ในการประมวลผลสัญญาณและสถิติฟังก์ชันหน้าต่าง (เรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันอะโพไดเซชันหรือฟังก์ชันเทเปอร์^{[ 1 ]} ) เป็นฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่มีค่าเป็นศูนย์นอกช่วง ที่เลือกไว้ โดยทั่วไป ฟังก์ชันหน้าต่างจะสมมาตรกันรอบกึ่งกลางของช่วง เข้าใกล้ค่าสูงสุดที่กึ่งกลาง และค่อยๆ ลดลงเมื่อห่างจากกึ่งกลาง ในทางคณิตศาสตร์ เมื่อฟังก์ชันอื่นหรือรูปคลื่น/ลำดับข้อมูลถูก "คูณ" ด้วยฟังก์ชันหน้าต่าง ผลลัพธ์ที่ได้จะมีค่าเป็นศูนย์นอกช่วงเช่นกัน สิ่งที่เหลืออยู่คือส่วนที่ทับซ้อนกัน ซึ่งก็คือ "มุมมองผ่านหน้าต่าง" หรือในทางปฏิบัติจริง ส่วนของข้อมูลภายในหน้าต่างจะถูกแยกออกมาก่อน จากนั้นจึงนำข้อมูลนั้นไปคูณกับค่าของฟังก์ชันหน้าต่าง ดังนั้น การค่อยๆ ลดลง ไม่ใช่การแบ่งส่วน จึงเป็นจุดประสงค์หลักของฟังก์ชันหน้าต่าง

เหตุผลในการตรวจสอบส่วนต่างๆ ของฟังก์ชันที่ยาวกว่านั้น ได้แก่ การตรวจจับเหตุการณ์ชั่วคราวและการหาค่าเฉลี่ยของสเปกตรัมความถี่ ระยะเวลาของส่วนต่างๆ จะถูกกำหนดในแต่ละแอปพลิเคชันโดยข้อกำหนดต่างๆ เช่น ความละเอียดของเวลาและความถี่ แต่ด้วยวิธีนี้ก็เปลี่ยนแปลงเนื้อหาความถี่ของสัญญาณด้วยผลกระทบที่เรียกว่าการรั่วไหลของสเปกตรัมฟังก์ชันหน้าต่างช่วยให้เราสามารถกระจายการรั่วไหลของสเปกตรัมในรูปแบบต่างๆ ตามความต้องการของแอปพลิเคชันนั้นๆ มีตัวเลือกมากมายที่กล่าวถึงในบทความนี้ แต่ความแตกต่างหลายอย่างนั้นละเอียดอ่อนมากจนไม่มีนัยสำคัญในทางปฏิบัติ

ในการใช้งานทั่วไป ฟังก์ชันหน้าต่างที่ใช้จะเป็นเส้นโค้ง "รูปทรงระฆัง" ที่เรียบและไม่เป็นลบ^{[ 2 ]}สามารถใช้ฟังก์ชันรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า สามเหลี่ยม และฟังก์ชันอื่นๆ ได้เช่นกัน คำจำกัดความทั่วไปของฟังก์ชันหน้าต่างไม่จำเป็นต้องเป็นศูนย์โดยสมบูรณ์นอกช่วง ตราบใดที่ผลคูณของหน้าต่างกับอาร์กิวเมนต์สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันนั้นจะต้องเข้าใกล้ศูนย์อย่างรวดเร็วเพียงพอ^{[ 3 ]}

ฟังก์ชันหน้าต่างใช้ในการวิเคราะห์ /แก้ไข/ สังเคราะห์ สเปกตรัม ใหม่^{[ 4 ]}การออกแบบ ตัวกรอง การตอบสนองแบบอิมพัลส์จำกัดการรวมชุดข้อมูลหลายระดับและหลายมิติ^{[ 5 ] [ 6 ]}รวมถึง การสร้าง ลำแสงและการออกแบบ เสาอากาศ

การแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันcos( ωt )มีค่าเป็นศูนย์ ยกเว้นที่ความถี่ ± ωอย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันและรูปคลื่นอื่นๆ อีกมากมายไม่มีการแปลงในรูปแบบปิดที่สะดวก หรืออีกทางหนึ่ง อาจสนใจเฉพาะเนื้อหาสเปกตรัมในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่งเท่านั้น

ไม่ว่าในกรณีใด การแปลงฟูริเยร์ (หรือการแปลงที่คล้ายกัน) สามารถนำไปใช้กับช่วงจำกัดหนึ่งช่วงหรือมากกว่าของรูปคลื่นได้ โดยทั่วไป การแปลงจะถูกนำไปใช้กับผลคูณของรูปคลื่นและฟังก์ชันหน้าต่าง หน้าต่างใดๆ (รวมถึงหน้าต่างสี่เหลี่ยมผืนผ้า) จะส่งผลต่อการประมาณค่าสเปกตรัมที่คำนวณโดยวิธีนี้

บางครั้งมีการใช้หน้าต่างในการออกแบบตัวกรองดิจิทัลโดยเฉพาะอย่างยิ่งเพื่อแปลงการตอบสนองแบบอิมพัลส์ "ในอุดมคติ" ที่มีระยะเวลาอนันต์ เช่นฟังก์ชัน sincให้เป็นการออกแบบตัวกรองแบบตอบสนองแบบอิมพัลส์จำกัด (FIR) ซึ่งเรียกว่า วิธีการ ใช้หน้าต่าง^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

ฟังก์ชันหน้าต่างบางครั้งถูกนำมาใช้ในสาขาการวิเคราะห์ทางสถิติเพื่อจำกัดชุดข้อมูลที่กำลังวิเคราะห์ให้อยู่ในช่วงใกล้จุดที่กำหนด โดยมีปัจจัยถ่วงน้ำหนักที่ลดผลกระทบของจุดที่อยู่ห่างออกไปจากส่วนของเส้นโค้งที่กำลังปรับให้เข้ากับข้อมูล ในสาขาการวิเคราะห์แบบเบย์เซียนและการปรับเส้นโค้ง ให้เข้ากับ ข้อมูล นั้น มักเรียกสิ่งนี้ว่าเคอร์เนล

เมื่อวิเคราะห์สัญญาณชั่วคราวในการวิเคราะห์โมดอลเช่น อิมพัลส์ การตอบสนองต่อแรงกระแทก การระเบิดของไซน์ การระเบิดของชิป หรือการระเบิดของสัญญาณรบกวน ซึ่งการกระจายพลังงานเทียบกับเวลาไม่สม่ำเสมออย่างมาก หน้าต่างรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าอาจเหมาะสมที่สุด ตัวอย่างเช่น เมื่อพลังงานส่วนใหญ่อยู่ที่จุดเริ่มต้นของการบันทึก หน้าต่างที่ไม่ใช่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะลดทอนพลังงานส่วนใหญ่ ทำให้อัตราส่วนสัญญาณต่อสัญญาณรบกวนลด ลง ^{[ 10 ]}

