ลูกบาศก์ภาร์กาวาที่มีจำนวนเต็มa , b , c , d , e , f , g , h อยู่ที่มุม ในทฤษฎีจำนวน ลูกบาศก์ภาร์กาวา (เรียกอีกอย่างว่าลูกบาศก์ของภาร์กาวา ) คือการจัดเรียงที่ประกอบด้วยจำนวนเต็มแปดจำนวน ที่วางไว้ที่มุมทั้งแปดของลูกบาศก์ [ 1 ] จุล ภาร์กาวา นักคณิตศาสตร์ ชาวแคนาดา-อเมริกัน ผู้ได้รับรางวัลฟิลด์ส เพื่อศึกษาหลักการประกอบของรูปแบบกำลังสองไบนารีและรูปแบบอื่นๆ ที่คล้ายกัน สำหรับแต่ละคู่ของหน้าตรงข้ามของลูกบาศก์ภาร์กาวา เราสามารถเชื่อมโยงรูปแบบกำลังสองไบนารี จำนวนเต็มได้ ทำให้ได้รูปแบบกำลังสองไบนารีสามรูปแบบที่สอดคล้องกับสามคู่ของหน้าตรงข้ามของลูกบาศก์ภาร์กาวา[ 2 ] รูปแบบกำลังสองทั้งสามนี้มีค่าดิสคริ มิแนนต์ เดียวกันและมันจุล ภาร์กาวาได้พิสูจน์ว่าการประกอบ ของพวกมัน ในความหมายของเกาส์ [ 3 ] องค์ประกอบเอกลักษณ์ ในกลุ่ม ที่เกี่ยวข้อง ของชั้นสมมูล ของรูปแบบกำลังสองไบนารีดั้งเดิม (การกำหนดองค์ประกอบของเกาส์นี้น่าจะเป็นผลงานของเดเดคินด์เป็นคนแรก) [ 4 ]
นิพจน์ในรูปแบบโดยที่a , b และc เป็นจำนวนเต็มคงที่ และx และy เป็นจำนวนเต็มที่เปลี่ยนแปลงได้ เรียกว่า รูปแบบกำลังสองไบนารีจำนวนเต็ม ตัวแยกแยะของรูปแบบนี้กำหนดโดย คิว ( x , y ) = เอ x 2 + ข x y + ค y 2 {\displaystyle Q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}}
ดี = ข 2 − 4 เอ ค . {\displaystyle D=b^{2}-4ac.} รูปแบบดังกล่าวเรียกว่ารูปแบบดั้งเดิม (primitive form) หากสัมประสิทธิ์a , b , c เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน มีสองรูปแบบ
คิว ( x , y ) = เอ x 2 + ข x y + ค y 2 , คิว ′ ( x , y ) = เอ ′ x 2 + ข ′ x y + ค ′ y 2 {\displaystyle Q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2},\quad Q^{\prime }(x,y)=a^{\prime }x^{2}+b^{\prime }xy+c^{\prime }y^{2}} กล่าวได้ว่าเทียบเท่ากันหากมีการแปลงเกิดขึ้น
x ↦ α x + เบต้า y , y ↦ γ x + δ y {\displaystyle x\mapsto \alpha x+\beta y,\quad y\mapsto \gamma x+\delta y} โดยมีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มที่สอดคล้องกับ ซึ่งแปลงเป็นความสัมพันธ์นี้เป็นความสัมพันธ์สมมูลในเซตของรูปแบบกำลังสองไบนารีจำนวนเต็ม และรักษาดิสคริมิแนนต์และความเป็นดั้งเดิมไว้ α δ − เบต้า γ = 1 {\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =1} คิว ( x , y ) {\displaystyle Q(x,y)} คิว ′ ( x , y ) {\displaystyle Q^{\prime }(x,y)}
ให้ และเป็นรูปแบบกำลังสองไบนารีดั้งเดิมสองรูปแบบที่มีดิสคริมิแนนต์เดียวกัน และให้ชั้นสมมูลที่สอดคล้องกันของรูปแบบเป็น และ ตามลำดับ สามารถหาจำนวนเต็มได้ เช่นนั้น คิว ( x , y ) {\displaystyle Q(x,y)} คิว ′ ( x , y ) {\displaystyle Q^{\prime }(x,y)} [ คิว ( x , y ) ] {\displaystyle [Q(x,y)]} [ คิว ′ ( x , y ) ] {\displaystyle [Q^{\prime }(x,y)]} พี , q , ร , ส , พี ′ , q ′ , ร ′ , ส ′ , เอ ′ ′ , ข ′ ′ , ค ′ ′ {\displaystyle p,q,r,s,p^{\prime },q^{\prime },r^{\prime },s^{\prime },a^{\prime \prime },b^{\prime \prime },c^{\prime \prime }}
