ปัญหาที่ยังแก้ไม่ได้ในวิชาคณิตศาสตร์

ทำ${\displaystyle n!+1=m^{2}}$มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มอื่นนอกเหนือจาก${\displaystyle n=4,5,7}$?

ปัญหาที่ยังแก้ไม่ตกในวิชาคณิตศาสตร์ยังมีอีกมากมาย

ปัญหาของโบรคาร์ดเป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ต้องการหาค่าจำนวนเต็ม ของ${\displaystyle n}$โดยที่${\displaystyle n!+1}$เป็นกำลังสองสมบูรณ์ โดยที่${\displaystyle n!}$คือแฟกทอเรียลมีเพียงสามค่าของ${\displaystyle n}$ทราบค่าn แล้ว คือ 4, 5, 7 และยังไม่ทราบว่ามีค่าอื่นอีกหรือไม่ แม้ว่าการวิจัยจะขยายไปไกลกว่า n > 7 แล้ว แต่ก็ยังไม่พบ คำตอบเพิ่มเติมสำหรับสมการ n! + 1 = m ²

กล่าวอย่างเป็นทางการมากขึ้น คือมันจะค้นหาคู่ของจำนวนเต็ม${\displaystyle n}$และ${\displaystyle m}$โดยที่$${\displaystyle n!+1=m^{2}.}$$ปัญหาดังกล่าวถูกตั้งขึ้นโดยHenri Brocardในบทความสองฉบับในปี พ.ศ. 2419 และ พ.ศ. 2428 ^{[ 1 ] [ 2 ]}และโดยอิสระในปี พ.ศ. 2456 โดยSrinivasa Ramanujan ^{[ 3 ]}

คู่ของตัวเลข${\displaystyle (n,m)}$ตัวเลขที่แก้ปัญหาของ Brocard ได้รับการตั้งชื่อว่าBrown numbersโดยClifford A. PickoverในหนังสือKeys to Infinity ปี 1995 ของเขา หลังจากได้เรียนรู้ปัญหาจาก Kevin S. Brown ^{[ 4 ]}ณ เดือนตุลาคม 2022 มีตัวเลข Brown numbers ที่รู้จักเพียงสามคู่เท่านั้น:

โดยอิงตามความเท่าเทียมกัน

Paul Erdősตั้งข้อสันนิษฐานว่าไม่มีวิธีแก้ปัญหาอื่นใดอีก^{[ 5 ]}การค้นหาทางคอมพิวเตอร์ไม่พบวิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติมใดๆ${\displaystyle n\leq 10^{15}}$[ ^{6 ] [ 7 ] [ 8 ]​}

จาก สมมติฐาน abcจะสรุปได้ว่ามีจำนวนบราวน์เพียงจำนวนจำกัด^{[ 9 ]} โดยทั่วไปแล้ว จากสมมติฐาน abc ก็จะสรุปได้ว่า $${\displaystyle n!+A=k^{2}}$$ มีคำตอบเพียงจำนวนจำกัดสำหรับจำนวนเต็มใดๆ ที่กำหนดให้${\displaystyle A}$[ ^{10 ] และ}ว่า $${\displaystyle n!=P(x)}$$ สำหรับพหุนามใดๆ ที่กำหนดให้ จะมีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มเพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น${\displaystyle P(x)}$ที่มีดีกรีอย่างน้อย 2 โดยมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม^{[ 11 ]}