อาจมีคนต้องการวัดปริมาณฮาร์มอนิกของโน้ตดนตรีจากเครื่องดนตรีชนิดใดชนิดหนึ่ง หรือวัดความผิดเพี้ยนฮาร์มอนิกของเครื่องขยายเสียงที่ความถี่ที่กำหนด เมื่อพิจารณาจากรูปที่ 2 อีกครั้ง เราจะสังเกตได้ว่าไม่มีการรั่วไหลที่ชุดความถี่ที่สัมพันธ์กันทางฮาร์มอนิกซึ่งสุ่มตัวอย่างโดยการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง (DFT) (จุดศูนย์ของสเปกตรัมนั้นแท้จริงแล้วคือจุดตัดศูนย์ ซึ่งไม่สามารถแสดงบนมาตราส่วนลอการิทึมเช่นนี้ได้) คุณสมบัตินี้เป็นเอกลักษณ์เฉพาะของหน้าต่างสี่เหลี่ยมผืนผ้า และต้องกำหนดค่าให้เหมาะสมกับความถี่ของสัญญาณตามที่อธิบายไว้ข้างต้น

เมื่อความยาวของชุดข้อมูลที่จะแปลงมีขนาดใหญ่กว่าที่จำเป็นเพื่อให้ได้ความละเอียดความถี่ที่ต้องการ วิธีปฏิบัติทั่วไปคือการแบ่งชุดข้อมูลออกเป็นชุดย่อยๆ และใช้ฟังก์ชันหน้าต่างกับแต่ละชุดข้อมูล เพื่อลด "การสูญเสีย" ที่ขอบของหน้าต่าง ชุดข้อมูลแต่ละชุดอาจทับซ้อนกันในช่วงเวลาได้ ดูวิธีการวิเคราะห์สเปกตรัมกำลังของเวลช์และการแปลงโคไซน์แบบไม่ต่อเนื่องที่ปรับปรุงแล้ว

หน้าต่างสองมิติมักใช้ในการประมวลผลภาพเพื่อลดความถี่สูงที่ไม่ต้องการในการแปลงฟูริเยร์ของภาพ^{[ 11 ]}สามารถสร้างได้จากหน้าต่างหนึ่งมิติในสองรูปแบบ^{[ 12 ]}รูปแบบที่แยกได้นั้นคำนวณได้ง่ายรูปแบบรัศมีซึ่งเกี่ยวข้องกับรัศมี นั้นเป็นแบบไอโซโทรปิกไม่ขึ้นอยู่กับทิศทางของแกนพิกัด มีเพียง ฟังก์ชัน เกาส์เซียน เท่านั้น ที่เป็นทั้งแบบแยกได้และแบบไอโซโทรปิก^{[ 13 ]}รูปแบบที่แยกได้ของฟังก์ชันหน้าต่างอื่นๆ ทั้งหมดมีมุมที่ขึ้นอยู่กับการเลือกแกนพิกัด ความเป็นไอโซโทรปิก/แอนไอโซโทรปิกของฟังก์ชันหน้าต่างสองมิติจะถูกแบ่งปันโดยการแปลงฟูริเยร์สองมิติ ความแตกต่างระหว่างรูปแบบที่แยกได้และรูปแบบรัศมีนั้นคล้ายกับผลลัพธ์ของการเลี้ยวเบนจากช่องเปิดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเทียบกับช่องเปิดรูปวงกลม ซึ่งสามารถมองเห็นได้ในแง่ของผลคูณของฟังก์ชัน sinc สองฟังก์ชัน เทียบกับฟังก์ชัน Airyตามลำดับ ${\displaystyle W(m,n)=w(m)w(n)}$${\displaystyle W(m,n)=w(r)}$${\displaystyle r={\sqrt {(m-M/2)^{2}+(n-N/2)^{2}}}}$

อนุสัญญา:

• ${\displaystyle w_{0}(x)}$เป็นฟังก์ชันเฟสศูนย์ (สมมาตรเกี่ยวกับ) ^{[ 14 ]}ต่อเนื่องสำหรับโดยที่เป็นจำนวนเต็มบวก (คู่หรือคี่) ^{[ 15 ]}${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x\in [-N/2,N/2],}$${\displaystyle N}$
• ลำดับสมมาตรมีความยาว${\displaystyle \{w[n]=w_{0}(n-N/2),\quad 0\leq n\leq N\}}$${\displaystyle N+1.}$
• ${\displaystyle \{w[n],\quad 0\leq n\leq N-1\}}$สมมาตรDFTมีความยาว^{[ A ]}${\displaystyle N.}$

• พารามิเตอร์B ที่แสดงบนกราฟสเปกตรัมแต่ละอันคือเมตริก แบนด์วิดท์เทียบเท่าสัญญาณรบกวนของฟังก์ชันในหน่วยของช่อง DFT [ ^{16 ] :หน้า 56 สมการ (16)}
  • โปรดดูการรั่วไหลของสเปกตรัม §§  สัญญาณเวลาไม่ต่อเนื่องและเมตริกหน้าต่างบางส่วนและความถี่ปกติเพื่อทำความเข้าใจการใช้ "ช่อง" สำหรับแกน x ในกราฟเหล่านี้

การสุ่มตัวอย่างแบบเบาบางของการแปลงฟูริเยร์แบบเวลาไม่ต่อเนื่อง (DTFT) เช่น DFT ในรูปที่ 2 เผยให้เห็นเฉพาะการรั่วไหลเข้าไปในช่อง DFT จากไซน์ที่มีความถี่เป็นจำนวนเต็มในช่อง DFT เท่านั้น ส่วนไซด์โลบที่มองไม่เห็นจะเผยให้เห็นการรั่วไหลที่คาดว่าจะเกิดขึ้นจากไซน์ที่ความถี่อื่น^{[ a ]}ดังนั้น เมื่อเลือกฟังก์ชันหน้าต่าง จึงมักเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องสุ่มตัวอย่าง DTFT ให้หนาแน่นขึ้น (ดังที่เราทำตลอดทั้งส่วนนี้) และเลือกหน้าต่างที่ลดไซด์โลบลงในระดับที่ยอมรับได้

หน้าต่างสี่เหลี่ยมผืนผ้า (บางครั้งเรียกว่าหน้าต่างกล่อง หน้าต่างแบบสม่ำเสมอ หรือหน้าต่างDirichletหรือเรียกอย่างผิดๆ ว่า "ไม่มีหน้าต่าง" ในบางโปรแกรม^{[ 18 ]} ) เป็นหน้าต่างที่ง่ายที่สุด เทียบเท่ากับการแทนที่ค่าทั้งหมด ยกเว้นค่าที่ต่อเนื่องกันNค่าของลำดับข้อมูลด้วยศูนย์ ทำให้รูปคลื่นเปิดและปิดอย่างกะทันหัน:

${\displaystyle w[n]=1.}$

หน้าต่างอื่นๆ ถูกออกแบบมาเพื่อปรับลดการเปลี่ยนแปลงอย่างฉับพลันเหล่านี้ ลดการสูญเสียจากการกระเพื่อม และปรับปรุงช่วงไดนามิก (อธิบายไว้ในหัวข้อ§ การวิเคราะห์สเปกตรัม )

หน้าต่างสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือหน้าต่าง B -spline อันดับที่ 1 และหน้าต่างกำลังของไซน์ กำลังที่ 0 เช่น กัน

หน้าต่างสี่เหลี่ยมผืนผ้าให้ค่าประมาณความคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ยต่ำสุดของการแปลงฟูริเยร์แบบเวลาไม่ต่อเนื่องโดยแลกมาด้วยปัญหาอื่นๆ ที่ได้กล่าวถึงไปแล้ว

