ในทางคณิตศาสตร์อินทิกรัลบอร์เวนเป็นอินทิกรัล ที่มีคุณสมบัติพิเศษซึ่งนักคณิตศาสตร์ David BorweinและJonathan Borweinเป็นผู้นำเสนอเป็นครั้งแรกในปี 2001 ^{[ 1 ]}อินทิกรัลบอร์เวนเกี่ยวข้องกับผลคูณของ${\displaystyle \operatorname {sinc} (ax)}$โดยที่ฟังก์ชัน sincกำหนดโดย${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)=\sin(x)/x}$สำหรับ${\displaystyle x}$ไม่เท่ากับ 0 และ${\displaystyle \operatorname {sinc} (0)=1}$[ ^{1 ] [ 2 ]​}

อินทิกรัลเหล่านี้มีความโดดเด่นตรงที่แสดงให้เห็นรูปแบบที่ชัดเจน แต่ในที่สุดก็จะแตกสลายไป ตัวอย่างต่อไปนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}$

รูปแบบนี้ยังคงดำเนินต่อไปจนถึง

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$

ในขั้นตอนถัดไป รูปแบบดังกล่าวเกิดความผิดพลาด

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&\approx 0.499999999992646859~\pi \\[5pt]&\approx {\frac {\pi }{2}}-2.31\times 10^{-11}.\end{aligned}}}$

โดยทั่วไป อินทิกรัลที่คล้ายกันจะมีค่าเท่ากับ ⁠π / 2⁠ เมื่อ ใดก็ตามที่ แทนที่ตัวเลข3, 5, 7… ด้วย จำนวนจริง บวกที่ผลรวมของส่วนกลับของจำนวนเหล่านั้นมี ค่าน้อยกว่า 1

ในตัวอย่างข้างต้น⁠ 1 / 3 ⁠ + ⁠ 1 / 5 ⁠ + … + ⁠ 1 / 13 ⁠ < 1แต่⁠ 1 / 3 ⁠ + ⁠ 1 / 5 ⁠ + … + ⁠ 1 / 15 ⁠ > 1

โดยการรวมปัจจัยเพิ่มเติมเข้าไปด้วย${\displaystyle 2\cos(x)}$รูปแบบดังกล่าวยังคงใช้ได้ผลดีในระยะยาว^{[ 3 ]}

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}\,dx={\frac {\pi }{2}},}$

แต่

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/111)}{x/111}}{\frac {\sin(x/113)}{x/113}}\,dx\approx {\frac {\pi }{2}}-2.3324\times 10^{-138}.}$

ในกรณีนี้1/3 + 1/5 + … + 1/111 < 2แต่1/3 + 1/5 + … + 1/113 > 2 คำ ตอบ ที่ ถูกต้องสามารถคำนวณได้ โดยใช้สูตรทั่วไป ที่ ให้ไว้ ในส่วนถัด ไป และแสดงไว้ด้านล่าง เมื่อ ขยาย ค่า นี้ อย่างสมบูรณ์จะได้เป็นเศษส่วนที่มีจำนวนเต็ม 2736 หลักสองจำนวน

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\left(1-{\frac {3\cdot 5\cdots 113\cdot (1/3+1/5+\dots +1/113-2)^{56}}{2^{55}\cdot 56!}}\right)}$

เหตุผลที่ชุดดั้งเดิมและชุดขยายล้มเหลวได้รับการอธิบายด้วยคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ที่เข้าใจง่าย^{[ 4 ​​] [ 5 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การปรับปรุง การเดินแบบสุ่มด้วยข้อโต้แย้งเชิงสาเหตุช่วยให้เข้าใจถึงการแตกของรูปแบบและเปิดทางให้กับการสรุปทั่วไปหลายประการ^{[ 6 ]}

กำหนดลำดับของจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\ldots }$สูตรทั่วไปสำหรับอินทิกรัล

