ส่วน โค้งสอง ส่วน (biarc)คือเส้นโค้งเรียบที่เกิดจากส่วนโค้งวงกลม สอง ส่วน^{[ 1 ]}เพื่อให้ส่วนโค้งสองส่วนเรียบ ( G ¹ต่อเนื่อง ) ส่วนโค้งทั้งสองควรมี เส้นสัมผัสเดียวกันณ จุดเชื่อมต่อที่พวกมันมาบรรจบกัน

ส่วนโค้งไบอาร์ค (Biarcs) นิยมใช้ในการสร้างแบบจำลองทางเรขาคณิตและกราฟิกคอมพิวเตอร์สามารถใช้ประมาณเส้นโค้งสปลายน์และเส้นโค้งระนาบ อื่นๆ ได้โดยวางจุดปลายด้านนอกทั้งสองของส่วนโค้งไบอาร์คไว้ตามแนวเส้นโค้งที่ต้องการประมาณ โดยมีเส้นสัมผัสที่ตรงกับเส้นโค้งนั้น แล้วเลือกจุดกึ่งกลางที่เหมาะสมกับเส้นโค้งมากที่สุด การเลือกจุดสามจุดและเส้นสัมผัสสองเส้นนี้จะกำหนดคู่ของส่วนโค้งวงกลมที่ไม่ซ้ำกัน และตำแหน่งของจุดกึ่งกลางที่ส่วนโค้งทั้งสองนี้ก่อให้เกิดส่วนโค้งไบอาร์คก็คือส่วนโค้งวงกลมเช่นกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในการประมาณเส้นโค้งเบซิเยร์ (Bézier curve ) ด้วยวิธีนี้ จุดกึ่งกลางของส่วนโค้งไบอาร์คควรเลือกเป็นจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมที่เกิดจากจุดปลายทั้งสองของเส้นโค้งเบซิเยร์และจุดที่เส้นสัมผัสทั้งสองมาบรรจบกัน โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถประมาณเส้นโค้งได้ด้วยลำดับของส่วนโค้งไบอาร์คที่เรียบเนียน การใช้ส่วนโค้งไบอาร์คคมากขึ้นในลำดับโดยทั่วไปจะทำให้การประมาณค่าใกล้เคียงกับเส้นโค้งเดิมมากขึ้น

1. ในตัวอย่างด้านล่าง ส่วนโค้งสองส่วน (biarcs) ถูกรองรับโดยคอร์ดและคือจุดเชื่อมต่อ เวกเตอร์สัมผัสที่จุดเริ่มต้นคือและคือเวกเตอร์สัมผัสที่จุดสิ้นสุด${\displaystyle A(J)B}$${\displaystyle AB,}$${\displaystyle J}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {n} (\alpha )}$${\displaystyle \mathbf {n} (\เบต้า )}$${\displaystyle B:}$

   $${\displaystyle \mathbf {n} (\alpha )=\left\|\cos \alpha ,\,\sin \alpha \right\|^{T},\quad \mathbf {n} (\beta )=\left\|\cos \beta ,\,\sin \beta \right\|^{T}.}$$

   1

2. รูปที่ 2 แสดงตัวอย่าง 6 ตัวอย่างของเส้นโค้งไบอาร์ค${\displaystyle AJB.}$
   • Biarc 1 ถูกวาดร่วมกับBiarcs 2-6${\displaystyle \alpha =100^{\circ },\;\beta =30^{\circ }.}$${\displaystyle \alpha =100^{\circ },\;\beta =-30^{\circ }.}$
   • ในตัวอย่างที่ 1, 2, 6 ความโค้งเปลี่ยนเครื่องหมาย และจุดเชื่อมต่อก็คือจุดเปลี่ยนความโค้งเช่นกัน ส่วนโค้งที่ 3 ประกอบด้วยส่วนของเส้นตรง${\displaystyle J}$${\displaystyle JB}$
   • ส่วน โค้งไบอาร์ค 1–4 นั้นสั้นในแง่ที่ว่ามันไม่หักเลี้ยวใกล้จุดปลาย ในทางกลับกัน ส่วนโค้งไบอาร์ค 5,6 นั้นยาวกล่าวคือ การหักเลี้ยวใกล้จุดปลายจุดใดจุดหนึ่งหมายความว่ามันตัดกับส่วนเติมเต็มด้านซ้ายหรือด้านขวาของคอร์ดของเส้นตรงอนันต์
   • ส่วนโค้งคู่ที่ 2–6 มีเส้นสัมผัสปลายร่วมกัน สามารถพบได้ในส่วนล่างของรูปที่ 3 ในกลุ่มของส่วนโค้งคู่ที่มีเส้นสัมผัสร่วมกัน
3. รูปที่ 3 แสดงตัวอย่างสองตัวอย่างของตระกูลส่วนโค้งคู่ ซึ่งมีจุดปลายและเส้นสัมผัสปลายร่วมกัน
4. รูปที่ 4 แสดงตัวอย่างสองตัวอย่างของกลุ่มเส้นโค้งไบอาร์ค ซึ่งมีจุดปลายและเส้นสัมผัสปลายร่วมกัน โดยเส้นสัมผัสปลายทั้งสองขนานกัน:${\displaystyle \alpha =\beta .}$
5. รูปที่ 5 แสดงให้เห็นถึงตระกูลเฉพาะที่มีอย่างใดอย่างหนึ่ง${\displaystyle |\alpha |=\pi }$${\displaystyle |\beta |=\pi .}$

