ตารางเคย์ลีย์ (Cayley table)ตั้งชื่อตามอาร์เธอร์ เคย์ลีย์นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ในศตวรรษที่ 19 อธิบายโครงสร้างของกลุ่มจำกัดโดยการจัดเรียงผลคูณที่เป็นไปได้ทั้งหมดของสมาชิกทุกตัวในกลุ่มไว้ในตารางสี่เหลี่ยมคล้ายกับ ตาราง การบวกหรือการคูณคุณสมบัติหลายอย่างของกลุ่ม เช่น กลุ่มนั้นเป็นกลุ่มอาเบเลียน หรือไม่ สมาชิกใดเป็นตัวผกผันของสมาชิกใด และขนาดและเนื้อหาของศูนย์กลาง ของกลุ่ม  สามารถค้นพบได้จากตารางเคย์ลีย์

ตัวอย่างง่ายๆ ของตารางเคย์ลีย์คือตารางสำหรับกลุ่ม {1, −1} ภายใต้การคูณ แบบปกติ :

ตารางเคย์ลีย์ถูกนำเสนอครั้งแรกในบทความของเคย์ลีย์ในปี ค.ศ. 1854 เรื่อง "ว่าด้วยทฤษฎีของกลุ่ม โดยขึ้นอยู่กับสมการเชิงสัญลักษณ์θ ⁿ = 1" ในบทความนั้น ตารางเหล่านี้ถูกเรียกอย่างง่าย ๆ ว่าเป็นเพียงตาราง และใช้เป็นเพียงตัวอย่างประกอบเท่านั้น ต่อมาจึงได้ชื่อว่าตารางเคย์ลีย์ เพื่อเป็นเกียรติแก่ผู้สร้าง  

เนื่องจากตารางเคย์ลีย์จำนวนมากอธิบายกลุ่มที่ไม่ใช่กลุ่มสลับที่ดังนั้นผลคูณab ที่เกี่ยวข้องกับ การดำเนินการทวิภาคของกลุ่มจึงไม่รับประกันว่าจะเท่ากับผลคูณbaสำหรับทุกค่าaและbในกลุ่ม เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน ธรรมเนียมปฏิบัติคือ ตัวประกอบที่ระบุแถว (เคย์ลีย์เรียกว่าตัวประกอบที่ใกล้กว่า ) มาก่อน และตัวประกอบที่ระบุคอลัมน์ (หรือตัวประกอบที่ไกลกว่า ) จะมาทีหลัง ตัวอย่างเช่น จุดตัดของแถวaและคอลัมน์bคือabไม่ใช่baดังตัวอย่างต่อไปนี้:

ตารางเคย์ลีย์บอกเราว่ากลุ่มนั้นเป็นกลุ่มอาเบเลียน หรือ ไม่ เนื่องจากการดำเนินการของกลุ่มอาเบเลียนเป็นการสลับที่ได้ ดังนั้น กลุ่มจะเป็นกลุ่มอาเบเลียนก็ต่อเมื่อค่าในตารางเคย์ลีย์ของกลุ่มนั้นสมมาตรตามแนวแกนทแยงมุม กลุ่ม {1, −1} ข้างต้นและกลุ่มวัฏจักรอันดับ 3 ภายใต้การคูณแบบธรรมดาต่างก็เป็นตัวอย่างของกลุ่มอาเบเลียน และการตรวจสอบความสมมาตรของตารางเคย์ลีย์ของกลุ่มเหล่านั้นก็ยืนยันได้ ในทางตรงกันข้าม กลุ่มที่ไม่ใช่อาเบเลียนที่เล็กที่สุด คือกลุ่มไดเฮดรัลอันดับ 6ไม่มีตารางเคย์ลีย์ที่สมมาตร

เนื่องจากสมบัติการสลับที่ถือเป็นสัจพจน์เมื่อพิจารณากลุ่ม จึงมักถูกมองข้ามไปเมื่อพิจารณาตารางเคย์ลีย์ อย่างไรก็ตาม ตารางเคย์ลีย์ยังสามารถใช้เพื่ออธิบายการทำงานของควาซิกรุปได้ซึ่งไม่ถือว่าสมบัติการสลับที่เป็นสัจพจน์ (อันที่จริง ตารางเคย์ลีย์สามารถใช้เพื่ออธิบายการทำงานของแมกมา จำกัดใดๆ ก็ได้ ) น่าเสียดายที่โดยทั่วไปแล้วไม่สามารถระบุได้ว่าการทำงานใดเป็นไปในลักษณะการสลับที่หรือไม่ เพียงแค่ดูจากตารางเคย์ลีย์ เหมือนกับสมบัติการสลับที่ทั่วไป เนื่องจากสมบัติการสลับที่ขึ้นอยู่กับสมการ 3 พจน์ในขณะที่ตารางเคย์ลีย์แสดงผลคูณ 2 พจน์ อย่างไรก็ตามการทดสอบสมบัติการสลับที่ของไลท์สามารถระบุสมบัติการสลับที่ได้ง่ายกว่าการใช้กำลังโดยตรง ${\displaystyle (ab)c=a(bc)}$