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,dx}$

สามารถให้ได้^{[ 1 ]}ในการระบุสูตร จะต้องพิจารณาผลรวมที่เกี่ยวข้องกับ${\displaystyle a_{k}}$โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า${\displaystyle \gamma =(\gamma _{1},\gamma _{2},\ldots ,\gamma _{n})\in \{\pm 1\}^{n}}$เป็น${\displaystyle n}$- ทูเปิลที่แต่ละรายการคือ${\displaystyle \pm 1}$จากนั้นเราจึงเขียน${\displaystyle b_{\gamma }=a_{0}+\gamma _{1}a_{1}+\gamma _{2}a_{2}+\cdots +\gamma _{n}a_{n}}$ซึ่งเป็นผลรวมสลับกันของค่าแรกๆ ไม่กี่ค่า${\displaystyle a_{k}}$และเราได้ตั้ง${\displaystyle \varepsilon _{\gamma }=\gamma _{1}\gamma _{2}\cdots \gamma _{n}}$ซึ่งก็คืออย่างใดอย่างหนึ่ง${\displaystyle \pm 1}$ด้วยสัญลักษณ์นี้ ค่าของอินทิกรัลข้างต้นคือ

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,dx={\frac {\pi }{2a_{0}}}C_{n}}$

ที่ไหน

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{2^{n}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}\sum _{\gamma \in \{\pm 1\}^{n}}\varepsilon _{\gamma }b_{\gamma }^{n}\operatorname {sgn}(b_{\gamma })}$

ในกรณีที่${\displaystyle a_{0}>|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|}$เรามี${\displaystyle C_{n}=1}$.

นอกจากนี้ หากมี${\displaystyle n}$โดยที่สำหรับแต่ละ${\displaystyle k=0,\ldots ,n-1}$เรามี${\displaystyle 0<a_{n}<2a_{k}}$และ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}<a_{0}<a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}}$ซึ่งหมายความว่า${\displaystyle n}$คือค่าแรกเมื่อผลรวมย่อยของค่าแรก${\displaystyle n}$องค์ประกอบของลำดับเกินกว่า${\displaystyle a_{0}}$, แล้ว${\displaystyle C_{k}=1}$สำหรับแต่ละคน${\displaystyle k=0,\ldots ,n-1}$แต่

${\displaystyle C_{n}=1-{\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}-a_{0})^{n}}{2^{n-1}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}}$

ตัวอย่างแรกคือกรณีที่${\displaystyle a_{k}={\frac {1}{2k+1}}}$.

โปรดทราบว่าหาก${\displaystyle n=7}$แล้ว${\displaystyle a_{7}={\frac {1}{15}}}$และ${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\approx 0.955}$แต่${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{15}}\approx 1.02}$ดังนั้นเพราะ${\displaystyle a_{0}=1}$เราเข้าใจแล้ว

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}$

ซึ่งยังคงเป็นความจริงแม้ว่าเราจะนำผลิตภัณฑ์ใดๆ ออกไปก็ตาม แต่ว่า

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx\\[5pt]={}&{\frac {\pi }{2}}\left(1-{\frac {(3^{-1}+5^{-1}+7^{-1}+9^{-1}+11^{-1}+13^{-1}+15^{-1}-1)^{7}}{2^{6}\cdot 7!\cdot (1/3\cdot 1/5\cdot 1/7\cdot 1/9\cdot 1/11\cdot 1/13\cdot 1/15)}}\right),\end{aligned}}}$

ซึ่งเท่ากับค่าที่ระบุไว้ก่อนหน้านี้

มีการกล่าวถึงวิธีการอินทิเกรตที่แม่นยำซึ่งมีประสิทธิภาพสำหรับการประเมินอินทิกรัลแบบ Borwein ^{[ 7 ]}วิธีการอินทิเกรตนี้ทำงานโดยการปรับปรุงการอินทิเกรตใหม่ในแง่ของชุดของการอนุพันธ์ และให้สัญชาตญาณเกี่ยวกับพฤติกรรมที่ผิดปกติของอินทิกรัล Borwein วิธีการอินทิเกรตโดยการอนุพันธ์นั้นใช้ได้กับอินทิกรัลทั่วไป รวมถึงการแปลงฟูริเยร์และลาปลาส มันถูกใช้ในเอนจินการอินทิเกรตของ Maple ตั้งแต่ปี 2019 วิธีการอินทิเกรตโดยการอนุพันธ์นั้นเป็นอิสระจากวิธีการของ Feynman ซึ่งใช้การอนุพันธ์ในการอินทิเกรตเช่นกัน