X = พี x 1 x 2 + q x 1 y 2 + ร y 1 x 2 + ส y 1 y 2 {\displaystyle X=px_{1}x_{2}+qx_{1}y_{2}+ry_{1}x_{2}+sy_{1}y_{2}} วาย = พี ′ x 1 x 2 + q ′ x 1 y 2 + ร ′ y 1 x 2 + ส ′ y 1 y 2 {\displaystyle Y=p^{\prime }x_{1}x_{2}+q^{\prime }x_{1}y_{2}+r^{\prime }y_{1}x_{2}+s^{\prime }y_{1}y_{2}} คิว ′ ′ ( x , y ) = เอ ′ ′ x 2 + ข ′ ′ x y + ค ′ ′ y 2 {\displaystyle Q^{\prime \prime }(x,y)=a^{\prime \prime }x^{2}+b^{\prime \prime }xy+c^{\prime \prime }y^{2}} คิว ′ ′ ( X , วาย ) = คิว ( x 1 , y 1 ) คิว ′ ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle Q^{\prime \prime }(X,Y)=Q(x_{1},y_{1})Q^{\prime }(x_{2},y_{2})} คลาสนี้ ถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจงโดยคลาส [ Q ( x , y )] และ [ Q ′ ( x , y ) ] และเรียกว่าคลาสประกอบของคลาส และ[ 3 ] [ คิว ′ ′ ( x , y ) ] {\displaystyle [Q^{\prime \prime }(x,y)]} [ คิว ( x , y ) ] {\displaystyle [Q(x,y)]} [ คิว ′ ( x , y ) ] {\displaystyle [Q^{\prime }(x,y)]}
[ คิว ′ ′ ( x , y ) ] = [ คิว ( x , y ) ] * [ คิว ′ ( x , y ) ] {\displaystyle [Q^{\prime \prime }(x,y)]=[Q(x,y)]\ast [Q^{\prime }(x,y)]} เซตของชั้นสมมูลของรูปแบบกำลังสองไบนารีดั้งเดิมที่มีดิสครีมิแนนต์D ที่กำหนดให้ เป็นกลุ่มภายใต้กฎการประกอบที่อธิบายไว้ข้างต้น สมาชิกเอกลักษณ์ของกลุ่มคือชั้นที่กำหนดโดยรูปแบบต่อไปนี้:
คิว ฉัน ง ( ดี ) ( x , y ) = { x 2 − ดี 4 y 2 ดี ≡ 0 ( ม็อด 4 ) x 2 + x y + 1 − ดี 4 y 2 ดี ≡ 1 ( ม็อด 4 ) {\displaystyle Q_{Id}^{(D)}(x,y)={\begin{cases}x^{2}-{\frac {D}{4}}y^{2}&D\equiv 0{\pmod {4}}\\x^{2}+xy+{\frac {1-D}{4}}y^{2}&D\equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}} ส่วนกลับของคลาสคือ คลาส[ เอ x 2 + ชม. x y + ข y 2 ] {\displaystyle [ax^{2}+hxy+by^{2}]} [ เอ x 2 − ชม. x y + ข y 2 ] {\displaystyle [ax^{2}-hxy+by^{2}]}
ให้ ( M , N ) เป็นคู่ของเมทริกซ์ 2 × 2 ที่เกี่ยวข้องกับด้านตรงข้ามคู่หนึ่งของลูกบาศก์ภาร์กาวา โดยเมทริกซ์เหล่านี้ถูกสร้างขึ้นในลักษณะที่แถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์สอดคล้องกับขอบของหน้าแต่ละด้านที่สอดคล้องกัน รูปแบบกำลังสองไบนารีจำนวนเต็มที่เกี่ยวข้องกับหน้าคู่นี้ถูกกำหนดดังนี้
คิว = − เดท ( เอ็ม x + เอ็น y ) {\displaystyle Q=-\det(Mx+Ny)} รูปแบบกำลังสองยังถูกนิยามว่า
คิว = − เดท ( เอ็ม x − เอ็น y ) {\displaystyle Q=-\det(Mx-Ny)} อย่างไรก็ตาม ในส่วนต่อไปนี้จะถือว่าใช้ความหมายแบบแรกเป็นหลัก