หน้าต่าง B -spline สามารถหาได้จาก การคอนโวลูชัน kเท่าของหน้าต่างสี่เหลี่ยมผืนผ้า ซึ่งรวมถึงหน้าต่างสี่เหลี่ยมผืนผ้าเอง ( k  = 1) หน้าต่างสามเหลี่ยม ( k  = 2) และหน้าต่าง Parzen ( k  = 4) ^{[ 19 ]}คำจำกัดความทางเลือกจะสุ่มตัวอย่างฟังก์ชันพื้นฐานB -spline ที่เป็นมาตรฐานที่เหมาะสม แทนที่จะคอนโวลูชันหน้าต่างเวลาแบบไม่ต่อเนื่อง ฟังก์ชันพื้นฐาน B -spline อันดับที่kคือฟังก์ชันพหุนามแบบแบ่งส่วนที่มีดีกรีk  − 1 ซึ่งได้มาจากการคอนโวลูชันตัวเองk เท่าของ ฟังก์ชัน สี่เหลี่ยมผืนผ้า

หน้าต่างรูปสามเหลี่ยมกำหนดโดย

${\displaystyle w[n]=1-\left|{\frac {n-{\frac {N}{2}}}{\frac {L}{2}}}\right|,\quad 0\leq n\leq N,}$

โดยที่Lอาจเป็นN , ^{[ 20 ]} N  + 1, ^{[ 16 ] [ 21 ] [ 22 ]}หรือN  + 2 ^{[ 23 ]}อันแรกยังเป็นที่รู้จักในชื่อหน้าต่างBartlettหรือหน้าต่างFejérคำจำกัดความทั้งสามจะบรรจบกันที่  N ขนาด ใหญ่

หน้าต่างรูปสามเหลี่ยมคือหน้าต่าง B -spline อันดับที่ 2 รูปแบบ L  =  Nสามารถมองได้ว่าเป็นการสังเคราะห์ (convolution) ของหน้าต่างสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองบาน ที่มีความกว้าง N / 2การแปลงฟูริเยร์ของผลลัพธ์คือค่ากำลังสองของการแปลงของหน้าต่างสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความกว้างครึ่งหนึ่ง

เมื่อกำหนดL ≜ N + 1หน้าต่าง Parzen หรือที่รู้จักกันในชื่อ^{หน้าต่าง} de la Vallée Poussin [ ^{16 ]} คือ หน้าต่าง B -spline ลำดับที่ 4 ที่กำหนดโดย

${\displaystyle w_{0}(n)\triangleq \left\{{\begin{array}{ll}1-6\left({\frac {n}{L/2}}\right)^{2}\left(1-{\frac {|n|}{L/2}}\right),&0\leq |n|\leq {\frac {L}{4}}\\2\left(1-{\frac {|n|}{L/2}}\right)^{3}&{\frac {L}{4}}<|n|\leq {\frac {L}{2}}\\\end{array}}\right\}}$

${\displaystyle w[n]=\ w_{0}\left(n-{\tfrac {N}{2}}\right),\ 0\leq n\leq N}$

หน้าต่างเวลช์ประกอบด้วยส่วน โค้ง พาราโบลา เพียงส่วนเดียว :

${\displaystyle w[n]=1-\left({\frac {n-{\frac {N}{2}}}{\frac {N}{2}}}\right)^{2},\quad 0\leq n\leq N.}$^{[ 23 ]}

อีกทางเลือกหนึ่งคือ สามารถเขียนได้โดยใช้ปัจจัยสองตัว ดังเช่นในการแจกแจงแบบเบต้า :

${\displaystyle w[n]=\left(1+{\frac {n-{\frac {N}{2}}}{\frac {N}{2}}}\right)\left(1-{\frac {n-{\frac {N}{2}}}{\frac {N}{2}}}\right),\quad 0\leq n\leq N.}$

พหุนามกำลังสองที่กำหนด นิยาม นี้จะมีค่าเป็นศูนย์ที่จุดตัวอย่างที่อยู่นอกช่วงของหน้าต่าง

หน้าต่างเวลช์ค่อนข้างใกล้เคียงกับหน้าต่างไซน์และเช่นเดียวกับหน้าต่างกำลังของไซน์ที่เป็นตระกูลพารามิเตอร์ที่มีประโยชน์ ตระกูลหน้าต่างกำลังของเวลช์ก็มีประโยชน์ในทำนองเดียวกัน กำลังของหน้าต่างเวลช์หรือหน้าต่างพาราโบลาเป็นการแจกแจงเบตา แบบสมมาตร และเป็นฟังก์ชันพีชคณิตล้วนๆ (ถ้ากำลังเป็นจำนวนตรรกยะ) ซึ่งแตกต่างจากหน้าต่างส่วนใหญ่ที่เป็นฟังก์ชันอดิศัย หากใช้เลขชี้กำลังที่ต่างกันในสองตัวประกอบของพหุนามเวลช์ ผลลัพธ์ที่ได้คือการแจกแจงเบตาทั่วไป ซึ่งมีประโยชน์สำหรับการสร้างฟังก์ชันหน้าต่างแบบไม่สมมาตร

หน้าต่างที่มีรูปแบบเป็นฟังก์ชันโคไซน์ที่ชดเชยด้วยค่าคงที่ เช่น หน้าต่างแฮมมิงและหน้าต่างแฮนน์ที่นิยมใช้กันนั้น บางครั้งเรียกว่าหน้าต่างโคไซน์ยกกำลัง หน้าต่างแฮนน์นั้นคล้ายกับการแจกแจงโคไซน์ยกกำลัง เป็นพิเศษ ซึ่งมีค่าเข้าใกล้ศูนย์อย่างราบรื่นที่ปลายทั้งสองข้าง

หน้าต่างแบบยกโคไซน์มีรูปแบบดังนี้:

${\displaystyle w[n]=a_{0}-(1-a_{0})\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi n}{N}}\right),\quad 0\leq n\leq N,}$

หรืออีกทางเลือกหนึ่งคือในรูปแบบที่ไม่มีเฟส:

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{0}(n)\ &=w\left[n+{\tfrac {N}{2}}\right]\\&=a_{0}+(1-a_{0})\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi n}{N}}\right),\quad -{\tfrac {N}{2}}\leq n\leq {\tfrac {N}{2}}.\end{aligned}}}$

การตั้งค่านี้ทำให้เกิดหน้าต่าง Hann : ${\displaystyle a_{0}=0.5;\quad a_{1}=-0.5}$

${\displaystyle w[n]=\sum _{l=0}^{L-1}a_{l}\cos \left({\frac {2\pi ln}{N}}\right)=0.5-0.5\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)}$^{[ 24 ]}

ตั้งชื่อตามจูเลียส ฟอน ฮันน์และบางครั้งเรียกว่าฮันนิงซึ่งมาจากคำกริยา "to Hann" (ฮันน์) นอกจากนี้ยังรู้จักกันในชื่อ โคไซน์ยกกำลัง (raised cosine ) เนื่องจากมีความคล้ายคลึงกับการกระจายแบบโคไซน์ยกกำลัง

ฟังก์ชันนี้เป็นสมาชิกของทั้งตระกูลผลรวมโคไซน์และกำลังของไซน์ ต่างจาก หน้าต่างแฮมมิง จุดปลายของหน้าต่างฮันน์จะแตะศูนย์พอดีกลีบข้าง ที่เกิดขึ้น จะลดลงประมาณ 18 dB ต่ออ็อกเทฟ^{[ 25 ]}