สีต่างๆ ในรูปที่ 3, 4, 5 จะถูกอธิบายต่อไปนี้ในฐานะกลุ่มย่อย , , โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับเส้นโค้งสองเส้นที่แสดงด้วยสีน้ำตาลบนพื้นหลังแรเงา ( คล้ายเลนส์ หรือคล้าย พระจันทร์เสี้ยว ) จะเป็นไปตามเงื่อนไขดังต่อไปนี้: ${\displaystyle \color {sienna}{\mathcal {B}}^{\,+}}$${\displaystyle \color {blue}{\mathcal {B}}_{1}^{\,-}}$${\displaystyle \color {green}{\mathcal {B}}_{2}^{\,-}}$

• การหมุนทั้งหมด (มุมการเลี้ยว) ของเส้นโค้งนั้นมีค่าเท่ากับ(ไม่ใช่ซึ่งเป็นการหมุนสำหรับส่วนโค้งคู่แบบอื่น)${\displaystyle \beta -\alpha }$${\displaystyle \beta -\alpha \pm 2\pi }$
• ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\alpha +\beta )=\operatorname {sgn}(k_{2}-k_{1})}$ผลรวมคือความกว้างเชิงมุมของเลนส์/ลูนที่ครอบคลุมไบอาร์ค โดยเครื่องหมายจะสอดคล้องกับความโค้งที่เพิ่มขึ้น (+1) หรือลดลง (−1) ของไบอาร์ค ตามทฤษฎีบทของโวกต์ แบบทั่วไป ( Теорема Фогта#Обобщение теоремы )${\displaystyle \อัลฟา +\เบต้า }$

กลุ่มของส่วนโค้งสองส่วนที่มีจุดปลายร่วมกัน, , และเส้นสัมผัสปลายร่วมกัน (1) จะถูกแสดงเป็นหรือโดยย่อ เป็นพารามิเตอร์ของกลุ่ม คุณสมบัติของส่วนโค้งสองส่วนจะอธิบายไว้ด้านล่างตามบทความ^{[ 2 ]}${\displaystyle A=(-c,0)}$${\displaystyle B=(c,0)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(p;\,\alpha ,\beta ,c),}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(p),}$${\displaystyle p}$

1. การสร้างส่วนโค้งคู่ (biarc) เป็นไปได้หาก

   $${\displaystyle -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi ,\quad -\pi \leqslant \beta \leqslant \pi ,\qquad 0<|\alpha +\beta |<2\pi .}$$

