ในทฤษฎีเกมเกมเซนติพีดย์ (Centipede Game)ซึ่งโรเบิร์ต โรเซนธาล (Robert Rosenthal)นำเสนอครั้งแรกในปี 1981 เป็นเกมรูปแบบขยาย (Extended Form Game)ที่ผู้เล่นสองคนผลัดกันเลือกที่จะรับส่วนแบ่งที่มากขึ้นเล็กน้อยจากกองกลางที่เพิ่มขึ้น หรือส่งกองกลางให้ผู้เล่นอีกคน ผลตอบแทนถูกจัดเรียงไว้เพื่อให้หากผู้เล่นคนหนึ่งส่งกองกลางให้คู่ต่อสู้และคู่ต่อสู้รับกองกลางในรอบถัดไป ผู้เล่นจะได้รับผลตอบแทนน้อยกว่าเล็กน้อยหากรับกองกลางในรอบนี้ แต่หลังจากสลับกันอีกครั้ง ผลตอบแทนที่อาจได้รับจะสูงขึ้น ดังนั้น แม้ว่าในแต่ละรอบผู้เล่นจะมีแรงจูงใจที่จะรับกองกลาง แต่การรอคอยจะเป็นผลดีกว่า แม้ว่าเกมเซนติพีดย์แบบดั้งเดิมจะมีจำนวนรอบจำกัดที่ 100 รอบ (จึงเป็นที่มาของชื่อ) แต่เกมใดๆ ที่มีโครงสร้างนี้แต่มีจำนวนรอบที่แตกต่างกันก็เรียกว่าเกมเซนติพีดย์เช่นกัน

สมดุลที่สมบูรณ์แบบในเกมย่อย (และสมดุลแนช ทุกแบบ) ที่เป็นเอกลักษณ์ของเกมเหล่านี้ ส่งผลให้ผู้เล่นคนแรกได้รับเงินรางวัลในรอบแรกของเกม อย่างไรก็ตาม ใน การทดสอบ เชิงประจักษ์มีผู้เล่นเพียงไม่กี่คนเท่านั้นที่ทำเช่นนั้น และส่งผลให้ได้รับผลตอบแทนที่สูงกว่าในสมดุลที่สมบูรณ์แบบในเกมย่อยและสมดุลแนช ผลลัพธ์เหล่านี้แสดงให้เห็นว่าสมดุลที่สมบูรณ์แบบในเกมย่อยและสมดุลแนชไม่สามารถทำนายการเล่นของมนุษย์ได้ในบางสถานการณ์ เกมเซนติพีดย์มักใช้ในหลักสูตรและตำราทฤษฎีเกมเบื้องต้นเพื่อเน้นแนวคิดของการเหนี่ยวนำย้อนกลับและการกำจัดกลยุทธ์ที่ด้อยกว่าซ้ำๆซึ่งแสดงให้เห็นถึงวิธีการมาตรฐานในการหาคำตอบของเกม

รูปแบบหนึ่งที่เป็นไปได้ของเกมตะขาบอาจเล่นได้ดังนี้:

ลองพิจารณาผู้เล่นสองคน: อลิซและบ็อบอลิซเป็นฝ่ายเริ่มเกมก่อน ในตอนเริ่มต้นเกม อลิซมีเหรียญสองกองอยู่ตรงหน้าเธอ: กองหนึ่งมี 4 เหรียญ และอีกกองหนึ่งมี 1 เหรียญ ผู้เล่นแต่ละคนมีตาเดินสองครั้ง: อย่างแรกคือ "หยิบ" กองเหรียญที่มีจำนวนมากกว่าและให้กองที่มีจำนวนน้อยกว่าแก่ผู้เล่นอีกคน หรืออย่างที่สองคือ "ผลัก" กองเหรียญทั้งสองกองข้ามโต๊ะไปให้ผู้เล่นอีกคน ทุกครั้งที่กองเหรียญผ่านข้ามโต๊ะ จำนวนเหรียญในแต่ละกองจะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า ตัวอย่างเช่น สมมติว่าอลิซเลือกที่จะ "ผลัก" กองเหรียญในตาเดินแรกของเธอ โดยส่งกองเหรียญ 1 และ 4 เหรียญให้บ็อบ ทำให้จำนวนเหรียญเพิ่มขึ้นเป็น 2 และ 8 เหรียญ บ็อบสามารถใช้ตาเดินแรกของเขาเพื่อ "หยิบ" กองเหรียญ 8 เหรียญและให้ 2 เหรียญแก่อลิซ หรือเขาสามารถ "ผลัก" กองเหรียญทั้งสองกองกลับไปให้อลิซอีกครั้ง ทำให้จำนวนเหรียญในกองเพิ่มขึ้นเป็น 4 และ 16 เหรียญ เกมจะดำเนินต่อไปตามจำนวนรอบที่กำหนดไว้ หรือจนกว่าผู้เล่นคนใดคนหนึ่งจะตัดสินใจยุติเกมโดยการเก็บเหรียญทั้งหมดลงกระเป๋า

