึ่งกังหันทำงานที่กำลังพิกัด กังหันจะหมุน (ปรับมุม) ใบพัดเพื่อลดC เพื่อป้องกันความเสียหาย กำลังในลมเพิ่มขึ้น 8 เท่าจาก 12.5 เป็น 25 เมตร/วินาที ดังนั้นC ต้องลดลงตามไปด้วย จนต่ำสุดที่ 0.06 สำหรับลมที่ความเร็ว 25 เมตร/วินาที  

อัตราส่วนความเร็ว${\displaystyle {\tfrac {v_{2}}{v_{1}}}={\tfrac {1}{3}}}$ระหว่างลมที่พัดออกและลมที่พัดเข้า หมายความว่าอากาศที่พัดออกมีเพียง${\displaystyle ({\tfrac {1}{3}})^{2}={\tfrac {1}{9}}}$พลังงานจลน์ของอากาศที่เข้ามา และสิ่งนั้น${\displaystyle {\tfrac {8}{9}}}$พลังงานจากอากาศที่เข้ามาถูกดึงออกไป นี่เป็นการคำนวณที่ถูกต้อง แต่เป็นการพิจารณาเฉพาะอากาศที่เข้ามาซึ่งไหลผ่านใบพัดเท่านั้น

ขั้นตอนสุดท้ายในการคำนวณประสิทธิภาพของ Betz (Cp คือการหารกำลังที่คำนวณได้ซึ่งดึงออกมาจากการไหลด้วยกำลังอ้างอิง โดยการวิเคราะห์ของ Betz จะใช้กำลังของอากาศต้นน้ำที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วV1ผ่านพื้นที่หน้าตัดSของโรเตอร์เป็นกำลังอ้างอิง${\displaystyle A_{1}={\tfrac {2}{3}}S}$ที่ขีดจำกัดของ Betz โรเตอร์จะดึงออกมา${\displaystyle {\tfrac {8}{9}}}$ของ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$, หรือ${\displaystyle {\tfrac {16}{27}},}$ของพลังงานจลน์ขาเข้า

เนื่องจากพื้นที่หน้าตัดของลมที่ไหลผ่านใบพัดมีการเปลี่ยนแปลง จึงต้องมีการไหลของอากาศในทิศทางตั้งฉากกับแกนของใบพัด พลังงานจลน์ใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับการไหลในแนวรัศมีนี้ไม่มีผลต่อการคำนวณ เพราะการคำนวณพิจารณาเฉพาะสถานะเริ่มต้นและสถานะสุดท้ายของอากาศในระบบเท่านั้น

แม้ว่ามักจะถูกยกย่อง (เช่น^{[ 14 ] [ 15 ]} ) ว่าเป็นขีดจำกัดสูงสุดที่แน่นอนของการสกัดพลังงานโดยกังหันลมใดๆ ก็ตาม แต่มันไม่ใช่ แม้ว่าชื่อบทความของเขาจะทำให้เข้าใจผิด^{[ 16 ]} Betz (หรือ Lanchester) ไม่เคยอ้างอย่างไม่มีเงื่อนไข เช่นนั้น ^{[ 1 ]}ที่น่าสังเกตคือ กังหันลมที่ทำงานที่ประสิทธิภาพสูงสุดของ Betz จะมีกระแสลมที่มีความเร็วไม่เป็นศูนย์^{[ 3 ] [ 1 ]}แผ่นดิสก์แอคทูเอเตอร์ใดๆ ที่วางอยู่ด้านล่างของแผ่นแรกจะสกัดพลังงานเพิ่มเติม ดังนั้นคอมเพล็กซ์แอคทูเอเตอร์คู่ที่รวมกันจึงเกินขีดจำกัดของ Betz ^{[ 17 ] [ 18 ]}แผ่นดิสก์แอคทูเอเตอร์แผ่นที่สองอาจอยู่ในเขตลมไกล (เส้นกระแสขนาน) แต่ไม่จำเป็นต้องอยู่ในเขตนั้นเพื่อให้การพิจารณานี้เป็นจริง

สาเหตุของข้อยกเว้นที่น่าประหลาดใจนี้ต่อกฎที่อิงเฉพาะกฎการอนุรักษ์พลังงานและฟลักซ์นั้นซ่อนอยู่ในการสมมติฐานที่ดูเหมือนเรียบง่ายเกี่ยวกับการสม่ำเสมอตามแนวขวางของโปรไฟล์ลมตามแนวแกนภายในเส้นกระแส ตัวอย่างเช่น กังหันลมแบบแอคทูเอเตอร์คู่ที่กล่าวถึงข้างต้น มีโปรไฟล์ลมตามแนวขวางที่อยู่ด้านท้ายน้ำซึ่งมีความเร็วที่แตกต่างกันสองค่า ดังนั้นจึงไม่ถูกจำกัดด้วยข้อจำกัดของแผ่นแอคทูเอเตอร์เดี่ยว

