บทพิสูจน์ต่อไปนี้แตกต่างจากบทพิสูจน์ในเอกสารต้นฉบับเล็กน้อย นอกจากนี้ยังมีความเป็นทั่วไปมากกว่า เนื่องจากพิจารณาตัวประมาณเชิงเส้นทั้งหมด ในขณะที่บทพิสูจน์เดิมพิจารณาเฉพาะตัวประมาณตามการอ้างสิทธิ์เฉลี่ยเท่านั้น^{[ 2 ]}

บทตั้ง.ปัญหาดังกล่าวสามารถกล่าวได้อีกแบบหนึ่งว่า:

${\displaystyle f=\mathbb {E} \left[\left(a_{i0}+\sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}-m(\vartheta )\right)^{2}\right]\to \min }$

การพิสูจน์:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} \left[\left(a_{i0}+\sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}-m(\vartheta )\right)^{2}\right]&=\mathbb {E} \left[\left(a_{i0}+\sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}-\Pi \right)^{2}\right]+\mathbb {E} \left[\left(m(\vartheta )-\Pi \right)^{2}\right]-2\mathbb {E} \left[\left(a_{i0}+\sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}-\Pi \right)\left(m(\vartheta )-\Pi \right)\right]\\&=\mathbb {E} \left[\left(a_{i0}+\sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}-\Pi \right)^{2}\right]+\mathbb {E} \left[\left(m(\vartheta )-\Pi \right)^{2}\right]\end{aligned}}}$

สมการสุดท้ายเป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} \left[\left(a_{i0}+\sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}-\Pi \right)\left(m(\vartheta )-\Pi \right)\right]&=\mathbb {E} _{\Theta }\left[\mathbb {E} _{X}\left.\left[\left(a_{i0}+\sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}-\Pi \right)(m(\vartheta )-\Pi )\right|X_{i1},\ldots ,X_{im}\right]\right]\\&=\mathbb {E} _{\Theta }\left[\left(a_{i0}+\sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}-\Pi \right)\left[\mathbb {E} _{X}\left[(m(\vartheta )-\Pi )|X_{i1},\ldots ,X_{im}\right]\right]\right]\\&=0\end{aligned}}}$

ในที่นี้เราใช้กฎของความคาดหวังโดยรวมและข้อเท็จจริงที่ว่า${\displaystyle \Pi =\mathbb {E} [m(\vartheta )|X_{i1},\ldots ,X_{im}].}$

ในสมการก่อนหน้านี้ เราได้แยกฟังก์ชันที่ลดค่าลงแล้วออกเป็นผลรวมของสองนิพจน์ นิพจน์ที่สองไม่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ที่ใช้ในการลดค่า ดังนั้น การลดค่าฟังก์ชันจึงเหมือนกับการลดค่าส่วนแรกของผลรวม

มาหาจุดวิกฤตของฟังก์ชันกันเถอะ

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\partial f}{\partial a_{i0}}}=\mathbb {E} \left[a_{i0}+\sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}-m(\vartheta )\right]=a_{i0}+\sum _{j=1}^{m}a_{ij}\mathbb {E} (X_{ij})-\mathbb {E} (m(\vartheta ))=a_{i0}+\left(\sum _{j=1}^{m}a_{ij}-1\right)\mu }$

${\displaystyle a_{i0}=\left(1-\sum _{j=1}^{m}a_{ij}\right)\mu }$

เพราะเรามี:${\displaystyle k\neq 0}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\partial f}{\partial a_{ik}}}=\mathbb {E} \left[X_{ik}\left(a_{i0}+\sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}-m(\vartheta )\right)\right]=\mathbb {E} \left[X_{ik}\right]a_{i0}+\sum _{j=1,j\neq k}^{m}a_{ij}\mathbb {E} [X_{ik}X_{ij}]+a_{ik}\mathbb {E} [X_{ik}^{2}]-\mathbb {E} [X_{ik}m(\vartheta )]=0}$

เราสามารถทำให้การหาอนุพันธ์ง่ายขึ้นได้ โดยสังเกตว่า:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} [X_{ij}X_{ik}]&=\mathbb {E} \left[\mathbb {E} [X_{ij}X_{ik}|\vartheta ]\right]=\mathbb {E} [{\text{cov}}(X_{ij}X_{ik}|\vartheta )+\mathbb {E} (X_{ij}|\vartheta )\mathbb {E} (X_{ik}|\vartheta )]=\mathbb {E} [(m(\vartheta ))^{2}]=v^{2}+\mu ^{2}\\\mathbb {E} [X_{ik}^{2}]&=\mathbb {E} \left[\mathbb {E} [X_{ik}^{2}|\vartheta ]\right]=\mathbb {E} [s^{2}(\vartheta )+(m(\vartheta ))^{2}]=\sigma ^{2}+v^{2}+\mu ^{2}\\\mathbb {E} [X_{ik}m(\vartheta )]&=\mathbb {E} [\mathbb {E} [X_{ik}m(\vartheta )|\Theta _{i}]=\mathbb {E} [(m(\vartheta ))^{2}]=v^{2}+\mu ^{2}\end{aligned}}}$

เมื่อนำสมการข้างต้นมาแทนค่าลงในอนุพันธ์ เราจะได้:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\partial f}{\partial a_{ik}}}=\left(1-\sum _{j=1}^{m}a_{ij}\right)\mu ^{2}+\sum _{j=1,j\neq k}^{m}a_{ij}(v^{2}+\mu ^{2})+a_{ik}(\sigma ^{2}+v^{2}+\mu ^{2})-(v^{2}+\mu ^{2})=a_{ik}\sigma ^{2}-\left(1-\sum _{j=1}^{m}a_{ij}\right)v^{2}=0}$

${\displaystyle \sigma ^{2}a_{ik}=v^{2}\left(1-\sum _{j=1}^{m}a_{ij}\right)}$

ด้านขวาไม่ขึ้นอยู่กับkดังนั้น ค่าทั้งหมดจึงคงที่${\displaystyle a_{ik}}$

${\displaystyle a_{i1}=\cdots =a_{im}={\frac {v^{2}}{\sigma ^{2}+mv^{2}}}}$

จากวิธีแก้ปัญหาที่เรามี${\displaystyle a_{i0}}$

${\displaystyle a_{i0}=(1-ma_{ik})\mu =\left(1-{\frac {mv^{2}}{\sigma ^{2}+mv^{2}}}\right)\mu }$

สุดท้ายแล้ว ตัวประมาณค่าที่ดีที่สุดคือ

${\displaystyle a_{i0}+\sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}={\frac {mv^{2}}{\sigma ^{2}+mv^{2}}}{\bar {X_{i}}}+\left(1-{\frac {mv^{2}}{\sigma ^{2}+mv^{2}}}\right)\mu =Z{\bar {X_{i}}}+(1-Z)\mu }$