การเพิ่มเหรียญถือเป็นปัจจัยภายนอกเนื่องจากไม่ได้มาจากผู้เล่นฝ่ายใดฝ่ายหนึ่ง

เกมตะขาบสามารถเขียนได้เป็น โดยที่และผู้เล่นและสลับกันเล่น โดยเริ่มจากผู้เล่นและ ในแต่ละตา ผู้เล่นแต่ละคนสามารถเล่นตาเดินจาก ได้โดยมีจำนวนรอบสูงสุด เกมจะจบลงเมื่อเล่นตาเดิน เป็นครั้งแรก มิฉะนั้นจะจบลงเมื่อเล่นตาเดิน ครบจำนวนครั้ง หากไม่เคยเล่น ตาเดินเลย${\displaystyle {\mathcal {G}}(N,~m_{0},~m_{1})}$${\displaystyle N,m_{0},m_{1}\in \mathbb {N} }$${\displaystyle m_{0}>m_{1}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle II}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \{\mathrm {take} ,\mathrm {push} \}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathrm {take} }$${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathrm {take} }$

สมมติว่าเกมจบลงในรอบที่ผู้เล่นคนหนึ่งเดินหมากครั้งสุดท้าย ผลลัพธ์ของเกมในรอบนั้นจะถูกกำหนดดังนี้: ${\displaystyle t\in \{0,\ldots ,N-1\}}$${\displaystyle p\in \{I,II\}}$${\displaystyle t}$

• ถ้าเล่นแล้วจะได้เหรียญและกำไร${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathrm {take} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle 2^{t}m_{0}}$${\displaystyle p^{\ast }}$${\displaystyle 2^{t}m_{1}}$
• ถ้าเล่นแล้วจะได้เหรียญและกำไร${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathrm {กด} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle 2^{t+1}m_{1}}$${\displaystyle p^{\ast }}$${\displaystyle 2^{t+1}m_{0}}$

ในที่นี้หมายถึงผู้เล่นอีกคนหนึ่ง ${\displaystyle p^{\ast }\in \{I,II\}}$

เครื่องมือทางทฤษฎีเกมมาตรฐานทำนายว่าผู้เล่นคนแรกจะโกงในรอบแรก โดยเอาเหรียญทั้งหมดไปเป็นของตัวเอง ในเกมเซนติพีดย์กลยุทธ์บริสุทธิ์ประกอบด้วยชุดของการกระทำ (หนึ่งการกระทำสำหรับแต่ละจุดเลือกในเกม แม้ว่าบางจุดเลือกเหล่านี้อาจไม่เคยเกิดขึ้นเลยก็ตาม) และกลยุทธ์ผสมคือการกระจายความน่าจะเป็นเหนือกลยุทธ์บริสุทธิ์ที่เป็นไปได้ มีดุลยภาพแนชของกลยุทธ์บริสุทธิ์หลายแบบในเกมเซนติพีดย์ และมีดุลยภาพแนชของกลยุทธ์ผสมจำนวนอนันต์ อย่างไรก็ตาม มีเพียงดุลยภาพที่สมบูรณ์แบบในเกมย่อย เพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น (ซึ่งเป็นการปรับปรุงแนวคิดดุลยภาพแนชที่ได้รับความนิยม)