ในขณะที่อินทิกรัล

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(x/(2k+1))}{x/(2k+1)}}\,dx\end{aligned}}}$

กลายเป็นน้อยกว่า${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$เมื่อไร${\displaystyle n}$เมื่อเกิน 6 มันจะไม่มีวันน้อยลงมากนัก และในความเป็นจริง Borwein และ Bailey ^{[ 8 ]}ได้แสดงให้เห็นแล้ว

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(x/(2k+1))}{x/(2k+1)}}\,dx&=\int _{0}^{\infty }\lim _{n\to \infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(x/(2k+1))}{x/(2k+1)}}\,dx\\[5pt]&=\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(x/(2k+1))}{x/(2k+1)}}\,dx\\[5pt]&\approx {\frac {\pi }{2}}-0.0000352\end{aligned}}}$

โดยที่เราสามารถดึงลิมิตออกมาจากอินทิกรัลได้ด้วยทฤษฎีบทการลู่เข้าแบบครอบงำ ในทำนองเดียวกัน ในขณะที่

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }2\cos x\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(x/(2k+1))}{x/(2k+1)}}\,dx}$

กลายเป็นน้อยกว่า${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$เมื่อไร${\displaystyle n}$เกิน 55 เรามี

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }2\cos x\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(x/(2k+1))}{x/(2k+1)}}\,dx\approx {\frac {\pi }{2}}-2.9629\cdot 10^{-42}}$

นอกจากนี้ การใช้การแยกตัวประกอบของไวเออร์สตรัส

${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)\qquad \cos x=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-{\frac {4x^{2}}{\pi ^{2}(2n+1)^{2}}}\right)}$

สามารถแสดงให้เห็นได้

${\displaystyle \prod _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin(2x/(2n+1))}{2x/(2n+1)}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n}}\right)}$

และด้วยการเปลี่ยนตัวแปรจะได้^{[ 9 ]}

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n}}\right)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin(x/(2n+1))}{x/(2n+1)}}\,dx\approx {\frac {\pi }{4}}-0.0000176}$

และ^{[ 8 ] [ 10 ]}

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos(2x)\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n}}\right)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\cos(x)\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {\sin(x/(2n+1))}{x/(2n+1)}}\,dx\approx {\frac {\pi }{8}}-7.4073\cdot 10^{-43}}$

Schmuland ^{[ 11 ]} ได้นำเสนอสูตรความน่าจะเป็นที่น่าสนใจของอินทิกรัล Borwein ผลคูณอนันต์ ตัวอย่างเช่น พิจารณาอนุกรมฮาร์มอนิกแบบสุ่ม

${\displaystyle \pm 1\pm {\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{3}}\pm {\frac {1}{4}}\pm {\frac {1}{5}}\pm \cdots }$

โดยการโยนเหรียญที่ยุติธรรมอย่างอิสระเพื่อเลือกเครื่องหมาย อนุกรมนี้ลู่เข้าเกือบแน่นอนนั่นคือด้วยความน่าจะเป็น 1 ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของผลลัพธ์เป็นฟังก์ชันที่กำหนดไว้อย่างดี และค่าของฟังก์ชันนี้ที่ 2 ใกล้เคียงกับ 1/8 อย่างไรก็ตาม มันใกล้เคียงกับ

${\displaystyle 0.124999999999999999999999999999999999999999764\ldots }$

คำอธิบายของ Schmuland คือปริมาณนี้คือ${\displaystyle 1/\pi }$ครั้ง

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos(2x)\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n}}\right)\,dx\approx {\frac {\pi }{8}}-7.4073\cdot 10^{-43}}$

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "อินทิกรัลผลคูณโคไซน์อนันต์" . MathWorld . สืบค้นเมื่อ10 มกราคม 2023 .