เนื่องจากคุณสมบัติการตัดทอนใช้ได้กับกลุ่ม (และแม้แต่กลุ่มเสมือน) ดังนั้นแถวหรือคอลัมน์ใดๆ ในตารางเคย์ลีย์จึงไม่สามารถมีองค์ประกอบเดียวกันซ้ำกันได้ ดังนั้นแต่ละแถวและคอลัมน์ของตารางจึงเป็นการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบทั้งหมดในกลุ่ม ซึ่งจำกัดอย่างมากว่าตารางเคย์ลีย์ใดบ้างที่สามารถกำหนดการดำเนินการของกลุ่มที่ถูกต้องได้

เพื่อให้เข้าใจว่าทำไมแถวหรือคอลัมน์จึงไม่สามารถมีสมาชิกเดียวกันซ้ำกันได้มากกว่าหนึ่งครั้ง ให้สมมติว่าa , xและyเป็นสมาชิกของกลุ่ม โดยที่xและyแตกต่างกัน ในแถวที่แทนสมาชิกaคอลัมน์ที่สอดคล้องกับxจะมีผลคูณaxและในทำนองเดียวกัน คอลัมน์ที่สอดคล้องกับyจะมีผลคูณayถ้าผลคูณทั้งสองเท่ากัน กล่าวคือ แถวaมีสมาชิกเดียวกันสองครั้ง ซึ่งเป็นสมมติฐานของเรา แล้วaxจะเท่ากับayแต่เนื่องจากกฎการตัดทอนเป็นจริง เราจึงสรุปได้ว่า ถ้าax = ayแล้วx = yซึ่งขัดแย้งกันดังนั้น สมมติฐานของเราจึงไม่ถูกต้อง และแถวไม่สามารถมีสมาชิกเดียวกันซ้ำกันได้ การใช้เหตุผลเดียวกันนี้ก็เพียงพอที่จะพิสูจน์กรณีของคอลัมน์ได้เช่นกัน ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าแต่ละแถวและแต่ละคอลัมน์ไม่มีสมาชิกซ้ำกันมากกว่าหนึ่งครั้ง เนื่องจากกลุ่มเป็นกลุ่มจำกัดหลักการรังนกพิราบจึงรับประกันว่าสมาชิกแต่ละตัวของกลุ่มจะถูกแทนในแต่ละแถวและแต่ละคอลัมน์เพียงครั้งเดียวเท่านั้น ดังนั้น ตารางเคย์ลีย์ของกลุ่มจึงเป็นตัวอย่างของตารางละตินการพิสูจน์อีกวิธีหนึ่งที่กระชับกว่านั้นได้มาจากคุณสมบัติการตัดทอนคุณสมบัตินี้บ่งชี้ว่าสำหรับแต่ละ x ในกลุ่ม ฟังก์ชันตัวแปรเดียว yf(x,y)= xy จะต้องเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ผลลัพธ์นี้ได้มาจากการที่ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งบนเซตจำกัดเป็นการเรียงสับเปลี่ยน

ตารางเคย์ลีย์แบบมาตรฐานจะมีลำดับขององค์ประกอบในแถวเหมือนกับลำดับในคอลัมน์ อีกรูปแบบหนึ่งคือการจัดเรียงองค์ประกอบในคอลัมน์เพื่อให้ คอลัมน์ที่ nตรงกับค่าผกผันขององค์ประกอบใน แถวที่ n ในตัวอย่าง D3ของเรา_เราจำเป็นต้องสลับเฉพาะสองคอลัมน์สุดท้ายเท่านั้น เนื่องจากfและdเป็นองค์ประกอบเพียงสองตัวที่ไม่ใช่ค่าผกผันของตัวเอง แต่กลับเป็นค่าผกผันของกันและกัน

ตัวอย่างนี้ช่วยให้เราสร้างเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยน ได้หกเมท ริกซ์ (ทุกองค์ประกอบเป็น 1 หรือ 0 โดยมี 1 เพียงหนึ่งเดียวในแต่ละแถวและแต่ละคอลัมน์) เมทริกซ์ 6x6 ที่แสดงถึงองค์ประกอบหนึ่งๆ จะมีค่า 1 ในทุกตำแหน่งที่มีตัวอักษรขององค์ประกอบนั้นในตารางเคย์ลีย์ และมีค่า 0 ในตำแหน่งอื่นๆ ซึ่งเป็นฟังก์ชัน เดลต้าของโครเนกเกอร์สำหรับสัญลักษณ์นั้น (โปรดสังเกตว่าeอยู่ในทุกตำแหน่งตามแนวทแยงมุมหลัก ซึ่งทำให้เราได้เมทริกซ์เอกลักษณ์สำหรับเมทริกซ์ 6x6 ในกรณีนี้ ตามที่เราคาดหวัง) นี่คือเมทริกซ์ที่แสดงถึงองค์ประกอบa ของเรา ตัวอย่างเช่น

สิ่งนี้แสดงให้เราเห็นโดยตรงว่ากลุ่มใดๆ ที่มีอันดับnเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนS _nที่มีอันดับn !

คุณสมบัติข้างต้นขึ้นอยู่กับสัจพจน์บางประการที่ใช้ได้กับกลุ่ม เป็นเรื่องปกติที่จะพิจารณาตารางเคย์ลีย์สำหรับโครงสร้างพีชคณิตอื่นๆ เช่นเซมิกรุป ค วาซิกรุปและแมกมาแต่คุณสมบัติบางประการข้างต้นนั้นใช้ไม่ได้กับโครงสร้างเหล่านั้น

• ลาตินสแควร์
• ซูโดกุ