ให้ลูกบาศก์ประกอบด้วยจำนวนเต็มa , b , c , d , e , f , g , h คู่ของเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องกับขอบตรงข้ามจะถูกแทนด้วย ( M1 N1 ) , ( M2, N2) และ (M3, N3) แถวแรกของ M1, M2 และ M3 คือ [ , ac ] [ ae ] ลำดับ ขอบข้ามบน หน้าเดียวกัน คือ แถวสอง สอดคล้อง กันบนหน้าตรงข้าม จะ ประกอบเป็นแถวของเมทริกซ์ N1 , N2 N3 ( รูป )
ลูกบาศก์ภาร์กาวาแสดงหน้าตรงข้ามคู่หนึ่ง คือM และN ลูกบาศก์ภาร์กาวาแสดงหน้าตรงข้ามคู่หนึ่ง คือM และN ลูกบาศก์ภาร์กาวาแสดงหน้าตรงข้ามคู่หนึ่ง คือM และN
รูปแบบกำลังสองที่เกี่ยวข้องกับหน้าต่างๆ ที่กำหนดโดยเมทริกซ์ (ดูรูป) คือ เอ็ม 1 = [ เอ ข ค ง ] , เอ็น 1 = [ อี เอฟ จี ชม. ] {\displaystyle M_{1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}},N_{1}={\begin{bmatrix}e&f\\g&h\end{bmatrix}}}
คิว 1 = − เดท ( เอ็ม 1 x + เอ็น 1 y ) = − ( เดท ( เอ็ม 1 ) x 2 + ( เอ ชม. + อี ง − ข จี − เอฟ ค ) x y + เดท ( เอ็น 1 ) y 2 ) {\displaystyle Q_{1}=-\det(M_{1}x+N_{1}y)=-(\det(M_{1})x^{2}+(ah+ed-bg-fc)xy+\det(N_{1})y^{2})} ค่าดิสครีมิแนนต์ของฟอร์มกำลังสองQ คือ
ดี 1 = ( เอ ชม. + อี ง − ข จี − เอฟ ค ) 2 − 4 เดท ( เอ็ม 1 ) เดท ( เอ็น 1 ) . {\displaystyle D_{1}=(ah+ed-bg-fc)^{2}-4\det(M_{1})\det(N_{1})}
รูปแบบกำลังสองที่เกี่ยวข้องกับหน้าต่างๆ ที่กำหนดโดยเมทริกซ์ (ดูรูป) คือ เอ็ม 2 = [ เอ ค อี จี ] , เอ็น 2 = [ ข ง เอฟ ชม. ] {\displaystyle M_{2}={\begin{bmatrix}a&c\\e&g\end{bmatrix}},N_{2}={\begin{bmatrix}b&d\\f&h\end{bmatrix}}}
คิว 2 = − เดท ( เอ็ม 2 x + เอ็น 2 y ) = − ( เดท ( เอ็ม 2 ) x 2 + ( เอ ชม. + ข จี − เอฟ ค − อี ง ) x y + เดท ( เอ็น 2 ) y 2 ) {\displaystyle Q_{2}=-\det(M_{2}x+N_{2}y)=-(\det(M_{2})x^{2}+(ah+bg-fc-ed)xy+\det(N_{2})y^{2})} ค่าดิสครีมิแนนต์ของฟอร์มกำลังสอง Q คือ
ดี 2 = ( เอ ชม. + ข จี − เอฟ ค − อี ง ) 2 − 4 เดท ( เอ็ม 2 ) เดท ( เอ็น 2 ) . {\displaystyle D_{2}=(ah+bg-fc-ed)^{2}-4\det(M_{2})\det(N_{2}).}
รูปแบบกำลังสองที่เกี่ยวข้องกับหน้าต่างๆ ที่กำหนดโดยเมทริกซ์ (ดูรูป) คือ เอ็ม 3 = [ เอ อี ข เอฟ ] , เอ็น 3 = [ ค จี ง ชม. ] {\displaystyle M_{3}={\begin{bmatrix}a&e\\b&f\end{bmatrix}},N_{3}={\begin{bmatrix}c&g\\d&h\end{bmatrix}}}
คิว 3 = − เดท ( เอ็ม 3 x + เอ็น 3 y ) = − ( เดท ( เอ็ม 3 ) x 2 + ( เอ ชม. + เอฟ ค − อี ง − ข จี ) x y + เดท ( เอ็น 3 ) y 2 ) {\displaystyle Q_{3}=-\det(M_{3}x+N_{3}y)=-(\det(M_{3})x^{2}+(ah+fc-ed-bg)xy+\det(N_{3})y^{2})} ค่าดิสครีมิแนนต์ของฟอร์มกำลังสอง Q คือ
ดี 3 = ( เอ ชม. + เอฟ ค − อี ง − ข จี ) 2 − 4 เดท ( เอ็ม 3 ) เดท ( เอ็น 3 ) . {\displaystyle D_{3}=(ah+fc-ed-bg)^{2}-4\det(M_{3})\det(N_{3}).}
การค้นพบอันน่าประหลาดใจของ Manjul Bhargava สามารถสรุปได้ดังนี้: [ 2 ]