   2

2. ระบุ
   • ${\displaystyle k_{1}}$และ  ความโค้ง มุมเลี้ยว และความยาวของส่วนโค้ง:    ;${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle AJ}$${\displaystyle \theta _{1}=k_{1}L_{1}}$
   • ${\displaystyle k_{2}}$และเช่น  เดียวกันสำหรับส่วนโค้ง:    .${\displaystyle \theta _{2}}$${\displaystyle L_{2}}$${\displaystyle JB}$${\displaystyle \theta _{2}=k_{2}L_{2}}$
   จากนั้น (เนื่องจาก(2) ) มุมเลี้ยว: $${\displaystyle k_{1}(p)=-{\frac {1}{c}}\left(\sin \alpha +p^{-1}\sin \omega \right),\quad k_{2}(p)={\frac {1}{c}}\left(\sin \beta +p\sin \omega \right),\quad {\text{โดยที่}}\quad \omega ={\frac {\alpha +\beta }{2}}}$$${\displaystyle \sin \omega \not =0}$$${\displaystyle \theta _{1}(p)=2\arg \left(e^{-i\alpha }+p^{-1}{e^{-i\omega }}\right),\quad \theta _{2}(p)=2\arg \left(e^{i\beta }+p\,e^{i\omega }\right).}$$
3. ตำแหน่งของจุดเชื่อมต่อคือวงกลม (แสดงด้วยเส้นประในรูปที่ 3 และรูปที่ 5) วงกลมนี้ (หรือเส้นตรงถ้ารูปที่ 4) ผ่านจุดต่างๆที่เส้นสัมผัสอยู่ที่ส่วน  โค้งสองส่วนตัดกับวงกลมนี้ด้วยมุมคงที่  ${\displaystyle J}$$${\displaystyle X_{J}(p)={\frac {c(p^{2}-1)}{p^{2}+2p\cos \gamma +1}},\quad Y_{J}(p)={\frac {2cp\sin \gamma }{p^{2}+2p\cos \gamma +1}},\quad {\text{where}}\quad \gamma ={\frac {\alpha -\beta }{2}}}$$${\displaystyle \gamma =0}$${\displaystyle A,B,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {n} (\gamma ).}$${\displaystyle -\omega .}$
4. เวกเตอร์สัมผัสกับส่วนโค้งคู่ที่จุดเชื่อมต่อคือโดยที่ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p)}$${\displaystyle \mathbf {n} \left(\tau _{{}_{J}}\right)}$$${\displaystyle \tau _{\scriptscriptstyle J}(p)={-2}\arctan {\dfrac {p\sin {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}}{p\cos {\frac {\alpha }{2}}+\cos {\frac {\beta }{2}}}}.}$$
5. ส่วนโค้งสองส่วนที่มีจุดเชื่อมต่อบนแกน Y และให้ค่าความโค้งกระโดดน้อยที่สุดณจุดนั้น ${\displaystyle p=\pm 1}$${\displaystyle (X_{J}=0),}$${\displaystyle \min \left|k_{2}(p)-k_{1}(p)\right|,}$${\displaystyle J.}$
6. ส่วนโค้งไบอาร์คที่เสื่อมสภาพได้แก่:
   • Biarc : as , , arc vanishes.${\displaystyle {\mathcal {B}}(0)}$${\displaystyle p\to 0}$${\displaystyle J(p)\to A}$${\displaystyle AJ}$
   • Biarc : as , , arc vanishes.${\displaystyle {\mathcal {B}}(\infty )}$${\displaystyle p\to \pm \infty }$${\displaystyle J(p)\to B}$${\displaystyle JB}$
   • ส่วนโค้งสองมิติที่ไม่ต่อเนื่องประกอบด้วยเส้นตรงหรือและผ่านจุดอนันต์  :${\displaystyle {\mathcal {B}}(p^{\ast })}$${\displaystyle AP_{\infty }J}$${\displaystyle JP_{\infty }B,}$${\displaystyle P_{\infty }}$$${\displaystyle p^{\ast }={\begin{cases}-{\dfrac {\sin \omega }{\sin \alpha }},&{\text{if}}\;|\alpha |\geqslant |\beta |\quad (|\alpha |=\pi \;\Longrightarrow \;p^{\ast }=-\infty ),\\[1ex]-{\dfrac {\sin \beta }{\sin \omega }},&{\text{if}}\;|\alpha |\leqslant |\beta |\quad (|\beta |=\pi \;\Longrightarrow \;p^{\ast }=0).\end{cases}}}$$
   บริเวณที่มืดคล้ายเลนส์ในรูปที่ 3 และ 4 ถูกล้อมรอบด้วยส่วนโค้งสองอัน (biarcs) โดยครอบคลุมส่วน โค้งสองอันที่ไม่ต่อเนื่อง ซึ่งแสดงด้วยเส้นประสีแดง ${\displaystyle {\mathcal {B}}(0),\,{\mathcal {B}}(\infty ).}$${\displaystyle p>0.}$
7. ตระกูลทั้งหมดสามารถแบ่งย่อยออกเป็นสามตระกูลย่อยของไบอาร์คที่ไม่เสื่อมสภาพได้: ตระกูลย่อยจะหายไปหาก ตระกูลย่อยจะหายไปหาก ในรูปที่ 3, 4, 5 ไบอาร์คแสดงด้วยสีน้ำตาล ไบอาร์คด้วยสีน้ำเงิน และไบอาร์คด้วยสีเขียว ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p;\,\alpha ,\beta ,c)}$$${\displaystyle {\begin{array}{l}{\mathcal {B}}^{\,+}(p){:}\quad p\in (0;\infty );\\{\mathcal {B}}_{1}^{\,-}(p){:}\quad p\in (p^{\ast };0);\\{\mathcal {B}}_{2}^{\,-}(p){:}\quad p\in (-\infty ;p^{\ast });\\\left[{\mathcal {B}}^{\,-}(p)={\mathcal {B}}_{1}^{\,-}(p)\cup {\mathcal {B}}_{2}^{\,-}(p)\right].\end{array}}}$$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{1}^{\,-}}$${\displaystyle p^{\ast }=0}$   ${\displaystyle (|\beta |=\pi ).}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}^{\,-}}$${\displaystyle p^{\ast }=-\infty }$${\displaystyle (|\alpha |=\pi ).}$${\displaystyle \color {sienna}{\mathcal {B}}^{\,+}}$${\displaystyle \color {blue}{\mathcal {B}}_{1}^{\,-}}$${\displaystyle \color {green}{\mathcal {B}}_{2}^{\,-}}$

• การแทรกสอดแบบไบอาร์ค
• การแสดงภาพแบบโต้ตอบและรายการลิงก์