ในทางคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์รหัสGoppa แบบไบนารีเป็นรหัสแก้ไขข้อผิดพลาดที่อยู่ในกลุ่มรหัส Goppa ทั่วไปซึ่งเดิมทีได้รับการอธิบายโดยValerii Denisovich Goppaแต่โครงสร้างแบบไบนารีให้ข้อได้เปรียบทางคณิตศาสตร์หลายประการเหนือกว่ารูปแบบที่ไม่ใช่ไบนารี และยังเหมาะสมกับการใช้งานทั่วไปในคอมพิวเตอร์และการสื่อสารโทรคมนาคมมากกว่า รหัส Goppa แบบไบนารีมีคุณสมบัติที่น่าสนใจซึ่งเหมาะสำหรับการเข้ารหัสในระบบการเข้ารหัสแบบ McElieceและระบบที่คล้ายคลึงกัน

รหัส Goppa ไบนารีที่ไม่สามารถลดทอนได้ถูกกำหนดโดยพหุนามดีกรี n บนฟิลด์จำกัดที่ไม่มีรากซ้ำ และลำดับขององค์ประกอบที่แตกต่างกันจากฟิลด์นั้นซึ่งไม่ใช่รากของพหุนามดังกล่าว ${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle GF(2^{m})}$${\displaystyle L_{1},...,L_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle GF(2^{m})}$${\displaystyle g}$

รหัสคำเป็นส่วนหนึ่งของแกนหลักของฟังก์ชันซินโดรม โดยก่อตัวเป็นปริภูมิย่อยของ: ${\displaystyle \{0,1\}^{n}}$

${\displaystyle \Gamma (g,L)=\left\{c\in \{0,1\}^{n}\,{\Bigg \vert }\,\sum _{i=1}^{n}{\frac {c_{i}}{x-L_{i}}}\equiv 0{\bmod {g}}(x)\right\}}$

รหัสที่กำหนดโดยทูเพิลมีมิติอย่างน้อยและระยะทางอย่างน้อยดังนั้นจึงสามารถเข้ารหัสข้อความที่มีความยาวอย่างน้อยโดยใช้รหัสคำที่มีขนาดในขณะที่แก้ไขข้อผิดพลาดอย่างน้อย นอกจากนี้ยังมี เมทริกซ์ตรวจสอบความเท่าเทียมกันที่สะดวกในรูปแบบ ${\displaystyle (g,L)}$${\displaystyle n-mt}$${\displaystyle 2t+1}$${\displaystyle n-mt}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \left\lfloor {\frac {(2t+1)-1}{2}}\right\rfloor =t}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle H=VD={\begin{pmatrix}1&1&1&\cdots &1\\L_{1}^{1}&L_{2}^{1}&L_{3}^{1}&\cdots &L_{n}^{1}\\L_{1}^{2}&L_{2}^{2}&L_{3}^{2}&\cdots &L_{n}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\L_{1}^{t-1}&L_{2}^{t-1}&L_{3}^{t-1}&\cdots &L_{n}^{t-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{g(L_{1})}}&&&&\\&{\frac {1}{g(L_{2})}}&&&\\&&{\frac {1}{g(L_{3})}}&&\\&&&\ddots &\\&&&&{\frac {1}{g(L_{n})}}\end{pmatrix}}}$

โปรดทราบว่าเมทริกซ์ตรวจสอบความเท่าเทียมกันในรูปแบบนี้ ซึ่งประกอบด้วยเมทริกซ์แวนเดอร์มอนด์ และเมทริกซ์แนวทแยงมีรูปแบบเดียวกับเมทริกซ์ตรวจสอบของรหัสทางเลือกดังนั้นตัวถอดรหัสทางเลือกจึงสามารถใช้กับรูปแบบนี้ได้ ตัวถอดรหัสประเภทนี้มักมีความสามารถในการแก้ไขข้อผิดพลาดที่จำกัด (ในกรณีส่วนใหญ่) ${\displaystyle V}$${\displaystyle D}$${\displaystyle t/2}$

ในทางปฏิบัติ เมทริกซ์ตรวจสอบความเท่าเทียมกันของรหัส Goppa แบบไบนารีมักจะถูกแปลงเป็นรูปแบบไบนารีที่คอมพิวเตอร์เข้าใจได้ง่ายกว่าโดยใช้การสร้างร่องรอย (trace construction) ซึ่งแปลง เมทริกซ์ ขนาด x x ให้เป็นเมทริกซ์ไบนารีขนาด x x โดยการเขียนสัมประสิทธิ์พหุนามขององค์ประกอบในแถวที่ต่อเนื่องกัน ${\displaystyle t}$${\displaystyle n}$${\displaystyle GF(2^{m})}$${\displaystyle mt}$${\displaystyle n}$${\displaystyle GF(2^{m})}$${\displaystyle m}$

