ในทางเรขาคณิตแคทเทนอยด์ เป็น พื้นผิวประเภทหนึ่งที่เกิดขึ้นจากการหมุน เส้นโค้ง แคทเทนอยด์รอบแกน ( พื้นผิวการหมุน ) ^{[ 1 ]}เป็นพื้นผิวขั้นต่ำหมายความว่ามีพื้นที่น้อยที่สุดเมื่อถูกล้อมรอบด้วยพื้นที่ปิด^{[ 2 ]}ได้รับการอธิบายอย่างเป็นทางการในปี 1744 โดยนักคณิตศาสตร์เลออนฮาร์ด ออยเลอร์

ฟิล์มสบู่ที่ติดอยู่กับวงแหวนคู่จะอยู่ในรูปทรงแคทเทนอยด์^{[ 2 ]}เนื่องจากเป็นสมาชิกของตระกูลพื้นผิวที่เกี่ยวข้องเดียวกัน แคทเทนอยด์จึงสามารถโค้งงอเป็นส่วนหนึ่งของเฮลิคอยด์ได้และในทางกลับกัน

แคทเทนอยด์เป็น พื้นผิวขั้นต่ำที่ไม่ใช่พื้นผิวธรรมดาแรกในปริภูมิยูคลิด 3 มิติที่ถูกค้นพบนอกเหนือจากระนาบแคทเทนอยด์ได้มาจากการหมุนแคทเทนนารีรอบไดเรกทริกซ์ [ ^{2 ] มัน}ถูกค้นพบและพิสูจน์ว่าเป็นพื้นผิวขั้นต่ำโดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ในปี 1744 ^{[ 3 ] [ 4 ]}

งานในช่วงแรกเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้รับการตีพิมพ์โดยJean Baptiste Meusnierเช่น กัน ^{[ 5 ] [ 4 ] : 11106} มีพื้นผิวการหมุนขั้นต่ำ เพียงสองพื้นผิว ( พื้นผิวการหมุนซึ่งเป็นพื้นผิวขั้นต่ำด้วย) ได้แก่ระนาบและแคทเทนอยด์^{[ 6 ]}

สามารถกำหนดแคทเทนอยด์ได้ด้วยสมการพาราเมตริกต่อไปนี้:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=c\cosh {\frac {v}{c}}\cos u\\y&=c\cosh {\frac {v}{c}}\sin u\\z&=v\end{aligned}}}$$

1

โดยที่และและเป็นค่าคงที่จริงที่ไม่เป็นศูนย์ ${\displaystyle u\in [-\pi ,\pi )}$${\displaystyle v\in \mathbb {R} }$${\displaystyle c}$

ในระบบพิกัดทรงกระบอก: โดยที่เป็นค่าคงที่จริง $${\displaystyle \rho =c\cosh {\frac {z}{c}},}$$${\displaystyle c}$

สามารถสร้างแบบจำลองทางกายภาพของแคทเทนอยด์ได้โดยการจุ่มวงแหวนสองวงลงในสารละลายสบู่ แล้วค่อยๆ ดึงวงแหวนทั้งสองออกจากกัน

นอกจากนี้ ยังสามารถกำหนดรูปทรงแคทเทนอยด์โดยประมาณได้โดยใช้วิธีตารางยืด (stretched grid method ) ในรูปแบบโมเดล 3 มิติแบบเหลี่ยมมุม (facet 3D model)

เนื่องจากพื้นผิวทั้งสองอยู่ในตระกูล เดียวกัน จึงสามารถดัดแคทเทนอยด์ให้เป็นส่วนหนึ่งของเฮลิคอยด์ได้โดยไม่ต้องยืด กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ สามารถทำการ เปลี่ยนรูปแคทเทนอยด์ แบบต่อเนื่องและสมมาตร (ส่วนใหญ่) ให้เป็นส่วนหนึ่งของเฮลิคอยด์ได้โดยที่สมาชิกทุกตัวในตระกูลการเปลี่ยนรูปนั้นมีค่าต่ำสุด (มีความโค้งเฉลี่ยเป็นศูนย์) การกำหนดพารามิเตอร์ของการเปลี่ยนรูปดังกล่าวแสดงได้ด้วยระบบ สำหรับโดยมีพารามิเตอร์การเปลี่ยนรูปโดยที่: $${\displaystyle {\begin{aligned}x(u,v)&=\sin \theta \,\cosh v\,\cos u+\cos \theta \,\sinh v\,\sin u\\y(u,v)&=\sin \theta \,\cosh v\,\sin u-\cos \theta \,\sinh v\,\cos คุณ\\z(u,v)&=v\sin \theta +u\cos \theta \end{aligned}}}$$${\displaystyle (u,v)\in (-\pi ,\pi ]\times (-\infty ,\infty )}$${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }$