ในภาวะสมดุลที่สมบูรณ์แบบเฉพาะในเกมย่อยนั้น ผู้เล่นแต่ละคนจะเลือกที่จะไม่ร่วมมือในทุกโอกาสที่มี ซึ่งหมายความว่าการไม่ร่วมมือจะเกิดขึ้นตั้งแต่ขั้นตอนแรก อย่างไรก็ตาม ในภาวะสมดุลของแนช การกระทำที่อาจเกิดขึ้นหลังจากโอกาสในการเลือกครั้งแรก (แม้ว่าจะไม่เคยเกิดขึ้นจริง เนื่องจากผู้เล่นคนแรกเลือกที่จะไม่ร่วมมือทันที) อาจเป็นการกระทำที่ร่วมมือกันได้

การที่ผู้เล่นคนแรกแปรพักตร์เป็นดุลยภาพย่อยที่สมบูรณ์ แบบเพียงหนึ่งเดียว และจำเป็นสำหรับดุลยภาพแนช ใดๆ สามารถพิสูจน์ได้โดยการเหนี่ยวนำย้อนกลับสมมติว่าผู้เล่นสองคนมาถึงรอบสุดท้ายของเกม ผู้เล่นคนที่สองจะได้เปรียบกว่าหากแปรพักตร์และรับส่วนแบ่งจากเงินกองกลางที่มากกว่าเล็กน้อย เนื่องจากเราสมมติว่าผู้เล่นคนที่สองจะแปรพักตร์ ผู้เล่นคนแรกจึงได้เปรียบกว่าหากแปรพักตร์ในรอบรองสุดท้าย โดยได้รับผลตอบแทนที่สูงกว่าเล็กน้อยเมื่อเทียบกับการปล่อยให้ผู้เล่นคนที่สองแปรพักตร์ในรอบสุดท้าย แต่เมื่อรู้เช่นนี้ ผู้เล่นคนที่สองควรแปรพักตร์ในรอบก่อนสุดท้าย โดยได้รับผลตอบแทนที่สูงกว่าเล็กน้อยเมื่อเทียบกับการปล่อยให้ผู้เล่นคนแรกแปรพักตร์ในรอบรองสุดท้าย การให้เหตุผลนี้ดำเนินย้อนกลับไปตามแผนผังเกมจนกระทั่งสรุปได้ว่าการกระทำที่ดีที่สุดคือให้ผู้เล่นคนแรกแปรพักตร์ในรอบแรก การให้เหตุผลเดียวกันนี้สามารถนำไปใช้กับโหนดใดๆ ในแผนผังเกมได้

สำหรับเกมที่จบลงหลังจากสี่รอบ เหตุผลจะเป็นดังนี้ หากเราเล่นไปจนถึงรอบสุดท้าย ผู้เล่นคนที่ 2จะได้เปรียบกว่าหากเลือกdแทนrโดยจะได้รับ 4 เหรียญแทนที่จะเป็น 3 เหรียญ อย่างไรก็ตาม เนื่องจาก ผู้เล่นคนที่ 2 จะเลือกdดังนั้น ผู้เล่น คนที่1ควรเลือกDในรอบรองสุดท้าย โดยจะได้รับ 3 เหรียญแทนที่จะเป็น 2 เหรียญ และเนื่องจากผู้เล่นคนที่ 1จะเลือกDในรอบรองสุดท้าย ผู้เล่น คนที่ 2ควรเลือกdในรอบที่สามจากท้าย โดยจะได้รับ 2 เหรียญแทนที่จะเป็น 1 เหรียญ แต่ในเมื่อเป็นเช่นนั้น ผู้เล่นคนที่ 1ควรเลือกDในรอบแรก โดยจะได้รับ 1 เหรียญแทนที่จะเป็น 0 เหรียญ

