การทดสอบไคสแควร์ (หรือ^การทดสอบไคสแควร์หรือχ² ) เป็นการทดสอบสมมติฐานทางสถิติที่ใช้ในการวิเคราะห์ตารางความสัมพันธ์เมื่อขนาดตัวอย่างมีขนาดใหญ่ กล่าวโดยง่าย การทดสอบนี้ใช้เพื่อตรวจสอบว่าตัวแปรเชิงหมวดหมู่สองตัว ( สองมิติของตารางความสัมพันธ์ ) เป็นอิสระต่อกันในการมีอิทธิพลต่อสถิติการทดสอบ ( ค่าภายในตาราง ) หรือไม่ ^{[ 1 ]}

การทดสอบนี้ใช้ได้ผลเมื่อค่าสถิติการทดสอบมีการกระจายแบบไคกำลังสองภายใต้สมมติฐานว่างโดยเฉพาะอย่างยิ่งการทดสอบไคกำลังสองของเพียร์สันและรูปแบบต่างๆ ของการทดสอบดังกล่าว การทดสอบไคกำลังสองของเพียร์สันใช้เพื่อตรวจสอบว่ามี ความแตกต่าง ทางสถิติอย่างมีนัยสำคัญระหว่างความถี่ ที่คาดหวัง และความถี่ที่สังเกตได้ในหนึ่งหรือหลายหมวดหมู่ของตารางความสัมพันธ์หรือไม่ สำหรับตารางความสัมพันธ์ที่มีขนาดตัวอย่างเล็กกว่า จะใช้ การทดสอบความแม่นยำของฟิชเชอร์แทน

ในการประยุกต์ใช้การทดสอบนี้แบบมาตรฐาน ข้อมูลที่สังเกตได้จะถูกจัดกลุ่มเป็นกลุ่มที่ไม่ทับซ้อนกัน หากสมมติฐานหลักที่ว่าไม่มีความแตกต่างระหว่างกลุ่มในประชากรนั้นเป็นจริง ค่าสถิติการทดสอบที่คำนวณจากข้อมูลที่สังเกตได้จะมีการกระจายความถี่^แบบ χ² จุดประสงค์ของการทดสอบคือการประเมินว่าความถี่ที่สังเกตได้จะมีโอกาสมากน้อยเพียงใดหากสมมติว่าสมมติฐานหลักเป็นจริง

สถิติการทดสอบที่สอดคล้องกับ การแจกแจงแบบไค ^{กำลังสอง} (χ² ) เกิดขึ้นเมื่อการสังเกตการณ์เป็นอิสระต่อกัน นอกจากนี้ยังมี การทดสอบไคกำลัง ^สอง (χ² ) สำหรับการทดสอบสมมติฐานว่างของการเป็นอิสระต่อกันของตัวแปรสุ่มสองตัวโดยอาศัยการสังเกตการณ์ของคู่ตัวแปรเหล่านั้น

การทดสอบไคสแควร์มักหมายถึงการทดสอบที่การกระจายของค่าสถิติการทดสอบเข้าใกล้การกระจาย ไค ส แควร์ในเชิง ^อะซิปโทติกซึ่งหมายความว่าการกระจายตัวอย่าง (หากสมมติฐานว่างเป็นจริง) ของค่าสถิติการทดสอบจะใกล้เคียงกับการกระจายไคสแควร์มากขึ้นเรื่อยๆ เมื่อขนาด ตัวอย่าง เพิ่มขึ้น

ในศตวรรษที่ 19 วิธีการวิเคราะห์ทางสถิติส่วนใหญ่ถูกนำมาใช้ในการวิเคราะห์ข้อมูลทางชีววิทยา และเป็นเรื่องปกติที่นักวิจัยจะถือว่าการสังเกตเป็นไปตามการกระจายแบบปกติเช่นเซอร์ จอร์จ แอร์รีและแมนส์ฟิลด์ เมอร์ริแมนซึ่งผลงานของพวกเขาถูกวิจารณ์โดยคาร์ล เพียร์สันในบทความปี 1900 ของเขา^{[ 2 ]}

ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 เพียร์สันสังเกตเห็นความเบี่ยงเบน อย่างมีนัยสำคัญ ในการสังเกตทางชีววิทยาบางอย่าง เพื่อสร้างแบบจำลองการสังเกตโดยไม่คำนึงถึงว่าจะเป็นปกติหรือเบี่ยงเบน เพียร์สันได้คิดค้นการแจกแจงเพียร์สัน ซึ่งเป็นตระกูลของการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่อง ซึ่งรวมถึงการแจกแจงปกติและการแจกแจงเบี่ยงเบนหลายแบบ ในบทความหลายชุดที่ตีพิมพ์ตั้งแต่ปี 1893 ถึง 1916 ^[ 3 ] ^{[ 4 ] [} 5 ] ^{[ 6 ] และเสนอวิธีการวิเคราะห์ทางสถิติ}ที่ประกอบด้วยการใช้การแจกแจงเพียร์สันเพื่อสร้างแบบจำลองการสังเกตและทำการทดสอบความเหมาะสมเพื่อพิจารณาว่าแบบจำลองนั้นเหมาะสมกับการสังเกตได้ดีเพียงใด

^{ใน ปี}พ.ศ. 2443 เพียร์สันได้ตีพิมพ์บทความ^{[ 2 ]}เกี่ยวกับ การทดสอบ χ²ซึ่งถือเป็นหนึ่งในรากฐานของสถิติสมัยใหม่^{[ 7 ]}ในบทความนี้ เพียร์สันได้ตรวจสอบการทดสอบความเหมาะสมของแบบจำลอง

สมมติว่า การสังเกต n ครั้งในตัวอย่างสุ่มจากประชากรถูกจัดกลุ่มเป็นkกลุ่มที่ไม่ซ้ำซ้อนกัน โดยมีจำนวนการสังเกตx _i ตามลำดับ (สำหรับi = 1, 2, …, k ) และสมมติฐานว่างให้ความน่าจะ เป็น p _iที่การสังเกตจะตกอยู่ใน กลุ่มที่ iดังนั้นเราจึงมีจำนวนที่คาดหวังm _i = np _iสำหรับทุกiโดยที่

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{i=1}^{k}{p_{i}}=1\\[8pt]&\sum _{i=1}^{k}{m_{i}}=n\sum _{i=1}^{k}{p_{i}}=n\end{aligned}}}$

เพียร์สันเสนอว่า ภายใต้สถานการณ์ที่สมมติฐานว่างถูกต้อง เมื่อn → ∞การแจกแจงจำกัดของปริมาณที่กำหนดด้านล่างคือ^การแจกแจง χ²

${\displaystyle X^{2}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {(x_{i}-m_{i})^{2}}{m_{i}}}=\sum _{i=1}^{k}{{\frac {x_{i}^{2}}{m_{i}}}-n}}$

เพียร์สันได้พิจารณากรณีแรกที่ค่าคาดหวังm _iมีขนาดใหญ่พอและเป็นจำนวนที่ทราบในทุกเซลล์ โดยสมมติว่าการสังเกตx _i ทุกครั้ง สามารถถือได้ว่ามีการแจกแจงแบบปกติและได้ผลลัพธ์ว่า ในกรณีที่nมีขนาดใหญ่ขึ้นX ²จะเป็นไปตาม การแจกแจง χ ²ที่มีองศาอิสระ k − 1

อย่างไรก็ตาม เพียร์สันได้พิจารณากรณีต่อไปที่จำนวนที่คาดหวังขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ที่ต้องประมาณจากตัวอย่าง และเสนอแนะว่า โดยใช้สัญลักษณ์m _iเป็นจำนวนที่คาดหวังที่แท้จริง และm ′ _iเป็นจำนวนที่คาดหวังที่ประมาณได้ ความแตกต่าง

