ในทางคณิตศาสตร์ปัญหาค่าขอบเขตบางอย่างสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีการวิเคราะห์เชิงสุ่มตัวอย่างที่โด่งดังที่สุดอาจเป็น วิธีแก้ ปัญหา Dirichletสำหรับตัวดำเนินการ LaplaceของShizuo Kakutani ในปี 1944 โดยใช้การเคลื่อนที่แบบบราวน์ [ ^{1 ] อย่างไรก็ตาม}ปรากฏว่าสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับสองแบบกึ่งวงรี จำนวนมาก ปัญหาค่าขอบเขต Dirichlet ที่เกี่ยวข้องสามารถแก้ไขได้โดยใช้กระบวนการ Itōที่แก้สม การ เชิงอนุพันธ์เชิงสุ่ม ที่เกี่ยวข้อง

ความเชื่อมโยงระหว่างตัวดำเนินการกึ่งวงรีและกระบวนการสุ่ม ตามด้วยการนำไปใช้แก้ปัญหาค่าขอบเขต ได้ถูกค้นพบซ้ำแล้วซ้ำเล่าอย่างอิสระในช่วงต้นถึงกลางศตวรรษที่ 20

ความเชื่อมโยงที่ Kakutani สร้างขึ้นระหว่างสมการเชิงอนุพันธ์สุ่มและกระบวนการ Itō นั้น แท้จริงแล้วเหมือนกับสมการไปข้างหน้าของ Kolmogorovที่สร้างขึ้นในปี 1931 ซึ่งต่อมาได้รับการยอมรับในชื่อสมการ Fokker–Planckที่นำเสนอครั้งแรกในช่วงปี 1914-1917 ส่วนการแก้ปัญหาค่าขอบเขตโดยใช้ค่าคาดหวังเหนือกระบวนการสุ่มนั้น ปัจจุบันเป็นที่รู้จักกันทั่วไปไม่ใช่ในชื่อของ Kakutani แต่เป็นสูตร Feynman–Kacที่พัฒนาขึ้นในปี 1947

ผลลัพธ์เหล่านี้มีพื้นฐานมาจากการใช้ปริพันธ์อิโตะซึ่งจำเป็นสำหรับการอินทิเกรตกระบวนการสุ่ม แต่ปริพันธ์นี้ยังถูกค้นพบใหม่โดย อิสระในรูป ของปริพันธ์สตราโตโนวิชด้วย โดยทั้งสองรูปแบบสามารถแปลงไปมาระหว่างกันได้ด้วยการชดเชย

อนุญาต${\displaystyle D}$เป็นโดเมน ( เซต ที่ เปิดกว้างและ เชื่อมต่อกัน ) ใน${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$. อนุญาต${\displaystyle \Delta }$ให้ เป็นตัวดำเนินการลาปลาส${\displaystyle g}$เป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขตบนขอบเขต${\displaystyle \partial D}$และลองพิจารณาปัญหาต่อไปนี้:

${\displaystyle {\begin{cases}-\Delta u(x)=0,&x\in D\\\displaystyle {\lim _{y\to x}u(y)}=g(x),&x\in \partial D\end{cases}}}$

สามารถแสดงให้เห็นได้ว่าหากมีวิธีแก้ปัญหา${\displaystyle u}$มีอยู่จริงแล้ว${\displaystyle u(x)}$คือค่าที่คาดหวังของ${\displaystyle g(x)}$ณ จุดทางออกแรก (แบบสุ่ม) จาก${\displaystyle D}$สำหรับการเคลื่อนที่แบบบราวน์ มาตรฐาน ที่เริ่มต้นที่${\displaystyle x}$ดูทฤษฎีบทที่ 3 ใน Kakutani 1944 หน้า 710

อนุญาต${\displaystyle D}$เป็นโดเมนใน${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$และปล่อยให้${\displaystyle L}$เป็น ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์กึ่งวงรีบน${\textstyle C^{2}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}$ในรูปแบบ:

${\displaystyle L=\sum _{i=1}^{n}b_{i}(x){\frac {\partial }{\partial x_{i}}}+\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}}$

โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์${\displaystyle b_{i}}$และ${\displaystyle a_{ij}}$เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและค่าลักษณะเฉพาะ ทั้งหมด ของเมทริกซ์${\displaystyle \alpha (x)=a_{ij}(x)}$มีค่าไม่เป็นลบ ให้${\textstyle f\in C(D;\mathbb {R} )}$และ${\textstyle g\in C(\บางส่วน D;\mathbb {R} )}$พิจารณาปัญหาปัวซง :