ในเกมเซนติพีดย์ มี ดุลยภาพแนชอยู่หลายแบบแต่ในแต่ละแบบ ผู้เล่นคนแรกจะทรยศในรอบแรก และผู้เล่นคนที่สองจะทรยศในรอบถัดไปบ่อยพอที่จะทำให้ผู้เล่นคนแรกไม่คิดจะผ่าน การอยู่ในดุลยภาพแนชไม่ได้หมายความว่ากลยุทธ์จะต้องสมเหตุสมผลในทุกจุดของเกม เหมือนกับในดุลยภาพที่สมบูรณ์แบบในเกมย่อย ซึ่งหมายความว่ากลยุทธ์ที่ร่วมมือกันในรอบต่อๆ ไปที่ไม่มีวันเกิดขึ้น ก็ยังสามารถอยู่ในดุลยภาพแนชได้ ในตัวอย่างข้างต้น ดุลยภาพแนชแบบหนึ่งคือผู้เล่นทั้งสองทรยศในแต่ละรอบ (แม้ในรอบต่อๆ ไปที่ไม่มีวันเกิดขึ้น) ดุลยภาพแนชอีกแบบหนึ่งคือผู้เล่นคนที่ 1 ทรยศในรอบแรก แต่ผ่านในรอบที่สาม และผู้เล่นคนที่ 2 ทรยศเมื่อมีโอกาส

การศึกษาหลายชิ้นแสดงให้เห็นว่าการเล่นที่สมดุลแนช (และสมดุลที่สมบูรณ์แบบในเกมย่อย) นั้นแทบจะไม่เกิดขึ้นเลย ในทางกลับกัน ผู้เข้าร่วมมักจะแสดงความร่วมมือบางส่วน โดยเล่น "R" (หรือ "r") หลายครั้งก่อนที่จะเลือก "D" (หรือ "d") ในที่สุด นอกจากนี้ยังพบได้ยากที่ผู้เข้าร่วมจะร่วมมือกันตลอดทั้งเกม ตัวอย่างเช่น ดู McKelvey และ Palfrey (1992), Nagel และ Tang (1998) หรือ Krockow et al. (2016) ^{[ 1 ]}สำหรับการสำรวจ นักวิชาการได้ตรวจสอบผลของการเพิ่มเดิมพัน เช่นเดียวกับเกมอื่นๆ เช่นเกมอัลติเมตัมเมื่อเดิมพันเพิ่มขึ้น การเล่นจะเข้าใกล้ (แต่ไม่ถึง) การเล่นที่สมดุลแนช^{[ 2 ]}เนื่องจากการศึกษาเชิงประจักษ์ได้ให้ผลลัพธ์ที่ไม่สอดคล้องกับการวิเคราะห์สมดุลแบบดั้งเดิม จึงมีการเสนอคำอธิบายหลายประการเกี่ยวกับพฤติกรรมนี้ ในการอธิบายข้อมูลจากการทดลอง เราจำเป็นต้องมีตัวแทนที่มีจิตใจเสียสละ หรือตัวแทนที่มีเหตุผลแต่มีขอบเขตจำกัด

เหตุผลหนึ่งที่ผู้คนอาจเบี่ยงเบนจากพฤติกรรมสมดุลคือ หากมีบางคนที่มีจิตใจเสียสละแนวคิดพื้นฐานคือ ในแต่ละเกม คุณมีความน่าจะเป็นที่จะเล่นกับผู้เล่นที่มีจิตใจเสียสละ และหากความน่าจะเป็นนี้สูงพอ คุณควรเลือกที่จะไม่เข้าร่วมในรอบสุดท้ายมากกว่ารอบแรก หากมีคนเสียสละมากพอ การเสียสละผลตอบแทนจากการไม่เข้าร่วมในรอบแรกก็คุ้มค่า เพื่อที่จะได้รู้ว่าคู่ต่อสู้ของคุณมีจิตใจเสียสละหรือไม่