โดยทั่วไปแล้ว การถอดรหัสรหัสไบนารี Goppa จะทำโดยใช้อัลกอริทึม Patterson ซึ่งมีประสิทธิภาพในการแก้ไขข้อผิดพลาดที่ดี (แก้ไขข้อผิดพลาดในการออกแบบทั้งหมด) และยังค่อนข้างง่ายต่อการใช้งานอีกด้วย ${\displaystyle t}$

อัลกอริทึมของแพตเตอร์สันจะแปลงซินโดรมให้เป็นเวกเตอร์ของข้อผิดพลาด ซินโดรมของคำไบนารีคาดว่าจะอยู่ในรูปแบบดังนี้ ${\displaystyle c=(c_{1},\dots ,c_{n})}$

${\displaystyle s(x)\equiv \sum _{i=1}^{n}{\frac {c_{i}}{x-L_{i}}}\mod g(x)}$

สามารถใช้เมทริกซ์ตรวจสอบความเท่าเทียมกันในรูปแบบอื่นโดยอิงจากสูตรสำหรับ เพื่อสร้างอาการดังกล่าวได้ด้วย การคูณเมทริกซ์ อย่าง ง่าย ${\displaystyle s(x)}$

จากนั้นอัลกอริทึมจะคำนวณซึ่งจะล้มเหลวเมื่อแต่กรณีนั้นจะเกิดขึ้นเมื่อคำที่ป้อนเข้ามาเป็นรหัสคำ ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องมีการแก้ไขข้อผิดพลาด ${\displaystyle v(x)\equiv {\sqrt {s(x)^{-1}-x}}\mod g(x)}$${\displaystyle s(x)\equiv 0}$

${\displaystyle v(x)}$ลดรูปเป็นพหุนามและใช้อัลกอริทึมยุคลิดแบบขยายเพื่อให้ในขณะที่ และ${\displaystyle a(x)}$${\displaystyle b(x)}$${\displaystyle a(x)\equiv b(x)\cdot v(x)\mod g(x)}$${\displaystyle \deg(a)\leq \lfloor t/2\rfloor }$${\displaystyle \deg(b)\leq \lfloor (t-1)/2\rfloor }$

สุดท้ายนี้พหุนามระบุตำแหน่งข้อผิดพลาดจะถูกคำนวณดังนี้โปรดทราบว่าในกรณีไบนารี การระบุตำแหน่งข้อผิดพลาดก็เพียงพอที่จะแก้ไขได้ เนื่องจากมีค่าอื่นที่เป็นไปได้เพียงค่าเดียวเท่านั้น ในกรณีที่ไม่ใช่ไบนารี จะต้องคำนวณพหุนามแก้ไขข้อผิดพลาดแยกต่างหากด้วย ${\displaystyle \sigma (x)=a(x)^{2}+x\cdot b(x)^{2}}$

ถ้าคำรหัสเดิมสามารถถอดรหัสได้ และคือเวกเตอร์ข้อผิดพลาดไบนารีแล้ว ${\displaystyle e=(e_{1},\dots ,e_{n})}$

${\displaystyle \sigma (x)=\prod _{i=1}^{n}(x-L_{i})^{e_{i}}}$

การแยกตัวประกอบหรือการประเมินค่ารากทั้งหมดของสมการจึงให้ข้อมูลเพียงพอที่จะกู้คืนเวกเตอร์ข้อผิดพลาดและแก้ไขข้อผิดพลาดได้ ${\displaystyle \sigma (x)}$

รหัส Goppa แบบไบนารี ซึ่งถือเป็นกรณีพิเศษของรหัส Goppa มีคุณสมบัติที่น่าสนใจคือ สามารถแก้ไขข้อผิดพลาดได้ทั้งหมด ในขณะที่รหัสแบบไตรนารีและกรณีอื่นๆ สามารถแก้ไขข้อผิดพลาดได้เพียงบางส่วนเท่านั้น ในทางอนุกรมวิธาน ความสามารถในการแก้ไขข้อผิดพลาดนี้เป็นไปตามขอบเขตของ Gilbert–Varshamovที่ มีชื่อเสียง${\displaystyle \deg(g)}$${\displaystyle \deg(g)/2}$

เนื่องจากความสามารถในการแก้ไขข้อผิดพลาดที่สูงเมื่อเทียบกับอัตราการเข้ารหัสและรูปแบบของเมทริกซ์ตรวจสอบความเท่าเทียมกัน (ซึ่งโดยปกติแล้วแทบจะแยกไม่ออกจากเมทริกซ์ไบนารีแบบสุ่มที่มีอันดับเต็ม) รหัส Goppa แบบไบนารีจึงถูกนำไปใช้ในระบบการเข้ารหัสหลังควอนตัม หลายระบบ โดยเฉพาะอย่างยิ่งระบบการเข้ารหัส McElieceและระบบ การเข้ารหัส Niederreiter

• รหัส BCH
• อัตราโค้ด
• การแก้ไขข้อผิดพลาดของ Reed–Solomon