ในทางคณิตศาสตร์การทำให้เป็นเชิงเส้นแบบคาร์เลแมน (หรือการฝังตัวแบบคาร์เลแมน ) เป็นเทคนิคในการแปลงระบบพลวัตแบบ ไม่เชิงเส้นที่มีมิติจำกัดให้เป็น ระบบเชิงเส้นที่มีมิติอนันต์โดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวีเดนTorsten Carleman เป็นผู้ริเริ่มเทคนิคนี้ ในปี 1932 ^{[ 1 ]}การทำให้เป็นเชิงเส้นแบบคาร์เลแมนมีความเกี่ยวข้องกับตัวดำเนินการประกอบและถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการศึกษาระบบพลวัต นอกจากนี้ยังถูกนำไปใช้ในหลายสาขาประยุกต์ เช่น ในทฤษฎีการควบคุม^{[ 2 ] [ 3 ]}และใน การ คำนวณควอนตัม^{[ 4 ] [ 5 ]}

พิจารณาระบบไม่เชิงเส้น แบบอัตโนมัติต่อไปนี้ :

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)+\sum _{j=1}^{m}g_{j}(x)d_{j}(t)}$

โดยที่แทนเวกเตอร์สถานะของระบบ นอกจาก นี้ และเป็นฟังก์ชันเวกเตอร์เชิงวิเคราะห์ที่ทราบค่า และคือองค์ประกอบของการรบกวนที่ไม่ทราบค่าต่อระบบ ${\displaystyle x\in R^{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g_{i}}$${\displaystyle d_{j}}$${\displaystyle j^{th}}$

ณ จุดค่าที่ต้องการ ฟังก์ชันไม่เชิงเส้นในระบบข้างต้นสามารถประมาณได้โดยใช้การกระจายอนุกรมเทย์เลอร์

${\displaystyle f(x)\simeq f(x_{0})+\sum _{k=1}^{\eta }{\frac {1}{k!}}\partial f_{[k]}\mid _{x=x_{0}}(x-x_{0})^{[k]}}$

โดยที่คืออนุพันธ์ย่อยของเทียบกับที่และแทนผลคูณโครเนกเกอร์ ${\displaystyle \partial f_{[k]}\mid _{x=x_{0}}}$${\displaystyle k^{th}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x=x_{0}}$${\displaystyle x^{[k]}}$${\displaystyle k^{th}}$

โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป เราสมมติว่าอยู่ที่จุดกำเนิด ${\displaystyle x_{0}}$

เมื่อใช้การประมาณค่าแบบเทย์เลอร์กับระบบ เราจะได้

${\displaystyle {\dot {x}}\simeq \sum _{k=0}^{\eta }A_{k}x^{[k]}+\sum _{j=1}^{m}\sum _{k=0}^{\eta }B_{jk}x^{[k]}d_{j}}$

ที่ไหนและ. ${\displaystyle A_{k}={\frac {1}{k!}}\partial f_{[k]}\mid _{x=0}}$${\displaystyle B_{jk}={\frac {1}{k!}}\partial g_{j[k]}\mid _{x=0}}$

ดังนั้น จึงได้ระบบเชิงเส้นต่อไปนี้สำหรับลำดับที่สูงกว่าของสถานะดั้งเดิม:

${\displaystyle {\frac {d(x^{[i]})}{dt}}\simeq \sum _{k=0}^{\eta -i+1}A_{i,k}x^{[k+i-1]}+\sum _{j=1}^{m}\sum _{k=0}^{\eta -i+1}B_{j,i,k}x^{[k+i-1]}d_{j}}$

โดยที่และในทำนองเดียวกัน ${\displaystyle A_{i,k}=\sum _{l=0}^{i-1}I_{n}^{[l]}\otimes A_{k}\otimes I_{n}^{[i-1-l]}}$${\displaystyle B_{j,i,\kappa }=\sum _{l=0}^{i-1}I_{n}^{[l]}\otimes B_{j,\kappa }\otimes I_{n}^{[i-1-l]}}$

เมื่อใช้ตัวดำเนิน การ ผลคูณโครเนกเกอร์ระบบโดยประมาณจะแสดงในรูปแบบต่อไปนี้

${\displaystyle {\dot {x}}_{\otimes }\simeq Ax_{\otimes }+\sum _{j=1}^{m}[B_{j}x_{\otimes }d_{j}+B_{j0}d_{j}]+A_{r}}$

โดยที่ เมทริกซ์ , และและถูกกำหนดไว้ใน (Hashemian และ Armaou 2015) ^{[ 6 ]}${\displaystyle x_{\otimes }={\begin{bmatrix}x^{T}&x^{{[2]}^{T}}&...&x^{{[\eta ]}^{T}}\end{bmatrix}}^{T}}$${\displaystyle A,B_{j},A_{r}}$${\displaystyle B_{j,0}}$

• เมทริกซ์จาโบตินสกี
• ตัวดำเนินการประกอบ

• การบรรยายเรื่องการทำให้เป็นเชิงเส้นแบบคาร์เลแมนโดยอิกอร์ เมซิช