ในทางคณิตศาสตร์การแยกส่วนแบบคาร์ตันเป็นการแยกส่วนของกลุ่มลีแบบกึ่งง่าย หรือพีชคณิตลีซึ่งมีบทบาทสำคัญในทฤษฎีโครงสร้างและทฤษฎีการแทนโดยเป็นการขยายการแยกส่วนแบบขั้วหรือการแยกส่วนค่าเอกลักษณ์ของเมทริกซ์ ประวัติของมันสามารถสืบย้อนไปถึงผลงานของÉlie CartanและWilhelm Killing ในช่วงทศวรรษ 1880 ^{[ 1 ]}

ให้เป็นพีชคณิตลีแบบกึ่งง่าย จริง และให้เป็นรูปแบบคิลลิง ของ การผกผันบนคือออโตมอร์ ฟิซึม ของ พีชคณิต ลีที่มีกำลังสองเท่ากับเอกลักษณ์ การผกผันดังกล่าวเรียกว่าการผกผันแบบคาร์ตันบนถ้าเป็นรูปแบบทวิเชิงเส้นบวกแน่นอน ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle B(\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle B_{\theta }(X,Y):=-B(X,\theta Y)}$

อินโวลูชันสองแบบและจะถือว่าเทียบเท่ากันหากแตกต่างกันเพียงแค่การแปลงอัตโนมัติภายในเท่านั้น ${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \theta _{2}}$

พีชคณิตลีแบบกึ่งง่ายจริงใดๆ ก็มีอินโวลูชันแบบคาร์ตัน และอินโวลูชันแบบคาร์ตันสองตัวใดๆ ก็สมมูลกัน

• การผกผันแบบคาร์ตันบนถูกกำหนดโดย โดยที่แทนเมทริกซ์สลับตำแหน่งของ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \theta (X)=-X^{T}}$${\displaystyle X^{T}}$${\displaystyle X}$
• แผนที่เอกลักษณ์บนคือการผกผัน มันคืออินโวลูชันคาร์ตันที่ไม่ซ้ำกันของ ก็ต่อเมื่อฟอร์มคิลลิงของเป็นเมทริกซ์กำหนดลบ หรือเทียบเท่า ก็ต่อเมื่อเป็นพีชคณิตลีของกลุ่มลีแบบกึ่งง่ายขนาดกะทัดรัด${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• ให้เป็นการทำให้เป็นจำนวนเชิงซ้อนของพีชคณิตลีแบบกึ่งง่ายจริงแล้วการผันเชิงซ้อนบนเป็นการผกผันบนนี่คือการผกผันแบบคาร์ตันบนก็ต่อเมื่อเป็นพีชคณิตลีของกลุ่มลีแบบกระชับ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}__{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}__{0}}$
• แผนที่ต่อไปนี้เป็นการผกผันของพีชคณิตลีของกลุ่มเอกภาพพิเศษSU(n) : ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$
  1. การผกผันเอกลักษณ์ซึ่งเป็นการผกผันคาร์ตันที่ไม่ซ้ำกันในกรณีนี้${\displaystyle \theta _{1}(X)=X}$
  2. การผันเชิงซ้อนสามารถแสดงได้ดังนี้${\displaystyle \theta _{2}(X)=-X^{T}}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$
  3. ถ้าเป็นจำนวนคี่การผกผัน (1), (2) และ (3) เทียบเท่ากัน แต่ไม่เทียบเท่ากับการผกผันเอกลักษณ์เนื่องจาก${\displaystyle n=p+q}$${\displaystyle \theta _{3}(X)={\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}X{\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}\notin {\mathfrak {su}}(n)}$
  4. ถ้าเป็นจำนวนคู่ ก็จะมีอีกจำนวนหนึ่งด้วย${\displaystyle n=2m}$${\displaystyle \theta _{4}(X)={\begin{pmatrix}0&I_{m}\\-I_{m}&0\end{pmatrix}}X^{T}{\begin{pmatrix}0&I_{m}\\-I_{m}&0\end{pmatrix}}}$

ให้เป็นการผกผันบนพีชคณิตลีเนื่องจากแผนที่เชิงเส้นมีค่าลักษณะเฉพาะสองค่าคือ ถ้าและแทนปริภูมิลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับ +1 และ -1 ตามลำดับ แล้วเนื่องจากเป็นออโตมอร์ฟิซึมของพีชคณิตลี วงเล็บลีของปริภูมิลักษณะเฉพาะสองปริภูมิของมันจึงบรรจุอยู่ในปริภูมิลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับผลคูณของค่าลักษณะเฉพาะของพวกมัน ดังนั้น ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \theta ^{2}=1}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle [{\mathfrak {k}},{\mathfrak {k}}]\subseteq {\mathfrak {k}}}$, , และ.${\displaystyle [{\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}}]\subseteq {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle [{\mathfrak {p}},{\mathfrak {p}}]\subseteq {\mathfrak {k}}}$

ดังนั้น จึงเป็นพีชคณิตย่อยของ Lie ในขณะที่พีชคณิตย่อยใดๆ ของ นั้นเป็นพีชคณิตสลับที่ได้ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

ใน ทางกลับกัน การแยกส่วนประกอบที่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมเหล่านี้จะกำหนดการผกผันบนซึ่งอยู่บนและบน${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