การตั้งค่าเป็นค่าประมาณ 0.54 หรือแม่นยำกว่านั้นคือ 25/46 จะสร้างหน้าต่างแฮมมิง (Hamming window ) ซึ่งเสนอโดยริชาร์ด ดับเบิลยู . แฮมมิง การเลือกนี้จะวางจุดตัดศูนย์ที่ความถี่ 5 π /( N  − 1) ซึ่งจะยกเลิกไซด์โลบแรกของหน้าต่างฮันน์ (Hann window) ทำให้มีความสูงประมาณหนึ่งในห้าของหน้าต่างฮันน์^{[ 16 ] [ 26 ] [ 27 ]} หน้าต่างแฮมมิงมักเรียกว่าแฮมมิงบลิป (Hamming blip)เมื่อใช้สำหรับการปรับรูปพัลส์^{[ 28 ] [ 29 ] [ 30 ]}${\displaystyle a_{0}}$

การประมาณค่าสัมประสิทธิ์ให้เหลือเพียงสองตำแหน่งทศนิยมจะช่วยลดระดับของไซด์โลบลงอย่างมาก^{[ 16 ]}จนเกือบจะเป็นสภาวะคลื่นเท่ากัน^{[ 27 ]}ในความหมายของคลื่นเท่ากัน ค่าที่เหมาะสมที่สุดสำหรับสัมประสิทธิ์คือa ₀  = 0.53836 และa ₁  = 0.46164 ^{[ 27 ] [ 31 ]}

ตระกูลนี้ซึ่งเป็นการขยายหน้าต่างโคไซน์ยก กำลัง ยังเป็นที่รู้จักในชื่อหน้าต่างโคไซน์ทั่วไปอีกด้วย^{[ 32 ]}

${\displaystyle w[n]=\sum _{k=0}^{K}(-1)^{k}a_{k}\;\cos \left({\frac {2\pi kn}{N}}\right),\quad 0\leq n\leq N.}$

สมการที่ 1

ในกรณีส่วนใหญ่ รวมถึงตัวอย่างด้านล่าง สัมประสิทธิ์ทั้งหมดa _k  ≥ 0 หน้าต่างเหล่านี้มีสัมประสิทธิ์ DFT แบบ N  จุดที่ไม่เป็นศูนย์ เพียง 2 K + 1 ตัวเท่านั้น

หน้าต่างแบล็กแมนถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right),}$

${\displaystyle a_{0}={\frac {1-\alpha }{2}};\quad a_{1}={\frac {1}{2}};\quad a_{2}={\frac {\alpha }{2}}.}$

ตามธรรมเนียมทั่วไป คำว่าหน้าต่าง Blackman ที่ไม่มีคุณสมบัติ หมายถึง "ข้อเสนอที่ไม่จริงจังมากนัก" ของ Blackman ที่ว่าα  = 0.16 ( a ₀  = 0.42, a ₁  = 0.5, a ₂  = 0.08) ซึ่งใกล้เคียงกับค่า Blackman ที่แน่นอน^{[ 33 ]}โดยมีa ₀  = 7938/18608 ≈ 0.42659, a ₁  = 9240/18608 ≈ 0.49656 และa ₂  = 1430/18608 ≈ 0.076849 ^{[ 34 ]}ค่าที่แน่นอนเหล่านี้ทำให้ค่าเป็นศูนย์ที่ไซด์โลบที่สามและสี่^{[ 16 ]}แต่ส่งผลให้เกิดความไม่ต่อเนื่องที่ขอบและมีการลดลง 6 dB/oct ค่าสัมประสิทธิ์ที่ถูกตัดทอนไม่ได้ทำให้ไซด์โลบเป็นศูนย์เช่นกัน แต่มีการลดลงที่ดีขึ้นที่ 18 dB/oct ^{[ 16 ] [ 35 ]}

รูปแบบต่อเนื่องของหน้าต่างนัตทอลล์ และ อนุพันธ์อันดับแรกของมันมีความต่อเนื่องทุกที่ เช่นเดียวกับฟังก์ชันแฮนน์นั่นคือ ฟังก์ชันมีค่าเข้าใกล้ 0 ที่x  = ± N /2 ซึ่งแตกต่างจากหน้าต่างแบล็กแมน-นัตทอลล์ แบล็กแมน-แฮร์ริส และแฮมมิง หน้าต่างแบล็กแมน ( α  = 0.16 ) ก็มีความต่อเนื่องเช่นกัน โดยมีอนุพันธ์ที่ขอบมีความต่อเนื่อง แต่ "หน้าต่างแบล็กแมนที่แม่นยำ" นั้นไม่มีความต่อเนื่อง ${\displaystyle w_{0}(x),}$

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.355768;\quad a_{1}=0.487396;\quad a_{2}=0.144232;\quad a_{3}=0.012604.}$

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.3635819;\quad a_{1}=0.4891775;\quad a_{2}=0.1365995;\quad a_{3}=0.0106411.}$

การวางนัยทั่วไปของตระกูลแฮมมิง ซึ่งสร้างขึ้นโดยการเพิ่มฟังก์ชันโคไซน์ที่เลื่อนมากขึ้น เพื่อลดระดับกลีบข้างให้น้อยที่สุด^{[ 36 ] [ 37 ]}

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.4243801;\quad a_{1}=0.4973406;\quad a_{2}=0.0782793.}$^{[ 38 ]}

หน้าต่างแบบแบนราบด้านบนเป็นหน้าต่างที่มีค่าลบบางส่วนซึ่งมีการสูญเสียแบบหยัก น้อยที่สุด ในโดเมนความถี่ คุณสมบัติดังกล่าวเป็นที่ต้องการสำหรับการวัดแอมพลิจูดของส่วนประกอบความถี่ไซน์^{[ 17 ] [ 39 ]}อย่างไรก็ตาม แบนด์วิดท์ที่กว้างส่งผลให้แบนด์วิดท์ของสัญญาณรบกวน สูง และการเลือกความถี่ที่กว้างขึ้น ซึ่งขึ้นอยู่กับการใช้งาน อาจเป็นข้อเสียได้

หน้าต่างแบบแบนด้านบนสามารถออกแบบโดยใช้วิธีการออกแบบตัวกรองความถี่ต่ำ^{[ 39 ]}หรืออาจเป็น แบบผล รวมโคไซน์ ทั่วไปก็ได้ :

${\displaystyle {\begin{aligned}w[n]=a_{0}&{}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)\\&{}-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)+a_{4}\cos \left({\frac {8\pi n}{N}}\right).\end{aligned}}}$

เวอร์ชันMatlabมีสัมประสิทธิ์ดังต่อไปนี้:

${\displaystyle a_{0}=0.21557895;\quad a_{1}=0.41663158;\quad a_{2}=0.277263158;\quad a_{3}=0.083578947;\quad a_{4}=0.006947368.}$

มีรูปแบบอื่นๆ ให้เลือก เช่น กลีบข้างที่กลิ้งออกไปโดยแลกกับค่าที่สูงขึ้นใกล้กับกลีบหลัก^{[ 17 ]}

หน้าต่าง Rife–Vincent ^{[ 40 ]}มักจะถูกปรับขนาดสำหรับค่าเฉลี่ยหนึ่งหน่วย แทนที่จะเป็นค่าสูงสุดหนึ่งหน่วย ค่าสัมประสิทธิ์ด้านล่างที่ใช้กับสมการที่ 1สะท้อนถึงธรรมเนียมดังกล่าว