${\displaystyle {\begin{cases}-Lu(x)=f(x),&x\in D\\\displaystyle {\lim _{y\to x}u(y)}=g(x),&x\in \partial D\end{cases}}\quad {\mbox{(P1)}}}$

แนวคิดของวิธีการสุ่มในการแก้ปัญหานี้มีดังต่อไปนี้ ขั้นแรก หาการแพร่กระจายแบบอิโตะ${\displaystyle X}$ซึ่งเครื่องกำเนิดอนันต์เล็ก${\displaystyle A}$สอดคล้องกับ${\displaystyle L}$บนฐานรองรับขนาดกะทัดรัด${\displaystyle C^{2}}$ฟังก์ชัน${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$. ตัวอย่างเช่น,${\displaystyle X}$สามารถถือได้ว่าเป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงสุ่ม:

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=b(X_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} B_{t}}$

ที่ไหน${\displaystyle B}$คือการเคลื่อนที่แบบบราวน์ในมิติn${\displaystyle b}$มีส่วนประกอบ${\displaystyle b_{i}}$ดังที่กล่าวมาข้างต้น และฟิลด์เมทริกซ์${\displaystyle \sigma }$เลือกโดยคำนึงถึงสิ่งต่อไปนี้:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (x)\sigma (x)^{\top }=a(x),\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}}$

เพื่อเป็นประเด็น${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$, อนุญาต${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}}$แสดงถึงกฎของ${\displaystyle X}$โดยพิจารณาจากข้อมูลเริ่มต้น${\displaystyle X_{0}=x}$และปล่อยให้${\displaystyle \mathbb {E} ^{x}}$แสดงถึงความคาดหวังเกี่ยวกับ${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}}$. อนุญาต${\displaystyle \tau _{D}}$ระบุเวลาออกครั้งแรกของ${\displaystyle X}$จาก${\displaystyle D}$.

ในสัญลักษณ์นี้คำตอบที่เป็นไปได้สำหรับ (P1) คือ:

${\displaystyle u(x)=\mathbb {E} ^{x}\left[g{\big (}X_{\tau _{D}}{\big )}\cdot \chi _{\{\tau _{D}<+\infty \}}\right]+\mathbb {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}f(X_{t})\,\mathrm {d} t\right]}$

โดยมีเงื่อนไขว่า${\displaystyle g}$เป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขตและมีคุณสมบัติว่า:

${\displaystyle \mathbb {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}{\big |}f(X_{t}){\big |}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty }$

ปรากฏว่ายังมีเงื่อนไขเพิ่มเติมอีกข้อหนึ่ง:

${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}{\big (}\tau _{D}<\infty {\big )}=1,\quad \forall x\in D}$

สำหรับทุกคน${\displaystyle x}$กระบวนการ${\displaystyle X}$เริ่มต้นที่${\displaystyle x}$แทบจะแน่นอนว่าจะจากไป${\displaystyle D}$ภายในเวลาจำกัด ภายใต้สมมติฐานนี้ วิธีแก้ปัญหาที่เสนอข้างต้นจะลดลงเหลือ:

${\displaystyle u(x)=\mathbb {E} ^{x}\left[g{\big (}X_{\tau _{D}}{\big )}\right]+\mathbb {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}f(X_{t})\,\mathrm {d} t\right]}$

และแก้ (P1) ในแง่ที่ว่าถ้า${\displaystyle {\mathcal {A}}}$แสดงถึงตัวดำเนินการลักษณะเฉพาะสำหรับ${\displaystyle X}$(ซึ่งสอดคล้องกับ${\displaystyle A}$บน${\displaystyle C^{2}}$ฟังก์ชันต่างๆ) จากนั้น:

${\displaystyle {\begin{cases}-{\mathcal {A}}u(x)=f(x),&x\in D\\\displaystyle {\lim _{t\uparrow \tau _{D}}u(X_{t})}=g{\big (}X_{\tau _{D}}{\big )},&\mathbb {P} ^{x}{\mbox{-a.s.,}}\;\forall x\in D\end{cases}}\quad {\mbox{(P2)}}}$

นอกจากนี้ หาก${\textstyle v\in C^{2}(D;\mathbb {R} )}$สอดคล้องกับ (P2) และมีค่าคงที่อยู่${\displaystyle C}$โดยที่สำหรับทุก ๆ${\displaystyle x\in D}$:

${\displaystyle |v(x)|\leq C\left(1+\mathbb {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}{\big |}g(X_{s}){\big |}\,\mathrm {d} s\right]\right)}$

แล้ว${\displaystyle v=u}$.