คู่ดังกล่าวเรียกอีกอย่างว่าคู่คาร์ตัน (Cartan pair ) และเรียกว่าคู่สมมาตร (symmetric pair ) แนวคิดของคู่คาร์ตันในที่นี้ไม่ควรสับสนกับแนวคิดที่แตกต่างกันซึ่งเกี่ยวข้องกับโคฮอโมโลยีของพีชคณิตลี (Lie algebra cohomology ) สัมพัทธ์${\displaystyle ({\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}})}$${\displaystyle H^{*}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}})}$

การแยกส่วนที่เกี่ยวข้องกับอินโวลูชันของคาร์ตันเรียกว่าการแยกส่วนคาร์ตันของคุณสมบัติพิเศษของการแยกส่วนคาร์ตันคือ รูปแบบคิลลิงเป็นแบบกำหนดเชิงลบบนและแบบกำหนดเชิงบวกบนยิ่งไปกว่านั้นและเป็นส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากซึ่งกันและกันโดยสัมพันธ์กับรูปแบบคิลลิงบน ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

ให้เป็นกลุ่ม Lie กึ่งง่ายที่ไม่กระชับ และ เป็นพีชคณิต Lie ของกลุ่มนั้น ให้เป็นการผกผันแบบคาร์ตันบนและให้เป็นคู่คาร์ตันที่ได้ ให้เป็นกลุ่มย่อยเชิงวิเคราะห์ของที่มีพีชคณิต Lie แล้ว: ${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle ({\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}})}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

• มีออโตมอร์ฟิซึมของกลุ่มลีที่มีอนุพันธ์ที่เอกลักษณ์ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขดังกล่าว${\displaystyle \Theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \Theta ^{2}=1}$
• กลุ่มย่อยขององค์ประกอบที่ตรึงโดยคือ; โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นกลุ่มย่อยปิด${\displaystyle \Theta }$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$
• การแมปที่กำหนดโดยเป็นดิฟเฟโอเมอร์ฟิซึม${\displaystyle K\times {\mathfrak {p}}\rightarrow G}$${\displaystyle (k,X)\mapsto k\cdot \mathrm {exp} (X)}$
• กลุ่มย่อยนี้เป็นกลุ่มย่อยกระชับสูงสุดของG เมื่อใดก็ตามที่ศูนย์กลางของ G มีจำนวนจำกัด${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$

ออโตมอร์ฟิซึมยังเรียกว่าการผกผันคาร์ตันแบบทั่วโลกและดิฟฟีโอเมอร์ฟิซึมเรียกว่าการแยกส่วนคาร์ตันแบบทั่วโลกถ้าเราเขียน แบบนี้จะบอกว่าแผนที่ผลคูณเป็นดิฟฟีโอเมอร์ฟิซึมดังนั้น ${\displaystyle \Theta }$${\displaystyle K\times {\mathfrak {p}}\rightarrow G}$${\displaystyle P=\mathrm {exp} ({\mathfrak {p}})\subset G}$${\displaystyle K\times P\rightarrow G}$${\displaystyle G=KP}$

สำหรับกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปคือการผกผันแบบคาร์ตัน ${\displaystyle X\mapsto (X^{-1})^{T}}$

การปรับปรุงการแยกส่วนแบบคาร์ตันสำหรับปริภูมิสมมาตรประเภทคอมแพ็กต์หรือไม่คอมแพ็กต์ระบุว่าพีชคณิตย่อยอาเบเลียนสูงสุดในนั้นมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงการผันแปรโดยนอกจากนี้ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {p}}=\bigcup _{k\in K}\mathrm {Ad} \,k\cdot {\mathfrak {a}}}\qquad {\text{and}}\qquad \displaystyle {P=\bigcup _{k\in K}\mathrm {Ad} \,k\cdot A}}$

ที่ไหน. ${\displaystyle A=e^{\mathfrak {a}}}$

ในกรณีแบบกะทัดรัดและไม่กะทัดรัด การแยกส่วนแบบคาร์ตันทั่วโลกจึงหมายความว่า

${\displaystyle G=KP=KAK,}$

ในทางเรขาคณิต ภาพของกลุ่มย่อยใน เป็นส่วนย่อยของพื้นผิวที่มีลักษณะ เป็นเส้นโค้ง จีโอเดสิกโดยสมบูรณ์${\displaystyle A}$${\displaystyle G/K}$

พิจารณาการผกผันแบบคาร์ตันแล้วคือพีชคณิตลีจริงของเมทริกซ์สมมาตรเฉียง ดังนั้นในขณะที่คือปริภูมิย่อยของเมทริกซ์สมมาตร ดังนั้นแผนที่เอกซ์โพเนนเชียลจึงเป็นการแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลจาก ไปยังปริภูมิของเมทริกซ์บวกกำหนด การแยกส่วนแบบคาร์ตันทั่วโลกจนถึงแผนที่เอกซ์โพเนนเชียลนี้คือการแยกส่วนแบบขั้วของเมทริกซ์ การแยกส่วนแบบขั้วของเมทริกซ์ผกผันได้นั้นมีเพียงหนึ่งเดียว ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \theta (X)=-X^{T}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}={\mathfrak {so}}_{n}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle K=\mathrm {SO} (n)}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

• การแยกกลุ่มลี