คลาส I ลำดับที่ 1 ( K = 1): เทียบเท่ากับการทำงานของหน้าต่าง Hannและกำลังของไซน์ ( α  = 2 ) ${\displaystyle a_{0}=1;\quad a_{1}=1}$

คลาส I ลำดับที่ 2 ( K = 2): เทียบเท่ากับกำลังของไซน์ ( α  = 4 ) ${\displaystyle a_{0}=1;\quad a_{1}={\tfrac {4}{3}};\quad a_{2}={\tfrac {1}{3}}}$

คลาส I ถูกกำหนดโดยการลดแอมพลิจูดไซด์โลบลำดับสูงให้เหลือน้อยที่สุด สัมประสิทธิ์สำหรับลำดับสูงสุดถึง K=4 ได้รับการจัดทำเป็นตาราง^{[ 41 ]}

คลาส II ช่วยลดความกว้างของกลีบหลักให้เหลือน้อยที่สุดสำหรับกลีบข้างสูงสุดที่กำหนดไว้

คลาส III เป็นการประนีประนอมซึ่งลำดับK  = 2 คล้ายกับ หน้าต่าง § Blackman ^{[ 41 ] [ 42 ]}

${\displaystyle w[n]=\sin \left({\frac {\pi n}{N}}\right)=\cos \left({\frac {\pi n}{N}}-{\frac {\pi }{2}}\right),\quad 0\leq n\leq N.}$

ฟังก์ชัน ที่สอดคล้องกันคือโคไซน์โดยไม่มี การชดเชยเฟส π /2 ดังนั้นหน้าต่างไซน์^{[ 43 ]}บางครั้งจึงเรียกว่าหน้าต่างโคไซน์ [ ^{16 ] เนื่องจาก}มันแสดงถึงครึ่งรอบของฟังก์ชันไซน์ จึงเรียกอีกอย่างว่าหน้าต่างครึ่งไซน์^{[ 44 ]}หรือหน้าต่างครึ่งโคไซน์^{[ 45 ]}${\displaystyle w_{0}(n)\,}$

การหาค่าสหสัมพันธ์อัตโนมัติของหน้าต่างไซน์จะสร้างฟังก์ชันที่เรียกว่าหน้าต่างโบห์แมน^{[ 46 ]}

ฟังก์ชันหน้าต่างเหล่านี้มีรูปแบบดังนี้: ^{[ 47 ]}

${\displaystyle w[n]=\sin ^{\alpha }\left({\frac {\pi n}{N}}\right)=\cos ^{\alpha }\left({\frac {\pi n}{N}}-{\frac {\pi }{2}}\right),\quad 0\leq n\leq N.}$

หน้าต่างสี่เหลี่ยมผืนผ้า ( α  = 0 ), หน้าต่างไซน์ ( α  = 1 ) และหน้าต่างฮันน์ ( α  = 2 ) เป็นสมาชิกของตระกูลนี้

สำหรับค่า αที่เป็นจำนวนเต็มคู่ ฟังก์ชันเหล่านี้สามารถแสดงในรูปผลรวมโคไซน์ได้เช่นกัน:

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)+a_{4}\cos \left({\frac {8\pi n}{N}}\right)-...}$

${\displaystyle {\begin{array}{l|llll}\hline \alpha &a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}&a_{4}\\\hline 0&1\\2&0.5&0.5\\4&0.375&0.5&0.125\\6&0.3125&0.46875&0.1875&0.03125\\8&0.2734375&0.4375&0.21875&0.0625&7.8125\times 10^{-3}\\\hline \end{array}}}$

การแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันเกาส์เซียนก็เป็นฟังก์ชันเกาส์เซียนเช่นกัน เนื่องจากขอบเขตของฟังก์ชันเกาส์เซียนขยายไปถึงอนันต์ จึงต้องตัดทอนที่ปลายของหน้าต่าง หรือใช้หน้าต่างที่มีปลายศูนย์อีกหน้าต่างหนึ่งมาครอบทับ^{[ 48 ]}

เนื่องจากลอการิทึมของเกาส์เซียนสร้างพาราโบลาจึงสามารถใช้สำหรับการแทรกสอดกำลังสองที่แม่นยำเกือบสมบูรณ์ในการประมาณความถี่^{[ 49 ] [ 48 ] [ 50 ]}

${\displaystyle w[n]=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {n-N/2}{\sigma N/2}}\right)^{2}\right),\quad 0\leq n\leq N.}$

${\displaystyle \sigma \leq \;0.5\,}$

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของฟังก์ชันเกาส์เซียนคือσ  ·  N /2 ช่วงเวลาการสุ่มตัวอย่าง

หน้าต่างเกาส์เซียนแบบจำกัดจะให้ความกว้างความถี่รากกำลังสองเฉลี่ยที่เล็กที่สุดที่เป็นไปได้σ _ωสำหรับความกว้างเชิงเวลาที่กำหนด( N + 1) σ _t ^{[ 51} ] หน้าต่างเหล่า ^นี้ปรับให้เหมาะสมที่สุดของผลคูณแบนด์วิดท์เวลา-ความถี่ RMS โดยจะคำนวณเป็นเวกเตอร์ลักษณะ เฉพาะขั้นต่ำ ของเมทริกซ์ที่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ ตระกูลหน้าต่างเกาส์เซียนแบบจำกัดประกอบด้วยหน้าต่างไซน์ §และหน้าต่างเกาส์เซียน §ในกรณีจำกัดของσ _t ขนาดใหญ่และขนาดเล็ก ตามลำดับ

เมื่อกำหนดL ≜ N + 1 หน้าต่างเกาส์เซียนแบบจำกัดที่มีความกว้างเชิงเวลาL × σ _tจะถูกประมาณค่าได้ดีโดย: ^{[ 51 ]}

${\displaystyle w[n]=G(n)-{\frac {G(-{\tfrac {1}{2}})[G(n+L)+G(n-L)]}{G(-{\tfrac {1}{2}}+L)+G(-{\tfrac {1}{2}}-L)}}}$

โดยที่เป็นฟังก์ชันเกาส์เซียน: ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G(x)=\exp \left(-\left({\cfrac {x-{\frac {N}{2}}}{2L\sigma _{t}}}\right)^{2}\right)}$

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของหน้าต่างโดยประมาณจะเท่ากับL × σ _t ในเชิงอะซิมโทติก (กล่าวคือ ค่าN มาก ) สำหรับσ _t < 0.14 ^{[ 51 ]}

หน้าต่างแบบเกาส์เซียนทั่วไปอีกแบบหนึ่งคือหน้าต่างปกติทั่วไป^{[ 52 ]}โดยคงสัญลักษณ์จากหน้าต่างแบบเกาส์เซียนข้างต้นไว้ เราสามารถแสดงหน้าต่างนี้ได้ดังนี้

${\displaystyle w[n,p]=\exp \left(-\left({\frac {n-N/2}{\sigma N/2}}\right)^{p}\right)}$