McKelvey และ Palfrey (1992) สร้างแบบจำลองที่มีตัวแทนที่เสียสละและตัวแทนที่มีเหตุผลซึ่งจะเล่นกลยุทธ์แบบผสม (กล่าวคือ พวกเขาเล่นที่โหนดหลายโหนดด้วยความน่าจะเป็นบางอย่าง) เพื่อให้ตรงกับข้อมูลการทดลองได้ดี ประมาณ 5% ของผู้เล่นจำเป็นต้องมีความเสียสละในแบบจำลอง Elmshauser (2022) ^{[ 3 ]}แสดงให้เห็นว่าแบบจำลองที่รวมตัวแทนที่เสียสละและตัวแทนที่หลีกเลี่ยงความไม่แน่นอน (แทนที่จะเป็นตัวแทนที่มีเหตุผล) สามารถอธิบายข้อมูลการทดลองได้ดียิ่งขึ้น การทดลองบางอย่างพยายามดูว่าผู้เล่นที่ผ่านบ่อยจะเป็นตัวแทนที่เสียสละมากที่สุดในเกมอื่น ๆ หรือสถานการณ์ชีวิตอื่น ๆ หรือไม่ (ดูตัวอย่างเช่น Pulford et al ^{[ 4 ]}หรือ Gamba และ Regner (2019) ^{[ 5 ]}ที่ประเมินการวางแนวคุณค่าทางสังคม ) ผู้เล่นที่ผ่านบ่อยมีความเสียสละมากกว่าจริง ๆ แต่ความแตกต่างนั้นไม่มากนัก

Rosenthal (1981) แนะนำว่าหากมีเหตุผลให้เชื่อว่าคู่ต่อสู้จะเบี่ยงเบนจากพฤติกรรมของ Nash การไม่ทรยศในรอบแรกอาจเป็นประโยชน์ อีกความเป็นไปได้หนึ่งเกี่ยวข้องกับข้อผิดพลาด หากมีความเป็นไปได้สูงที่จะเกิดข้อผิดพลาดในการกระทำ อาจเป็นเพราะคู่ต่อสู้ไม่ได้ใช้เหตุผลผ่านการเหนี่ยวนำย้อนกลับอย่างสมบูรณ์ การร่วมมือกันในรอบแรกๆ อาจเป็นประโยชน์ (และสมเหตุสมผล) สมดุลการตอบสนองเชิงปริมาณของ McKelvey และ Palfrey (1995) ^{[ 6 ]}สร้างแบบจำลองที่มีตัวแทนเล่นสมดุล Nashโดยมีข้อผิดพลาด และพวกเขานำไปใช้กับเกม Centipede

แบบจำลองอีกแบบหนึ่งที่สามารถอธิบายพฤติกรรมในเกมตะขาบได้คือแบบจำลองระดับ k ซึ่งเป็นทฤษฎีลำดับชั้นทางปัญญา  : ผู้เล่น L0 เล่นแบบสุ่ม ผู้เล่น L1 ตอบสนองต่อผู้เล่น L0 ได้ดีที่สุด ผู้เล่น L2 ตอบสนองต่อผู้เล่น L1 ได้ดีที่สุด และอื่นๆ ในหลายเกม นักวิชาการสังเกตว่าผู้เล่นส่วนใหญ่เป็นผู้เล่น L2 หรือ L3 ซึ่งสอดคล้องกับข้อมูลการทดลองของเกมตะขาบ Garcia-Pola et al. (2020) ^{[ 7 ]}สรุปจากการทดลองว่าผู้เล่นส่วนใหญ่เล่นตามตรรกะระดับ k หรือตรรกะการตอบสนองเชิงปริมาณ

อย่างไรก็ตาม Parco, Rapoport และ Stein (2002) แสดงให้เห็นว่าระดับของแรงจูงใจทางการเงินสามารถส่งผลกระทบอย่างมากต่อผลลัพธ์ในเกมที่มีผู้เล่นสามคน: ยิ่งแรงจูงใจในการเบี่ยงเบนมีมากเท่าใด แนวโน้มที่จะเรียนรู้พฤติกรรมในรูปแบบการทดลองแบบเล่นครั้งเดียวซ้ำๆ ก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น เพื่อมุ่งไปสู่สมดุลแนช

Palacios-Huerta และ Volij (2009) พบว่า ผู้เล่น หมากรุก ระดับผู้เชี่ยวชาญ เล่นแตกต่างจากนักศึกษามหาวิทยาลัย เมื่อค่าElo สูงขึ้น ความน่าจะเป็นที่จะเล่นต่อจะลดลงแกรนด์มาสเตอร์ ทุกคน ในการทดลองหยุดเล่นเมื่อมีโอกาสแรก พวกเขาสรุปว่าผู้เล่นหมากรุกคุ้นเคยกับการใช้เหตุผลแบบอุปมานย้อนกลับ ดังนั้นจึงต้องการการเรียนรู้น้อยลงเพื่อไปถึงจุดสมดุล อย่างไรก็ตาม ในความพยายามที่จะจำลองผลการค้นพบเหล่านี้ Levitt, List และ Sadoff (2010) พบผลลัพธ์ที่ขัดแย้งอย่างมาก โดยไม่มีแกรนด์มาสเตอร์คนใดจากทั้งหมดสิบหกคนหยุดเล่นที่จุดแรก