${\displaystyle X^{2}-{X'}^{2}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {x_{i}^{2}}{m_{i}}}-\sum _{i=1}^{k}{\frac {x_{i}^{2}}{m'_{i}}}}$

โดยทั่วไปแล้วจะเป็นค่าบวกและมีขนาดเล็กพอที่จะละเว้นได้ ในบทสรุป เพียร์สันโต้แย้งว่าหากเราถือว่าX ′ ² มีการแจกแจงแบบ χ ²เช่นกันโดยมี องศาอิสระ k − 1ข้อผิดพลาดในการประมาณค่านี้จะไม่ส่งผลกระทบต่อการตัดสินใจในทางปฏิบัติ ข้อสรุปนี้ก่อให้เกิดข้อโต้แย้งบางประการในการใช้งานจริง และยังไม่ได้รับการแก้ไขเป็นเวลา 20 ปี จนกระทั่งเอกสารของฟิชเชอร์ในปี 1922 และ 1924 ^{[ 8 ] [ 9 ]}

สถิติการทดสอบหนึ่งที่สอดคล้องกับการแจกแจงไคกำลังสองอย่างแม่นยำคือ การทดสอบว่าความแปรปรวนของประชากรที่มีการแจกแจงแบบปกติมีค่าตามที่กำหนดโดยอิงจากความแปรปรวนของตัวอย่างการทดสอบดังกล่าวไม่ค่อยพบเห็นในทางปฏิบัติ เนื่องจากโดยปกติแล้วความแปรปรวนที่แท้จริงของประชากรนั้นไม่เป็นที่ทราบ อย่างไรก็ตาม มีการทดสอบทางสถิติหลายอย่างที่การแจกแจงไคกำลังสองมีความถูกต้องโดยประมาณ:

สำหรับการทดสอบที่แม่นยำซึ่งใช้แทนการทดสอบไคกำลังสอง 2 × 2 สำหรับความเป็นอิสระเมื่อผลรวมของแถวและคอลัมน์ทั้งหมดถูกกำหนดไว้โดยการออกแบบ โปรดดูการทดสอบที่แม่นยำของ Fisher เมื่อขอบของแถวหรือคอลัมน์ (หรือทั้งสองอย่าง) เป็นตัวแปรสุ่ม (เช่นเดียวกับการออกแบบการวิจัยทั่วไปส่วนใหญ่) วิธีนี้มักจะอนุรักษ์ นิยมมากเกินไปและมีกำลังการทดสอบต่ำ^{[ 10 ]}

สำหรับการทดสอบที่แม่นยำซึ่งใช้แทนการทดสอบไคกำลังสอง 2 × 1 สำหรับความเหมาะสมของแบบจำลอง โปรดดูที่ การทดสอบ ทวิ นาม

• การทดสอบไคสแคว ร์ของ Cochran–Mantel–Haenszel
• การทดสอบของ McNemarใช้ในตาราง2 × 2 บางประเภทที่มีการจับคู่
• การทดสอบการบวกของทูคีย์
• การทดสอบพอร์ตแมนโทในการวิเคราะห์อนุกรมเวลาเพื่อทดสอบการมีอยู่ของความสัมพันธ์อัตโนมัติ
• การทดสอบอัตราส่วนความน่าจะเป็นในการสร้างแบบจำลองทางสถิติ ทั่วไป ใช้สำหรับทดสอบว่ามีหลักฐานที่บ่งชี้ถึงความจำเป็นในการเปลี่ยนจากแบบจำลองอย่างง่ายไปสู่แบบจำลองที่ซับซ้อนกว่าหรือไม่ (โดยที่แบบจำลองอย่างง่ายนั้นซ้อนอยู่ภายในแบบจำลองที่ซับซ้อนกว่า)