สำหรับค่าคู่ใดๆที่นี่คือหน้าต่างเกาส์เซียน และเมื่อเข้าใกล้สิ่งนี้จะประมาณได้เป็นหน้าต่างสี่เหลี่ยมผืนผ้าการแปลงฟูริเยร์ของหน้าต่างนี้ไม่มีรูปแบบปิดสำหรับค่าทั่วไปอย่างไรก็ตาม มันแสดงให้เห็นถึงประโยชน์อื่นๆ ของการเป็นแบนด์วิดท์ที่เรียบและปรับได้ เช่นเดียวกับหน้าต่าง Tukeyหน้าต่างนี้ให้ "ยอดแบน" โดยธรรมชาติเพื่อควบคุมการลดทอนแอมพลิจูดของอนุกรมเวลา (ซึ่งเราไม่สามารถควบคุมได้ด้วยหน้าต่างเกาส์เซียน) โดยพื้นฐานแล้ว มันให้การประนีประนอมที่ดี (ควบคุมได้) ในแง่ของการรั่วไหลของสเปกตรัม ความละเอียดความถี่ และการลดทอนแอมพลิจูด ระหว่างหน้าต่างเกาส์เซียนและหน้าต่างสี่เหลี่ยมผืนผ้า ดูเพิ่มเติมที่^{[ 53 ]}สำหรับการศึกษาเกี่ยวกับการแสดงเวลา-ความถี่ของหน้าต่าง (หรือฟังก์ชัน) นี้ ${\displaystyle p}$${\displaystyle p=2}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle p}$

หน้าต่าง Tukey หรือที่รู้จักกันในชื่อหน้าต่างโคไซน์เรียวสามารถมองได้ว่าเป็นโคไซน์โลบที่มีความกว้างNα /2 (ครอบคลุม การสังเกต Nα /2 + 1 ครั้ง ) ซึ่งถูกคอนโวลูชันกับหน้าต่างสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความกว้างN ( 1 − α /2)

${\displaystyle \left.{\begin{array}{lll}w[n]={\frac {1}{2}}\left[1-\cos \left({\frac {2\pi n}{\alpha N}}\right)\right],\quad &0\leq n<{\frac {\alpha N}{2}}\\w[n]=1,\quad &{\frac {\alpha N}{2}}\leq n\leq {\frac {N}{2}}\\w[N-n]=w[n],\quad &0\leq n\leq {\frac {N}{2}}\end{array}}\right\}}$^{[ 54 ] [ B ] [ C ]}

เมื่อα  = 0จะกลายเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า และเมื่อα  = 1จะกลายเป็นหน้าต่างฮันน์

หน้าต่างที่เรียกว่า "Planck-taper" เป็นฟังก์ชันนูนที่ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลาย^{[ 55 ]}ในทฤษฎีการแบ่งส่วนของเอกภาพในแมนิโฟลด์มันเรียบ (เป็นฟังก์ชัน) ทุกที่ แต่มีค่าเป็นศูนย์อย่างแน่นอนนอกบริเวณที่กระชับ มีค่าเป็นหนึ่งอย่างแน่นอนในช่วงภายในบริเวณนั้น และเปลี่ยนแปลงอย่างราบรื่นและเป็นเอกภาพระหว่างขีดจำกัดเหล่านั้น การใช้งานเป็นฟังก์ชันหน้าต่างในการประมวลผลสัญญาณได้รับการเสนอแนะครั้งแรกในบริบทของดาราศาสตร์คลื่นแรงโน้มถ่วงโดยได้รับแรงบันดาลใจจากการกระจายของพลังค์ [ ^{56 ] มัน}ถูกกำหนดให้เป็นฟังก์ชันแบบแบ่งส่วน:${\displaystyle C^{\infty }}$

${\displaystyle \left.{\begin{array}{lll}w[0]=0,\\w[n]=\left(1+\exp \left({\frac {\varepsilon N}{n}}-{\frac {\varepsilon N}{\varepsilon N-n}}\right)\right)^{-1},\quad &1\leq n<\varepsilon N\\w[n]=1,\quad &\varepsilon N\leq n\leq {\frac {N}{2}}\\w[N-n]=w[n],\quad &0\leq n\leq {\frac {N}{2}}\end{array}}\right\}}$

ปริมาณการเรียวลงนั้นถูกควบคุมโดยพารามิเตอร์εโดยค่าที่น้อยกว่าจะให้การเปลี่ยนแปลงที่คมชัดกว่า

DPSS (ลำดับทรงรีแบบแยกส่วน) หรือฟังก์ชัน Slepian , taper หรือ window จะเพิ่มความเข้มข้นของพลังงานในกลีบหลักให้สูงสุด [ ^{57 ] และ}ใช้ใน การวิเคราะห์สเปกตรัม แบบ multitaperซึ่งจะเฉลี่ยสัญญาณรบกวนในสเปกตรัมและลดการสูญเสียข้อมูลที่ขอบของหน้าต่าง

กลีบหลักสิ้นสุดที่ช่องความถี่ที่กำหนดโดย^{พารามิเตอร์} α [ ^{58 ]}

หน้าต่าง Kaiser ด้านล่างนี้สร้างขึ้นโดยการประมาณค่าอย่างง่ายจากหน้าต่าง DPSS:

หน้าต่าง Kaiser หรือ Kaiser–Bessel เป็นการประมาณค่าอย่างง่ายของหน้าต่าง DPSSโดยใช้ฟังก์ชัน Besselซึ่งค้นพบโดยJames Kaiser ^{[ 59 ] [ 60 ]}

${\displaystyle w[n]={\frac {I_{0}\left(\pi \alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2n}{N}}-1\right)^{2}}}\right)}{I_{0}(\pi \alpha )}},\quad 0\leq n\leq N}$^{[ D ] [ 16 ] : หน้า 73}

${\displaystyle w_{0}(n)={\frac {I_{0}\left(\pi \alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2n}{N}}\right)^{2}}}\right)}{I_{0}(\pi \alpha )}},\quad -N/2\leq n\leq N/2}$

โดยที่ ฟังก์ชันเบสเซลที่ดัดแปลงลำดับที่ 0 ชนิดแรก พารามิเตอร์ตัวแปร^จะกำหนดการแลกเปลี่ยนระหว่างความกว้างของกลีบหลักและระดับกลีบข้างของรูปแบบการรั่วไหลของสเปกตรัม ความกว้างของกลีบหลักระหว่างจุดศูนย์จะกำหนดโดยในหน่วยของช่อง DFT ^{[ 67 ]}และค่าทั่วไปของคือ 3 ${\displaystyle I_{0}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle 2{\sqrt {1+\alpha ^{2}}},}$${\displaystyle \alpha }$

ลดค่า มาตรฐานเชบิเชฟของกลีบข้างให้น้อยที่สุด สำหรับความกว้างกลีบหลักที่กำหนด ^{[ 68 ]}

ฟังก์ชันหน้าต่าง Dolph–Chebyshev เฟสศูนย์ มักจะถูกกำหนดในแง่ของ การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องที่^มีค่าจริง: [ ^{69 ]}${\displaystyle w_{0}[n]}$${\displaystyle W_{0}[k]}$

${\displaystyle W_{0}(k)={\frac {T_{N}{\big (}\beta \cos \left({\frac {\pi k}{N+1}}\right){\big )}}{T_{N}(\beta )}}={\frac {T_{N}{\big (}\beta \cos \left({\frac {\pi k}{N+1}}\right){\big )}}{10^{\alpha }}},\ 0\leq k\leq N.}$

T _n ( x ) คือ พหุ นามเชบิเชฟลำดับ ที่ nชนิดแรกที่ประเมินค่าในxซึ่งสามารถคำนวณได้โดยใช้

${\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos \!{\big (}n\cos ^{-1}(x){\big )}&{\text{if }}-1\leq x\leq 1\\\cosh \!{\big (}n\cosh ^{-1}(x){\big )}&{\text{if }}x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh \!{\big (}n\cosh ^{-1}(-x){\big )}&{\text{if }}x\leq -1,\end{cases}}}$