ในทางคณิตศาสตร์ การคำนวณสำหรับแผ่นดิสก์แอคทูเอเตอร์เดี่ยวจะฝังสมมติฐานโดยปริยายว่าลมจะไม่เปลี่ยนความเร็วเมื่อผ่านแอคทูเอเตอร์ที่ "บางมาก"ในทางตรงกันข้าม ในระบบไฮบริดแอคทูเอเตอร์คู่ ลมจะเปลี่ยนความเร็วเมื่อผ่าน ทำให้ขั้นตอนสำคัญของการคำนวณที่ต้องการความเร็วคงที่นั้นไม่ถูกต้อง แอคทูเอเตอร์เดี่ยวที่บางมากไม่สามารถเปลี่ยนความเร็วได้ เพราะมิฉะนั้นจะไม่สามารถอนุรักษ์ฟลักซ์ได้ แต่ในระบบไฮบริดคู่ ฟลักซ์สามารถถูกระบายออก (นอกหน้าตัด) ระหว่างแอคทูเอเตอร์ ทำให้ความเร็วทางออกสุดท้ายแตกต่างจากความเร็วทางเข้า^{[ 17 ] [ 18 ]}

ขอบเขตบนสากลสำหรับเครื่องเก็บเกี่ยวพลังงานลมที่ขยายสูตรกฎของ Betz ไปสู่ความเร็วแกนแปรผันพบว่าสามารถเก็บเกี่ยวพลังงานลมได้ 2/3 ของพลังงานลมที่รองรับ^{[ 19 ]}ได้มีการวิเคราะห์กังหันลมแบบหลายแกนร่วมทางกายภาพ^{[ 14 ]}แม้ว่าในทางปฏิบัติจะไม่เกินขีดจำกัดของ Betz แต่ก็อาจเป็นเพราะว่าโรเตอร์ไม่เพียงแต่มีการสูญเสีย แต่ยังต้องปฏิบัติตามโมเมนตัมเชิงมุม^{[ 20 ]}และทฤษฎีโมเมนตัมขององค์ประกอบใบพัด ซึ่ง จำกัดประสิทธิภาพไว้ต่ำกว่าขีดจำกัดของ Betz ^{[ 11 ]}

กังหันลมส่วนใหญ่ที่ใช้งานจริงนั้นมีรูปทรงตามหลักอากาศพลศาสตร์ที่ "บาง" ทำให้เป็นไปตามสมมติฐานของกฎของเบทซ์ ในระดับที่กังหันลมทั่วไปเป็นไปตามสมมติฐานในกฎของเบทซ์ ขีดจำกัดของเบทซ์จะกำหนดขอบเขตบนโดยประมาณของพลังงานที่สามารถสกัดได้ต่อปี ณ สถานที่นั้น แม้ว่าลมจะพัดอย่างต่อเนื่องตลอดทั้งปี กังหันลมใดๆ ที่ประมาณค่าได้ดีด้วยแบบจำลองจานแอคทูเอเตอร์ก็สามารถสกัดพลังงานได้ไม่เกินขีดจำกัดของเบทซ์ของพลังงานที่มีอยู่ในลมของปีนั้น

โดยพื้นฐานแล้ว การเพิ่มประสิทธิภาพทางเศรษฐกิจของระบบเกิดจากการเพิ่มผลผลิตต่อหน่วย ซึ่งวัดต่อตารางเมตรของพื้นที่ที่ใบพัดรับลมสัมผัส การเพิ่มประสิทธิภาพของระบบเป็นสิ่งจำเป็นเพื่อลดต้นทุนการผลิตพลังงานไฟฟ้า การเพิ่มประสิทธิภาพอาจเป็นผลมาจากการออกแบบทางวิศวกรรมของอุปกรณ์ดักจับลม เช่น การกำหนดค่าและพลวัตของกังหันลม ซึ่งอาจเพิ่มการผลิตพลังงานจากระบบเหล่านี้ภายในขีดจำกัดของ Betz การเพิ่มประสิทธิภาพของระบบในการใช้งาน การส่ง หรือการจัดเก็บพลังงาน อาจส่งผลให้ต้นทุนพลังงานต่อหน่วยลดลงได้เช่นกัน

ข้อสมมติฐานของการคำนวณของ Betz ^{[ 21 ]}กำหนดข้อจำกัดทางกายภาพบางประการเกี่ยวกับลักษณะของกังหันลมที่ใช้ (เช่น ความเร็วขาเข้า/ขาออกที่เหมือนกัน) แต่เหนือกว่าข้อสมมติฐานเหล่านั้น ขีดจำกัดของ Betz ไม่ขึ้นอยู่กับกลไกภายในของระบบสกัดลม ดังนั้นSอาจมีรูปแบบใดก็ได้ ตราบใดที่การไหลเคลื่อนที่จากทางเข้าสู่ปริมาตรควบคุมไปยังทางออก และปริมาตรควบคุมมีความเร็วขาเข้าและขาออกที่สม่ำเสมอ ผลกระทบภายนอกใดๆ สามารถลดประสิทธิภาพของระบบ (โดยปกติคือกังหันลม) ได้เท่านั้น เนื่องจากการวิเคราะห์นี้เป็นแบบจำลองในอุดมคติโดยไม่คำนึงถึงแรงเสียดทาน ผลกระทบที่ไม่เป็นอุดมคติใดๆ จะลดทอนพลังงานที่มีอยู่ในของเหลวขาเข้า ทำให้ประสิทธิภาพโดยรวมลดลง