การใช้การแจกแจงไคกำลังสองในการตีความสถิติไคกำลังสองของเพียร์สันจำเป็นต้องสมมติว่าความ น่าจะเป็นแบบ ไม่ต่อเนื่องของความถี่ทวินาม ที่สังเกตได้ ในตารางสามารถประมาณได้ด้วยการแจกแจงไคกำลังสองแบบ ต่อเนื่อง ซึ่ง สมมติฐานนี้ไม่ถูกต้องนักและทำให้เกิดข้อผิดพลาดบางประการ

เพื่อลดข้อผิดพลาดในการประมาณค่าแฟรงค์ เยตส์เสนอการแก้ไขความต่อเนื่องที่ปรับสูตรสำหรับการทดสอบไคกำลังสองของเพียร์สันโดยการลบ 0.5 ออกจากความแตกต่างสัมบูรณ์ระหว่างค่าที่สังเกตได้แต่ละค่ากับค่าที่คาดหวังในตารางความสัมพันธ์2 × 2 ^{[ 11 ]}ซึ่งจะลดค่าไคกำลังสองที่ได้รับและทำให้ค่าp เพิ่ม ขึ้น

หากสุ่มตัวอย่างขนาดnจากประชากรที่มีการแจกแจงแบบปกติจะได้ผลลัพธ์ (ดูการแจกแจงของความแปรปรวนของตัวอย่าง ) ซึ่งช่วยให้สามารถทดสอบได้ว่าความแปรปรวนของประชากรมีค่าที่กำหนดไว้ล่วงหน้าหรือไม่ ตัวอย่างเช่น กระบวนการผลิตอาจอยู่ในสภาวะคงที่มาเป็นเวลานาน ทำให้สามารถกำหนดค่าความแปรปรวนได้โดยแทบไม่มีข้อผิดพลาด สมมติว่ากำลังทดสอบตัวแปรของกระบวนการ ทำให้ได้ตัวอย่างขนาดเล็กจำนวนnรายการผลิตภัณฑ์ ซึ่งต้องการทดสอบความแปรผัน สถิติการทดสอบTในกรณีนี้สามารถกำหนดให้เป็นผลรวมของกำลังสองรอบค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง หารด้วยค่าที่กำหนดสำหรับความแปรปรวน (เช่น ค่าที่จะทดสอบว่าคงที่) จากนั้นT จะ มีการแจกแจงแบบไคกำลังสองที่มีองศาอิสระn − 1 ตัวอย่างเช่น หากขนาดตัวอย่างคือ 21 บริเวณการยอมรับสำหรับTที่ระดับนัยสำคัญ 5% จะอยู่ระหว่าง 9.59 และ 34.17

สมมติว่ามีเมืองหนึ่งที่มีประชากร 1,000,000 คน แบ่งออกเป็นสี่เขตย่อย ได้แก่A , B , CและDมีการสุ่มตัวอย่างประชากร 650 คนจากเมืองนี้ และบันทึกอาชีพของพวกเขาเป็น"พนักงานออฟฟิศ" "พนักงานโรงงาน" หรือ "ไม่มีอาชีพ"สมมติฐานหลักคือ เขตที่อยู่อาศัยของแต่ละบุคคลไม่ขึ้นอยู่กับการจำแนกประเภทอาชีพของบุคคลนั้น ข้อมูลถูกจัดทำเป็นตารางดังนี้:

	เอ	บี	ซี	ดี	ทั้งหมด
พนักงานออฟฟิศ	90	60	104	95	349
คนงานระดับล่าง	30	50	51	20	151
ไม่มีปลอกคอ	30	40	45	35	150
ทั้งหมด	150	150	200	150	650

ลองใช้กลุ่มตัวอย่างที่อาศัยอยู่ในย่านAจำนวน 150 คน เพื่อประมาณสัดส่วนของประชากรทั้งหมด 1,000,000 คนที่อาศัยอยู่ในย่านAในทำนองเดียวกัน เราใช้⁠349/650เพื่อประเมินว่าสัดส่วนของพนักงานออฟฟิศในจำนวน 1,000,000 คนนั้นเป็น เท่าใดโดยอาศัยสมมติฐานเรื่องความเป็นอิสระ ภายใต้สมมติฐานที่ว่าเราควร "คาดหวัง" ว่าจำนวนพนักงานออฟฟิศในย่านAจะเป็นเท่าใด