การวิจัยเชิงคุณภาพโดย Krockow et al. ซึ่งใช้โปรโตคอลการคิดแบบออกเสียงที่กำหนดให้ผู้เล่นในเกม Centipede ต้องเปล่งเสียงเหตุผลของตนในระหว่างเกม แสดงให้เห็นถึงอคติในการตัดสินใจหลายประการ เช่นอคติในการกระทำหรืออคติในการทำให้เสร็จสมบูรณ์ ซึ่งอาจนำไปสู่ทางเลือกที่ไม่สมเหตุสมผลในเกม^{[ 8 ]}

เช่นเดียวกับเกมPrisoner's Dilemmaเกมนี้แสดงให้เห็นถึงความขัดแย้งระหว่างผลประโยชน์ส่วนตนและผลประโยชน์ร่วมกัน หากเป็นไปได้ ผู้เล่นทั้งสองฝ่ายย่อมต้องการร่วมมือกันตลอดทั้งเกม อย่างไรก็ตาม ผลประโยชน์ส่วนตนหรือความไม่ไว้วางใจระหว่างผู้เล่นอาจเข้ามาแทรกแซงและสร้างสถานการณ์ที่ทำให้ทั้งสองฝ่ายได้รับผลเสียมากกว่าการร่วมมือกันโดยไม่คิดอะไรเลย แม้ว่าเกม Prisoner's Dilemma จะได้รับความสนใจอย่างมากในเรื่องนี้ แต่เกม Centipede Game กลับได้รับความสนใจน้อยกว่า

นอกจากนี้ บินมอร์ (2005) ยังได้โต้แย้งว่าสถานการณ์ในโลกแห่งความเป็นจริงบางอย่างสามารถอธิบายได้ด้วยเกมตะขาบ ตัวอย่างหนึ่งที่เขานำเสนอคือการแลกเปลี่ยนสินค้าระหว่างฝ่ายที่ไม่ไว้วางใจกัน อีกตัวอย่างหนึ่งที่บินมอร์ (2005) เปรียบเทียบกับเกมตะขาบคือพฤติกรรมการผสมพันธุ์ของปลากะพงขาวที่มีสองเพศ ซึ่งผลัดกันแลกเปลี่ยนไข่เพื่อผสมพันธุ์ ในกรณีเหล่านี้ เราพบว่าความร่วมมือมีอยู่มากมาย

เนื่องจากผลตอบแทนจากการร่วมมือในระดับหนึ่งในเกมตะขาบนั้นมากกว่าการไม่ร่วมมือในทันทีมาก วิธีแก้ปัญหาที่ "สมเหตุสมผล" ที่ได้จากการเหนี่ยวนำย้อนกลับจึงอาจดูเหมือนขัดแย้งกันเอง นอกจากนี้ ข้อเท็จจริงที่ว่าผู้เข้าร่วมการทดลองมักจะร่วมมือในเกมตะขาบ ทำให้เกิดการถกเถียงเกี่ยวกับประโยชน์ของการทำให้เป็นอุดมคติที่เกี่ยวข้องกับวิธีแก้ปัญหาจากการเหนี่ยวนำย้อนกลับ ดังที่ Aumann (1995, 1996) และ Binmore (1996) ได้กล่าวไว้

• การเหนี่ยวนำย้อนกลับ
• เศรษฐศาสตร์เชิงทดลอง
• ปัญหาของนักเดินทาง
• ความขัดแย้งที่คาดไม่ถึง

• บทความจาก EconPort เกี่ยวกับเกม Centipede
• ความมีเหตุผลและทฤษฎีเกม - บทความของ AMS เกี่ยวกับเกมตะขาบ
• การทดลองออนไลน์ใน VeconLab
• เล่นเกม Centipede ในเบราว์เซอร์ของคุณได้ที่ gametheorygame.nl