ผู้ผลิตและนักประดิษฐ์บางรายอ้างว่าได้ก้าวข้ามขีดจำกัดโดยใช้หัวฉีดและอุปกรณ์เบี่ยงเบนลมอื่นๆ โดยมักจะบิดเบือนขีดจำกัดของ Betz และคำนวณเฉพาะพื้นที่ใบพัดเท่านั้น ไม่ได้คำนวณปริมาณอากาศทั้งหมดที่ป้อนเข้าไปซึ่งมีส่วนช่วยในการผลิตพลังงานลมจากระบบ

ขีดจำกัดของ Betz ไม่เกี่ยวข้องกับการคำนวณประสิทธิภาพของกังหันในแอปพลิเคชันเคลื่อนที่ เช่นยานพาหนะที่ใช้พลังงานลมเนื่องจากในทางทฤษฎีแล้ว ประสิทธิภาพอาจเข้าใกล้ 100% ลบด้วยการสูญเสียจากใบพัด หากการไหลของของเหลวผ่านแผ่นดิสก์ของกังหัน (หรือสิ่งที่เทียบเท่า) ถูกหน่วงเพียงเล็กน้อยจนมองไม่เห็น แต่เนื่องจากจะต้องใช้โครงสร้างขนาดใหญ่มาก อุปกรณ์ที่ใช้งานได้จริงจึงไม่ค่อยมีประสิทธิภาพเกิน 90% ปริมาณพลังงานที่สกัดได้จากการไหลของของเหลวที่ประสิทธิภาพของกังหันสูงนั้นน้อยกว่าขีดจำกัดของ Betz ซึ่งไม่ใช่ประสิทธิภาพประเภทเดียวกัน

ในปี พ.ศ. 2477 H. Glauertได้กำหนดสูตรสำหรับประสิทธิภาพของกังหัน โดยคำนึงถึงส่วนประกอบเชิงมุมของความเร็ว โดยใช้สมดุลพลังงานข้ามระนาบโรเตอร์^{[ 20 ]}เนื่องจากแบบจำลองของ Glauert ประสิทธิภาพจึงต่ำกว่าขีดจำกัดของ Betz และเข้าใกล้ขีดจำกัดนี้แบบเชิงเส้นกำกับเมื่ออัตราส่วนความเร็วปลายใบพัดเข้าสู่ค่าอนันต์

ในปี พ.ศ. 2544 Gorban , Gorlovและ Silantyev ได้นำเสนอแบบจำลองที่แก้ได้อย่างแม่นยำ (GGS) ซึ่งพิจารณาถึงการกระจายแรงดันที่ไม่สม่ำเสมอและการไหลแบบโค้งข้ามระนาบกังหัน (ปัญหาที่ไม่ได้รวมอยู่ในแนวทางของ Betz) ^{[ 11 ]}พวกเขาใช้และปรับเปลี่ยนแบบจำลองKirchhoff ^{[ 22 ]}ซึ่งอธิบายร่องรอยการไหลแบบปั่นป่วนด้านหลังแอคทูเอเตอร์ว่าเป็นการไหลแบบ "เสื่อมสภาพ" และใช้สมการออยเลอร์นอกพื้นที่เสื่อมสภาพ แบบจำลอง GGS ทำนายว่าประสิทธิภาพสูงสุดจะเกิดขึ้นเมื่อการไหลผ่านกังหันอยู่ที่ประมาณ 61% ของการไหลทั้งหมด ซึ่งคล้ายกับผลลัพธ์ของ Betz ที่2/3 สำหรับการไหลที่ส่งผลให้ประสิทธิภาพสูงสุด แต่ GGS ทำนายว่าประสิทธิภาพสูงสุดนั้นน้อยกว่ามาก: 30.1%

ในปี พ.ศ. 2551 การคำนวณความหนืดโดยอาศัยพลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณ (CFD) ถูกนำมาใช้ในการสร้างแบบจำลองกังหันลมและแสดงให้เห็นถึงความสอดคล้องที่น่าพอใจกับการทดลอง^{[ 23 ]}ประสิทธิภาพที่เหมาะสมที่คำนวณได้โดยทั่วไปจะอยู่ระหว่างขีดจำกัดของ Betz และโซลูชัน GGS

• Pierre Lecanu, Joel Breard, Dominique Mouazé. ขีดจำกัดของ Betz ที่นำไปใช้กับทฤษฎีของกังหันลมแกนตั้ง