${\displaystyle 150\times {\frac {349}{650}}\approx 80.54}$

จากนั้นใน "ช่อง" นั้นของตาราง เราจะมี

${\displaystyle {\frac {\left({\text{observed}}-{\text{expected}}\right)^{2}}{\text{expected}}}={\frac {\left(90-80.54\right)^{2}}{80.54}}\approx 1.11}$

ผลรวมของปริมาณเหล่านี้ในทุกเซลล์คือค่าสถิติการทดสอบ ในกรณีนี้คือ ภายใต้สมมติฐานว่าง ผลรวมนี้จะมีลักษณะการแจกแจงแบบไคกำลังสองโดยประมาณ ซึ่งมีจำนวนองศาอิสระเท่ากับ ${\displaystyle \approx 24.57}$

${\displaystyle ({\text{number of rows}}-1)({\text{number of columns}}-1)=(3-1)(4-1)=6}$

ถ้าค่าสถิติการทดสอบมีขนาดใหญ่ผิดปกติเมื่อพิจารณาจากค่าไคกำลังสองแล้ว แสดงว่าเราต้องปฏิเสธสมมติฐานหลักเรื่องความเป็นอิสระ

ประเด็นที่เกี่ยวข้องอีกประการหนึ่งคือการทดสอบความสม่ำเสมอ สมมติว่าแทนที่จะให้โอกาสผู้อยู่อาศัยทุกคนในแต่ละย่านทั้งสี่แห่งมีโอกาสถูกเลือกเป็นตัวอย่างเท่ากัน เราตัดสินใจล่วงหน้าว่าจะเลือกผู้อยู่อาศัยในแต่ละย่านจำนวนเท่าใด ในกรณีนี้ ผู้อยู่อาศัยแต่ละคนจะมีโอกาสถูกเลือกเท่ากันกับผู้อยู่อาศัยทั้งหมดในย่านเดียวกัน แต่ผู้อยู่อาศัยในย่านที่แตกต่างกันจะมีโอกาสถูกเลือกแตกต่างกัน หากขนาดตัวอย่างทั้งสี่ไม่เป็นสัดส่วนกับจำนวนประชากรของย่านทั้งสี่ ในกรณีเช่นนี้ เราจะทดสอบ "ความสม่ำเสมอ" มากกว่า "ความเป็นอิสระ" คำถามคือสัดส่วนของแรงงานระดับล่าง แรงงานระดับบน และแรงงานนอกระบบในสี่ย่านนั้นเท่ากันหรือไม่ อย่างไรก็ตาม การทดสอบจะทำในลักษณะเดียวกัน

ในการวิเคราะห์การเข้ารหัสการทดสอบไคสแควร์ใช้เพื่อเปรียบเทียบการกระจายของข้อความธรรมดาและข้อความ เข้ารหัสที่ถอดรหัสได้ (หรืออาจจะถอดรหัสได้) ค่าต่ำสุดของการทดสอบหมายความว่าการถอดรหัสสำเร็จด้วยความน่าจะเป็นสูง^{[ 12 ] [ 13 ]}วิธีนี้สามารถนำไปใช้ทั่วไปในการแก้ปัญหาการเข้ารหัสสมัยใหม่ได้^{[ 14 ]}

ในชีวสารสนเทศการทดสอบไคสแควร์ใช้เพื่อเปรียบเทียบการกระจายของคุณสมบัติบางอย่างของยีน (เช่น เนื้อหาจีโนม อัตราการกลายพันธุ์ การจัดกลุ่มเครือข่ายปฏิสัมพันธ์ ฯลฯ) ที่อยู่ในหมวดหมู่ที่แตกต่างกัน (เช่น ยีนโรค ยีนที่จำเป็น ยีนบนโครโมโซมบางตัว ฯลฯ) ^{[ 15 ] [ 16 ]}

