ในทฤษฎีกราฟตระกูลของกราฟจะเรียกว่ามีขอบเขตการขยายที่จำกัด หาก ไมเนอร์ตื้นทั้งหมดของตระกูลนั้นเป็นกราฟเบาบางตระกูลกราฟเบาบางตามธรรมชาติหลายตระกูลมีขอบเขตการขยายที่จำกัด คุณสมบัติที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดแต่แข็งแกร่งกว่า คือ การขยายพหุนามซึ่งเทียบเท่ากับการมีอยู่ของทฤษฎีบทตัวแยก สำหรับตระกูลเหล่านี้ ตระกูลที่มีคุณสมบัติเหล่านี้มี อัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับปัญหาต่างๆ รวมถึงปัญหาไอโซมอร์ฟิซึมของกราฟย่อยและการตรวจสอบแบบจำลองสำหรับทฤษฎีอันดับแรกของกราฟ

ไมเนอร์ แบบตื้น tของกราฟGถูกกำหนดให้เป็นกราฟที่สร้างขึ้นจากGโดยการยุบกลุ่มของกราฟย่อยที่ไม่มีจุดยอดร่วมกันซึ่งมีรัศมีtและลบจุดยอดที่เหลือของGตระกูลของกราฟมีการขยายที่จำกัดหากมีฟังก์ชันf อยู่ เช่นนั้น ในทุก ไมเนอร์แบบตื้น tของกราฟในตระกูล อัตราส่วนของขอบต่อจุดยอดจะมีค่าไม่เกินf ( t ) ^{[ 1 ]}

นิยามที่เทียบเท่ากันของคลาสของการขยายขอบเขตคือไมเนอร์ตื้นทั้งหมดมีจำนวนสีที่ถูกจำกัดด้วยฟังก์ชันของt [ ^{1 ]}หรือตระกูลที่กำหนดมีค่าพารามิเตอร์ทางโทโพโลยี ที่ถูกจำกัด พารามิเตอร์ดังกล่าวเป็น ค่า คงที่ของกราฟ ที่เป็นโมโนโทนภายใต้การ ^{เลือก}กราฟย่อย โดยที่ค่าพารามิเตอร์สามารถเปลี่ยนแปลงได้เฉพาะในลักษณะที่ควบคุมได้เมื่อกราฟถูกแบ่งย่อย และค่าพารามิเตอร์ที่ถูกจำกัดหมายความว่ากราฟมีการเสื่อมสภาพที่ ถูกจำกัด ^{[ 2 ]}

แนวคิดที่แข็งแกร่งกว่าคือการขยายพหุนามหมายความว่าฟังก์ชันfที่ใช้ในการจำกัดความหนาแน่นของขอบของไมเนอร์ตื้นเป็นพหุนามหากตระกูลกราฟสืบทอดเป็นไปตามทฤษฎีบทตัวแยกซึ่งระบุว่า กราฟ nจุดยอดใดๆ ในตระกูลสามารถแยกออกเป็นชิ้นส่วนที่มีจุดยอดไม่เกินn /2 จุดยอดโดยการลบ จุดยอด O ( nc ) สำหรับค่าคงที่c < 1 บางค่า ตระกูล ^นั้น  จะต้องมีการขยายพหุนาม ในทางกลับกัน กราฟที่มีการขยายพหุนามจะมีทฤษฎีบทตัวแยกแบบย่อยเชิงเส้น^{[ 3 ]}

เนื่องจากความเชื่อมโยงระหว่างตัวแยกและการขยายกราฟตระกูลปิดไมเนอร์ทุกตระกูลรวมถึงตระกูลกราฟระนาบจึงมีการขยายพหุนาม เช่นเดียวกับกราฟระนาบ 1 มิติและโดยทั่วไปแล้วกราฟที่สามารถฝังลงบนพื้นผิวที่มีจีนัสจำกัดและมีจำนวนจุดตัดต่อขอบจำกัด รวมถึงกราฟสตริงที่ปราศจากไบคลิก เนื่องจากกราฟเหล่านี้ทั้งหมดเป็นไปตามทฤษฎีบทตัวแยกที่คล้ายคลึงกันกับกราฟระนาบ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} ใน ปริภูมิยุคลิดมิติสูงกราฟจุดตัดของระบบลูกบอลที่มีคุณสมบัติว่าจุดใดๆ ในปริภูมิถูกปกคลุมด้วยลูกบอลจำนวนจำกัด ก็เป็นไปตามทฤษฎีบทตัวแยก^{[ 8 ]}ที่บ่งบอกถึงการขยายพหุนาม เช่นกัน

แม้ว่ากราฟที่มีความหนาของหนังสือ จำกัด จะไม่มีตัวคั่นย่อยเชิงเส้น^{[ 9 ]}แต่ก็มีการขยายที่จำกัดเช่นกัน^{[ 10 ]}กราฟอื่นๆ ที่มีการขยายที่จำกัด ได้แก่ กราฟที่มีดีกรีจำกัด^{[ 11 ]}กราฟสุ่มที่มีดีกรีเฉลี่ยจำกัดในแบบจำลอง Erdős–Rényi [ ^{12 ]}และกราฟที่มี^{จำนวน}คิวจำกัด^{[ 2 ] [ 13 ]}

ตัวอย่างของปัญหาไอโซมอร์ฟิซึมของกราฟย่อยซึ่งมีเป้าหมายคือการค้นหากราฟเป้าหมายที่มีขนาดจำกัด ในฐานะกราฟย่อยของกราฟขนาดใหญ่ที่มีขนาดไม่จำกัด สามารถแก้ไขได้ในเวลาเชิงเส้นเมื่อกราฟขนาดใหญ่อยู่ในตระกูลของกราฟที่มีการขยายแบบจำกัด เช่นเดียวกันนี้ก็เป็นจริงสำหรับการค้นหาคลิกที่มีขนาดคงที่ การค้นหาเซตครอบงำที่มีขนาดคงที่ หรือโดยทั่วไปแล้วการทดสอบคุณสมบัติที่สามารถแสดงได้ด้วยสูตรที่มีขนาดจำกัดในตรรกะลำดับที่หนึ่งของกราฟ^{[ 14 ] [ 15 ]}

สำหรับกราฟของการขยายพหุนาม จะมีแผนการประมาณค่าในเวลาพหุนามสำหรับปัญหาการครอบคลุมเซตปัญหาเซตอิสระสูงสุดปัญหาเซตครอบงำและปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพกราฟอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องอีกหลายประการ^{[ 16 ]}