และ

${\displaystyle \beta =\cosh \!{\big (}{\tfrac {1}{N}}\cosh ^{-1}(10^{\alpha }){\big )}}$

เป็นคำตอบจริงบวกที่ไม่ซ้ำกันสำหรับโดยที่พารามิเตอร์αกำหนดค่ามาตรฐานเชบิเชฟของไซด์โลบเป็น −20 α  เดซิเบล^{[ 68 ]}${\displaystyle T_{N}(\beta )=10^{\alpha }}$

ฟังก์ชันหน้าต่างสามารถคำนวณได้จากW ₀ ( k ) โดยใช้การแปลงฟูริเยร์ แบบไม่ต่อเนื่องผกผัน (DFT): ^{[ 68 ]}

${\displaystyle w_{0}(n)={\frac {1}{N+1}}\sum _{k=0}^{N}W_{0}(k)\cdot e^{i2\pi kn/(N+1)},\ -N/2\leq n\leq N/2.}$

สามารถดูเวอร์ชัน ที่หน่วงเวลาของหน้าต่างได้โดย:

${\displaystyle w[n]=w_{0}\left(n-{\frac {N}{2}}\right),\quad 0\leq n\leq N,}$

ซึ่งสำหรับค่าN ที่เป็นเลขคู่ จะต้องคำนวณดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{0}\left(n-{\frac {N}{2}}\right)={\frac {1}{N+1}}\sum _{k=0}^{N}W_{0}(k)\cdot e^{\frac {i2\pi k(n-N/2)}{N+1}}={\frac {1}{N+1}}\sum _{k=0}^{N}\left[\left(-e^{\frac {i\pi }{N+1}}\right)^{k}\cdot W_{0}(k)\right]e^{\frac {i2\pi kn}{N+1}},\end{aligned}}}$

ซึ่งเป็นการแปลง DFT ผกผันของ${\displaystyle \left(-e^{\frac {i\pi }{N+1}}\right)^{k}\cdot W_{0}(k).}$

รูปแบบต่างๆ:

• เนื่องจากเงื่อนไข equiripple ทำให้หน้าต่างในโดเมนเวลาเกิดความไม่ต่อเนื่องที่ขอบ การประมาณค่าที่หลีกเลี่ยงความไม่ต่อเนื่องเหล่านี้ โดยการปล่อยให้ equiripple ลดลงที่ขอบ คือหน้าต่างเทย์เลอร์
• นอกจากนี้ยังมีทางเลือกอื่นนอกเหนือจากคำจำกัดความ DFT ผกผันอีกด้วย[1 ]

หน้าต่างอัลตร้าสเฟริคัลได้รับการแนะนำในปี 1984 โดย Roy Streit ^{[ 70 ]}และมีการประยุกต์ใช้ในการออกแบบอาร์เรย์เสาอากาศ^{[ 71 ]}การออกแบบตัวกรองแบบไม่วนซ้ำ^{[ 70 ]}และการวิเคราะห์สเปกตรัม^{[ 72 ]}

เช่นเดียวกับหน้าต่างปรับได้อื่นๆ หน้าต่าง Ultraspherical มีพารามิเตอร์ที่สามารถใช้ควบคุมความกว้างของกลีบหลักของการแปลงฟูริเยร์และแอมพลิจูดของกลีบข้างสัมพัทธ์ได้ ซึ่งแตกต่างจากหน้าต่างอื่นๆ ตรงที่มีพารามิเตอร์เพิ่มเติมที่สามารถใช้กำหนดอัตราที่แอมพลิจูดของกลีบข้างลดลง (หรือเพิ่มขึ้น) ^{[ 72 ] [ 73 ] [ 74 ]}

หน้าต่างสามารถแสดงในโดเมนเวลาได้ดังนี้: ^{[ 72 ]}

${\displaystyle w[n]={\frac {1}{N+1}}\left[C_{N}^{\mu }(x_{0})+\sum _{k=1}^{\frac {N}{2}}C_{N}^{\mu }\left(x_{0}\cos {\frac {k\pi }{N+1}}\right)\cos {\frac {2n\pi k}{N+1}}\right]}$

โดยที่พหุนามอัลตร้าสเฟริคัลดีกรี N และควบคุมรูปแบบกลีบข้าง^{[ 72 ]}${\displaystyle C_{N}^{\mu }}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \mu }$

ค่าเฉพาะบางค่าของผลผลิตจะให้หน้าต่างที่รู้จักกันดีอื่นๆและให้หน้าต่าง Dolph–Chebyshev และSaramäkiตามลำดับ^{[ 70 ]}ดูที่นี่สำหรับภาพประกอบของหน้าต่าง Ultraspherical ที่มีการกำหนดพารามิเตอร์ที่หลากหลาย ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \mu =1}$

หน้าต่างปัวซง หรือโดยทั่วไปเรียกว่าหน้าต่างเอกซ์โพเนนเชียล จะเพิ่มขึ้นแบบเอกซ์โพเนนเชียลไปทางศูนย์กลางของหน้าต่างและลดลงแบบเอกซ์โพเนนเชียลในช่วงครึ่งหลัง เนื่องจากฟังก์ชันเอกซ์โพเน น เชียลไม่เคยถึงศูนย์ ค่าของหน้าต่างที่ขอบจึงไม่ใช่ศูนย์ (สามารถมองได้ว่าเป็นการคูณฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลด้วยหน้าต่างสี่เหลี่ยมผืนผ้า^{[ 75 ]} ) โดยกำหนดโดย

${\displaystyle w[n]=e^{-\left|n-{\frac {N}{2}}\right|{\frac {1}{\tau }}},}$

โดยที่τคือค่าคงที่เวลาของฟังก์ชัน ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะลดลงเป็นe  ≃ 2.71828 หรือประมาณ 8.69 dB ต่อค่าคงที่เวลา^{[ 76 ]} ซึ่งหมายความว่าสำหรับการลดลงเป้าหมายที่D  dB ในช่วงครึ่งหนึ่งของความยาวหน้าต่าง ค่าคงที่เวลาτจะกำหนดโดย

${\displaystyle \tau ={\frac {N}{2}}{\frac {8.69}{D}}.}$

ฟังก์ชันหน้าต่างยังสามารถสร้างขึ้นได้ในรูปแบบของการคูณหรือการบวกกับฟังก์ชันหน้าต่างอื่นๆ อีกด้วย

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\left|{\frac {n}{N}}-{\frac {1}{2}}\right|-a_{2}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.62;\quad a_{1}=0.48;\quad a_{2}=0.38\,}$

หน้าต่างPlanck-taperคูณด้วยหน้าต่าง Kaiserซึ่งกำหนดโดยใช้ฟังก์ชัน Bessel ที่ดัดแปลงฟังก์ชันหน้าต่างไฮบริดนี้ถูกนำมาใช้เพื่อลดระดับกลีบข้างยอดของหน้าต่าง Planck-taper ในขณะที่ยังคงใช้ประโยชน์จากการลดลงแบบเชิงเส้นกำกับที่ดี^{[ 77 ]}มีพารามิเตอร์ที่ปรับได้สองตัว คือεจาก Planck-taper และαจากหน้าต่าง Kaiser ดังนั้นจึงสามารถปรับให้เหมาะสมกับความต้องการของสัญญาณที่กำหนดได้