การทดสอบไคสแควร์ แม้ว่าจะใช้กันอย่างแพร่หลายในการวิเคราะห์ข้อมูลเชิงหมวดหมู่ แต่ก็มีข้อจำกัดที่สำคัญหลายประการที่นักวิจัยควรพิจารณา ประการแรก การทดสอบนี้ถือว่าการสังเกตการณ์เป็นอิสระต่อกัน การละเมิดข้อสมมตินี้อาจนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ผิดพลาดได้ ประการที่สอง การทดสอบมีความไวต่อขนาดของกลุ่มตัวอย่าง ในกลุ่มตัวอย่างขนาดใหญ่มาก แม้แต่ความแตกต่างเล็กน้อยระหว่างความถี่ที่สังเกตได้และความถี่ที่คาดหวังก็อาจทำให้เกิดผลลัพธ์ที่มีนัยสำคัญทางสถิติ ในขณะที่ในกลุ่มตัวอย่างขนาดเล็กมาก การทดสอบอาจไม่มีประสิทธิภาพเพียงพอที่จะตรวจจับความสัมพันธ์ที่มีความหมาย ประการที่สาม การทดสอบไคสแควร์ไม่ได้วัดความแข็งแกร่งหรือความสำคัญในทางปฏิบัติของความสัมพันธ์—มันเพียงแต่บ่งชี้ว่ามีความสัมพันธ์ที่มีนัยสำคัญอยู่หรือไม่ ควรมีการรายงานมาตรวัดขนาดผลกระทบ เช่นCramér's Vหรือสัมประสิทธิ์ความสัมพันธ์ควบคู่ไปกับสถิติการทดสอบเพื่อให้บริบท สุดท้าย การทดสอบอาจไม่แม่นยำเมื่อความถี่ที่คาดหวังในเซลล์ใด ๆ มีขนาดเล็กมาก ซึ่งมักแนะนำให้มีอย่างน้อย 5 ในกรณีเช่นนี้ ควรเลือกใช้การทดสอบที่แม่นยำหรือวิธีการอื่น ๆ นักวิจัยต้องระมัดระวังเมื่อต้องจัดการกับหมวดหมู่ที่มีการกระจายไม่สม่ำเสมอ เนื่องจากกลุ่มที่เด่นกว่าอาจบดบังรูปแบบในกลุ่มที่เล็กกว่าได้^{[ 17 ] [ 18 ]}

• โนโมแกรมการทดสอบไคสแควร์
• เครเมอร์ วี
• สถิติ GEH
• การทดสอบจี
• การประมาณค่าไคสแควร์ขั้นต่ำ
• สถิติแบบไม่ใช้พารามิเตอร์
• การทดสอบวอลด์
• ช่วงคะแนนวิลสัน

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "การทดสอบไคสแควร์" . MathWorld .
• Corder, GW; Foreman, DI (2014). สถิติแบบไม่ใช้พารามิเตอร์: วิธีการทีละขั้นตอน . นิวยอร์ก: Wiley. ISBN 978-1118840313.
• กรีนวูด, ซินดี้ ; นิกูลิน, เอ็มเอส (1996). คู่มือการทดสอบไคสแควร์ . นิวยอร์ก: ไวลีย์. ISBN 0-471-55779-X.
• Nikulin, MS (1973). การทดสอบไคสแควร์สำหรับภาวะปกติ . รายงานการประชุมนานาชาติวิลนีอุสว่าด้วยทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์ . เล่ม 2. หน้า  119–122 .
• Bagdonavicius, Vilijandas B.; Nikulin, Mikhail S. (2011). " การทดสอบความเหมาะสมของไคกำลังสองสำหรับข้อมูลที่ถูกตัดตอนทางขวา"วารสารคณิตศาสตร์ประยุกต์และสถิติระหว่างประเทศ24 : 30– 50. MR  2800388