ถ้าลูกบาศก์ A ก่อให้เกิดรูปแบบกำลังสองไบนารีดั้งเดิมสามรูปแบบQ , Q , Q แล้วQ , Q , Q จะมีดิสคริมิแนนต์เดียวกัน และผลคูณของรูปแบบทั้งสามนี้จะเป็นเอกลักษณ์ในกลุ่มที่กำหนดโดยการประกอบแบบเกาส์ ในทางกลับกัน ถ้าQ , Q , Q เป็นรูปแบบกำลังสองไบนารีดั้งเดิมสามรูปแบบใดๆ ที่มีดิสคริมิแนนต์เดียวกันและผลคูณเป็นเอกลักษณ์ภายใต้การประกอบแบบเกาส์แล้ว จะมีลูกบาศก์ A ที่ให้ผลลัพธ์เป็นQ , Q , Q
ตัวอย่าง ตัวอย่างของลูกบาศก์ภาร์กาวา รูปแบบกำลังสองทั้งสามรูปแบบที่เกี่ยวข้องกับลูกบาศก์ภาร์กาวาเชิงตัวเลขที่แสดงในรูปนั้น คำนวณได้ดังนี้
คิว 1 ( x , y ) = − เดท ( เอ็ม 1 x + เอ็น 1 y ) = − เดท ( [ 1 0 0 − 2 ] x + [ 0 3 4 5 ] y ) = − | x 3 y 4 y − 2 x + 5 y | = 2 x 2 − 5 x y + 12 y 2 คิว 2 ( x , y ) = − เดท ( เอ็ม 2 x + เอ็น 2 y ) = − เดท ( [ 1 0 0 4 ] x + [ 0 3 − 2 5 ] y ) = − | x 3 y − 2 y 4 x + 5 y | = − 4 x 2 − 5 x y − 6 y 2 คิว 3 ( x , y ) = − เดท ( เอ็ม 3 x + เอ็น 3 y ) = − เดท ( [ 1 0 0 3 ] x + [ 0 4 − 2 5 ] y ) = − | x 4 y − 2 y 3 x + 5 y | = − 3 x 2 − 5 x y − 8 y 2 {\displaystyle {\begin{aligned}Q_{1}(x,y)=-\det(M_{1}x+N_{1}y)&=-\det \left({\begin{bmatrix}1&0\\0&-2\end{bmatrix}}x+{\begin{bmatrix}0&3\\4&5\end{bmatrix}}y\right)\\&=-{\begin{vmatrix}x&3y\\4y&-2x+5y\end{vmatrix}}=2x^{2}-5xy+12y^{2}\\\\Q_{2}(x,y)=-\det(M_{2}x+N_{2}y)&=-\det \left({\begin{bmatrix}1&0\\0&4\end{bmatrix}}x+{\begin{bmatrix}0&3\\-2&5\end{bmatrix}}y\right)\\&=-{\begin{vmatrix}x&3y\\-2y&4x+5y\end{vmatrix}}=-4x^{2}-5xy-6y^{2}\\\\Q_{3}(x,y)=-\det(M_{3}x+N_{3}y)&=-\det \left({\begin{bmatrix}1&0\\0&3\end{bmatrix}}x+{\begin{bmatrix}0&4\\-2&5\end{bmatrix}}y\right)\\&=-{\begin{vmatrix}x&4y\\-2y&3x+5y\end{vmatrix}}=-3x^{2}-5xy-8y^{2}\\{}\end{aligned}}} องค์ประกอบ ดังกล่าว เป็นรูปแบบที่เกิดจากเหตุผลดังต่อไปนี้: [ Q 1 ( x , y ) ] ∗ [ Q 2 ( x , y ) ] {\displaystyle [Q_{1}(x,y)]\ast [Q_{2}(x,y)]} [ Q ( x , y ) ] {\displaystyle [Q(x,y)]} Q ( x , y ) = − 3 x 2 + 5 x y − 8 y 2 {\displaystyle Q(x,y)=-3x^{2}+5xy-8y^{2}}
X = − 2 x 1 x 2 + 4 y 1 x 2 + y 1 y 2 {\displaystyle X=-2x_{1}x_{2}+4y_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}} Y = x 1 x 2 + 3 y 1 y 2 {\displaystyle Y=x_{1}x_{2}+3y_{1}y_{2}} Q ( X , Y ) = Q 1 ( x 1 , y 1 ) Q 2 ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle Q(X,Y)=Q_{1}(x_{1},y_{1})Q_{2}(x_{2},y_{2})} นอกจากนี้ ยังเป็นองค์ประกอบเอกลักษณ์ในกลุ่มที่กำหนดโดยการประกอบแบบเกาส์ อีกด้วย[ Q 3 ( x , y ) ] − 1 = Q ( x , y ) {\displaystyle [Q_{3}(x,y)]^{-1}=Q(x,y)} [ Q 1 ( x , y ) ] ∗ [ Q 2 ( x , y ) ] ∗ [ Q 3 ( x , y ) ] {\displaystyle [Q_{1}(x,y)]\ast [Q_{2}(x,y)]\ast [Q_{3}(x,y)]}