หน้าต่างHannคูณด้วยหน้าต่าง Poissonเนื่องจากไม่มีกลีบข้าง เนื่องจากการแปลงฟูริเยร์จะลดลงเรื่อยๆ ออกจากกลีบหลักโดยไม่มีจุดต่ำสุดเฉพาะที่ จึงสามารถใช้ใน อัลก อริธึมปีนเขาเช่นวิธีของนิวตันได้ [ ^{78 ] หน้าต่าง} Hann–Poisson ถูกกำหนดโดย: ${\displaystyle \alpha \geqslant 2}$

${\displaystyle w[n]={\frac {1}{2}}\left(1-\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)\right)e^{\frac {-\alpha \left|N-2n\right|}{N}}\,}$

โดยที่αเป็นพารามิเตอร์ที่ควบคุมความชันของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

หน้าต่าง GAP เป็นกลุ่มของฟังก์ชันหน้าต่างที่ปรับได้ ซึ่งอิงตามการขยายพหุนามสมมาตรอันดับ n เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีอนุพันธ์ต่อเนื่องทุกจุด ด้วยชุดสัมประสิทธิ์การขยายและอันดับการขยายที่เหมาะสม หน้าต่าง GAP สามารถเลียนแบบฟังก์ชันหน้าต่างที่รู้จักทั้งหมดได้ โดยจำลองคุณสมบัติทางสเปกตรัมได้อย่างแม่นยำ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle w_{0}[n]=a_{0}+\sum _{k=1}^{K}a_{2k}\left({\frac {n}{\sigma }}\right)^{2k},\quad -{\frac {N}{2}}\leq n\leq {\frac {N}{2}},}$^{[ 79 ]}

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของลำดับ อยู่ ที่ใด${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \{n\}}$

นอกจากนี้ การเริ่มต้นด้วยชุดสัมประสิทธิ์การขยายตัวที่เลียนแบบฟังก์ชันหน้าต่างที่รู้จักบางอย่าง หน้าต่าง GAP สามารถปรับให้เหมาะสมที่สุดได้ด้วยกระบวนการลดค่าเพื่อให้ได้ชุดสัมประสิทธิ์ใหม่ที่ปรับปรุงคุณสมบัติสเปกตรัมอย่างน้อยหนึ่งอย่าง เช่น ความกว้างของกลีบหลัก การลดทอนของกลีบข้าง และอัตราการลดลงของกลีบข้าง^{[ 80 ]}ดังนั้น ฟังก์ชันหน้าต่าง GAP สามารถพัฒนาได้ด้วยคุณสมบัติสเปกตรัมที่ออกแบบไว้โดยขึ้นอยู่กับการใช้งานเฉพาะ ${\displaystyle a_{2k}}$

$${\displaystyle w[n]=\operatorname {sinc} \left({\frac {2n}{N}}-1\right)}$$

• ใช้ในการสุ่มตัวอย่างใหม่แบบ Lanczos
• สำหรับหน้าต่าง Lanczos นั้นถูกกำหนดดังนี้${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)}$${\displaystyle \sin(\pi x)/\pi x}$
• เรียกอีกอย่างว่าหน้าต่าง sincเนื่องจากเป็นส่วนหลักของฟังก์ชัน sinc ที่ถูกทำให้เป็นมาตรฐาน$${\displaystyle w_{0}(n)=\operatorname {sinc} \left({\frac {2n}{N}}\right)\,}$$

ตามหลักการข้างต้น รูปแบบจะสมมาตรโดยรอบอย่างไรก็ตามมีฟังก์ชันหน้าต่างบางประเภทที่ไม่สมมาตร เช่น การแจกแจงแกมมาที่ใช้ในการใช้งานตัวกรองแกมมาโทน ในระบบ FIR หรือการแจกแจงเบตาสำหรับการประมาณค่าแบบจำกัดขอบเขตของการแจกแจงแกมมา ความไม่สมมาตรเหล่านี้ใช้เพื่อลดความล่าช้าเมื่อใช้ขนาดหน้าต่างขนาดใหญ่ หรือเพื่อเน้นช่วงเริ่มต้นของพัลส์ที่ค่อยๆ ลดลง ${\displaystyle w_{0}(x)}$${\displaystyle x=0}$

ฟังก์ชันที่มีขอบเขตและมีฐานรองรับแบบกระชับรวมถึงฟังก์ชันแบบไม่สมมาตร สามารถนำมาใช้เป็นฟังก์ชันหน้าต่างได้อย่างง่ายดาย นอกจากนี้ ยังมีวิธีการแปลงหน้าต่างแบบสมมาตรให้เป็นหน้าต่างแบบไม่สมมาตรโดยการแปลงพิกัดเวลา เช่น ด้วยสูตรด้านล่าง

${\displaystyle x\leftarrow N\left({\frac {x}{N}}+{\frac {1}{2}}\right)^{\alpha }-{\frac {N}{2}}\,,}$

โดยที่หน้าต่างจะให้น้ำหนักกับตัวอย่างแรกสุดมากกว่าเมื่อและในทางกลับกันจะให้น้ำหนักกับตัวอย่างล่าสุดมากกว่าเมื่อ^{[ 81 ]}${\displaystyle \alpha >1}$${\displaystyle \alpha <1}$

• การลดสัญญาณรบกวน
• ตัวกรอง Kolmogorov–Zurbenko
• มัลติเทเปอร์
• การแปลงฟูริเยร์แบบช่วงเวลาสั้น
• การรั่วไหลของสเปกตรัม
• วิธีเวลช์
• ฟังก์ชันน้ำหนัก
• วิธีการออกแบบหน้าต่าง

• Harris, Frederic J. (September 1976). "Windows, Harmonic Analysis, and the Discrete Fourier Transform"(PDF). apps.dtic.mil. Naval Undersea Center, San Diego. Archived(PDF) from the original on April 8, 2019. Retrieved 2019-04-08.
• Albrecht, Hans-Helge (2012). Tailored minimum sidelobe and minimum sidelobe cosine-sum windows. Version 1.0. Vol. ISBN 978-3-86918-281-0 ). editor: Physikalisch-Technische Bundesanstalt. Physikalisch-Technische Bundesanstalt. doi:10.7795/110.20121022aa. ISBN 978-3-86918-281-0.
• Bergen, S.W.A.; Antoniou, A. (2005). "Design of Nonrecursive Digital Filters Using the Ultraspherical Window Function". EURASIP Journal on Applied Signal Processing. 2005 (12): 1910–1922. Bibcode:2005EJASP2005...44B. doi:10.1155/ASP.2005.1910.
• Prabhu, K. M. M. (2014). Window Functions and Their Applications in Signal Processing. Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1-4665-1583-3.
• US patent 7065150, Park, Young-Seo, "System and method for generating a root raised cosine orthogonal frequency division multiplexing (RRC OFDM) modulation", published 2003, issued 2006 

• Media related to Window function at Wikimedia Commons
• LabView Help, Characteristics of Smoothing Filters, http://zone.ni.com/reference/en-XX/help/371361B-01/lvanlsconcepts/char_smoothing_windows/
• การสร้างและคุณสมบัติของฟังก์ชันหน้าต่างผลรวมโคไซน์http://electronicsart.weebly.com/fftwindows.html
• การจำลอง FFT แบบโต้ตอบออนไลน์, Windows, ความละเอียด และการรั่วไหล | RITEC | คลังเครื่องมือและเครื่องมือ