• ${\displaystyle \theta =\pi }$สอดคล้องกับเฮลิคอยด์มือขวา
• ${\displaystyle \theta =\pm \pi /2}$สอดคล้องกับแคทเทนอยด์ และ
• ${\displaystyle \theta =0}$สอดคล้องกับเฮลิคอยด์มือซ้าย

แค ทเทนอยด์ วิกฤตคือแคทเทนอยด์ในทรงกลมหน่วยที่ตัดกับทรงกลมขอบเขตในแนวตั้งฉาก โดยไม่รวมการหมุนรอบจุดกำเนิด จะได้มาจากการปรับขนาดสมการที่ 1ด้วยตัวประกอบ โดยที่มันเป็นคำตอบแบบวงแหวนฝังตัวของปัญหาขอบเขตอิสระสำหรับฟังก์ชันพื้นที่ในทรงกลมหน่วย และสมมติฐานแคทเทนอยด์วิกฤตกล่าวว่ามันเป็นวงแหวนดังกล่าวเพียงหนึ่งเดียว ${\displaystyle c=1}$${\displaystyle (\rho _{0}\cosh \rho _{0})^{-1}}$${\displaystyle \rho _{0}\tanh \rho _{0}=1}$

ความคล้ายคลึงกันของสมมติฐาน catenoid วิกฤตกับสมมติฐานของ Hsiang-Lawsonเกี่ยวกับทอรัส Clifford ในทรงกลม 3 มิติ ซึ่งได้รับการพิสูจน์โดยSimon Brendleในปี 2012 ^{[ 7 ]}ได้กระตุ้นความสนใจในสมมติฐาน^{[ 8 ] [ 9 ]}เช่นเดียวกับความสัมพันธ์กับปัญหาค่าลักษณะเฉพาะของ Steklov ^{[ 10 ]}

ในปี 1985 Nitsche พิสูจน์ว่าดิสก์ขั้นต่ำที่ฝังตัวเพียงอันเดียวในลูกบอลหน่วยที่มีขอบเขตอิสระคือดิสก์จีโอเดสิกทั้งหมดแบบเส้นศูนย์สูตร^{[ 11 ]} Nitsche ยังอ้างโดยไม่มีการพิสูจน์ในเอกสารเดียวกันว่าวงแหวนความโค้งเฉลี่ยคงที่ที่มีขอบเขตอิสระใดๆ ในลูกบอลหน่วยนั้นสมมาตรแบบหมุนได้ และด้วยเหตุนี้จึงเป็นแคทเทนอยด์หรือพื้นผิวขนาน ตัวอย่างค้านที่ไม่ฝังตัวต่อข้ออ้างของ Nitsche ได้ถูกสร้างขึ้นตั้งแต่นั้นมา^{[ 12 ] [ 13 ]}

ข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับแคทเทนอยด์ที่สำคัญได้รับการระบุไว้ในกรณีฝังตัวโดย Fraser และ Li ^{[ 9 ]}และได้รับการพิสูจน์โดย McGrath โดยมีข้อสมมติเพิ่มเติมว่าวงแหวนมีความสมมาตรสะท้อนผ่านระนาบพิกัด^{[ 14 ]}และโดย Kusner และ McGrath เมื่อวงแหวนมีสมมาตรแบบแอนติโพดัล^{[ 15 ]}

ณ ปี 2025 การคาดการณ์ทั้งหมดก็ยังคงเปิดกว้างอยู่

• Krivoshapko, Sergey; Ivanov, VN (2015). "พื้นผิวขั้นต่ำ" . สารานุกรมพื้นผิวเชิงวิเคราะห์ . Springer. ISBN 9783319117737.

• "Catenoid" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• Catenoid – โมเดล WebGL
• ข้อความของออยเลอร์ที่อธิบายถึงแคทเทนอยด์ณ มหาวิทยาลัยคาร์เนกีเมลลอน
• การคำนวณพื้นที่ผิวของแคทเทนอยด์
• พื้นผิวขั้นต่ำของการปฏิวัติ