องค์ประกอบของลูกบาศก์ ข้อเท็จจริงที่ว่าองค์ประกอบของรูปแบบกำลังสองไบนารีสามรูปแบบที่เกี่ยวข้องกับลูกบาศก์ภาร์กาวาเป็นองค์ประกอบเอกลักษณ์ในกลุ่มของรูปแบบดังกล่าวได้รับการใช้โดยมันจุลภาร์กาวาเพื่อกำหนดกฎการประกอบสำหรับลูกบาศก์เหล่านั้นเอง[ 2 ]
ลูกบาศก์ไบนารีจำนวนเต็มในรูปแบบสามารถแสดงได้ด้วยลูกบาศก์ Bhargava สมมาตรสามเท่าดังรูป กฎการประกอบลูกบาศก์สามารถใช้เพื่อกำหนดกฎการประกอบสำหรับรูปแบบลูกบาศก์ไบนารีได้[ 2 ] p x 3 + 3 q x 2 y + 3 r x y 2 + s y 3 {\displaystyle px^{3}+3qx^{2}y+3rxy^{2}+sy^{3}}
ลูกบาศก์ภาร์กาวาที่สอดคล้องกับรูปแบบลูกบาศก์ไบนารีp x 3 + 3 q x 2 y + 3 r x y 2 + s y 3 {\displaystyle px^{3}+3qx^{2}y+3rxy^{2}+sy^{3}}
คู่ของรูปแบบกำลังสองไบนารีสามารถแสดงได้ด้วยลูกบาศก์ Bhargava สมมาตรสองเท่าดังในรูป กฎการประกอบของลูกบาศก์จะถูกนำมาใช้เพื่อกำหนดกฎการประกอบบนคู่ของรูปแบบกำลังสองไบนารี[ 2 ] ( a x 2 + 2 b x y + c y 2 , d x 2 + 2 e x y + f y 2 ) {\displaystyle (ax^{2}+2bxy+cy^{2},dx^{2}+2exy+fy^{2})}
ลูกบาศก์ภาร์กาวาที่สอดคล้องกับคู่ของรูปแบบกำลังสองทวิภาค( a x 2 + 2 b x y + c y 2 , {\displaystyle (ax^{2}+2bxy+cy^{2},} d x 2 + 2 e x y + f y 2 ) {\displaystyle dx^{2}+2exy+fy^{2})}
ดูเพิ่มเติม 
![{\displaystyle [Q(x,y)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd4a216ac4f70b4dbb03d9e7123b707525417f9b)
![{\displaystyle [Q^{\prime }(x,y)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/923402e54da5e86fae48aacc29b7a53135526db0)
![{\displaystyle [Q^{\prime \prime }(x,y)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16760e16d5adcaaed9375364959c59515479c2ff)
![{\displaystyle [Q^{\prime \prime }(x,y)]=[Q(x,y)]\ast [Q^{\prime }(x,y)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f881cd2ff2db48ce105709bb7ba1dfb813e340f7)
![{\displaystyle [ax^{2}+hxy+by^{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b88564fadd16d0485da4c5f8fdf6547ba17e7b2a)
![{\displaystyle [ax^{2}-hxy+by^{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aded1ae6480c803d099b1a70c80e3c841545712)
![{\displaystyle [Q_{1}(x,y)]\ast [Q_{2}(x,y)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1056e5db81f5509b0d9042c454fd6fa47fab48b)
![{\displaystyle [Q_{3}(x,y)]^{-1}=Q(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d57c8e16a3a9520f1f2343c2abc315a5ace5299e)
![{\displaystyle [Q_{1}(x,y)]\ast [Q_{2}(x,y)]\ast [Q_{3}(x,y)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/992dd559da50b32b34d79c7d3dcf6c35e614b811)
