การคอนโวลูชันแบบวงกลม

Q: คำจำกัดความ

การ สังเคราะห์แบบคาบ ของฟังก์ชันคาบ T สองฟังก์ชันสามารถนิยามได้ดังนี้ : ชม. ที ( ที ) {\displaystyle h_{_{T}}(t)} x ที ( ที ) {\displaystyle x_{_{T}}(t)}

Q: ลำดับแบบไม่ต่อเนื่อง

ในทำนองเดียวกัน สำหรับลำดับแบบไม่ต่อเนื่อง และพารามิเตอร์ N เราสามารถเขียน การสังเคราะห์แบบวงกลม ของฟังก์ชันที่ไม่เป็นคาบ ได้ดังนี้ : ชม. {\displaystyle h} x {\displaystyle x}

การคอนโวลูชันแบบวงกลมหรือที่เรียกว่าคอนโวลูชันแบบวัฏจักรเป็นกรณีพิเศษของการคอนโวลูชันแบบคาบซึ่งเป็นการคอนโวลูชันของฟังก์ชันคาบสองฟังก์ชันที่มีคาบเดียวกัน การคอนโวลูชันแบบคาบเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น ในบริบทของการแปลงฟูริเยร์แบบเวลาไม่ต่อเนื่อง (DTFT) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง DTFT ของผลคูณของลำดับไม่ต่อเนื่องสองลำดับคือการคอนโวลูชันแบบคาบของ DTFT ของแต่ละลำดับ และแต่ละ DTFT เป็นผลรวมแบบคาบของ ฟังก์ชัน การแปลงฟูริเยร์แบบต่อเนื่อง (ดูการแปลงฟูริเยร์แบบเวลาไม่ต่อเนื่อง § ความสัมพันธ์กับการแปลงฟูริเยร์ ) แม้ว่า DTFT มักจะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของความถี่ แต่แนวคิดของการคอนโวลูชันแบบคาบและแบบวงกลมก็สามารถนำไปใช้กับลำดับข้อมูลแบบไม่ต่อเนื่องได้โดยตรง ในบริบทนั้น การคอนโวลูชันแบบวงกลมมีบทบาทสำคัญในการเพิ่มประสิทธิภาพของการดำเนินการกรองทั่วไปบางประเภทให้สูงสุด

คำจำกัดความ

การสังเคราะห์แบบคาบของฟังก์ชันคาบ T สองฟังก์ชันสามารถนิยามได้ดังนี้: $h_{_{T}}(t)$ $x_{_{T}}(t)$

\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}h_{_{T}}(\tau )\cdot x_{_{T}}(t-\tau )\,d\tau ,

^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

โดยที่เป็นพารามิเตอร์ที่กำหนดขึ้นเอง นิยามทางเลือกอีกแบบหนึ่ง ในแง่ของสัญกรณ์ของ การสังเคราะห์ เชิงเส้น ปกติ หรือแบบไม่เป็นคาบจะได้มาจากการแสดงและเป็นผลรวมแบบเป็นคาบของส่วนประกอบแบบไม่เป็นคาบและกล่าวคือ: $t_{o}$ $h_{_{T}}(t)$ $x_{_{T}}(t)$ $h$ $x$

h_{_{T}}(t)\ \triangleq \ \sum _{k=-\infty }^{\infty }h(t-kT)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(t+kT).

แล้ว:

$\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}h_{_{T}}(\tau )\cdot x_{_{T}}(t-\tau )\,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\cdot x_{_{T}}(t-\tau )\,d\tau \ \triangleq \ (h*x_{_{T}})(t)=(x*h_{_{T}})(t).$

สมการที่ 1

การหาที่มาของสมการที่ 1

{\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\cdot x_{_{T}}(t-\tau )\,d\tau &=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\int _{t_{o}+kT}^{t_{o}+(k+1)T}h(\tau )\cdot x_{_{T}}(t-\tau )\ d\tau \right]\quad t_{0}{\text{ เป็นพารามิเตอร์ที่กำหนด}}\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}h(u+kT)\cdot \underbrace {x_{_{T}}(tu-kT)} _{x_{_{T}}(tu),{\text{ by periodicity}}}\ du\right]\quad {\text{substituting }}u\triangleq \tau -kT\\&=\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(u+kT)\cdot x_{_{T}}(tu)\right]\ du\\&=\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}\underbrace {\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(u+kT)\right]} _{\triangleq \ h_{_{T}}(u)}\cdot x_{_{T}}(tu)\ du\\&=\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}h_{_{T}}(\tau )\cdot x_{_{T}}(t-\tau )\ d\tau \quad {\text{substituting }}\tau \triangleq u\end{aligned}}

ทั้งสองรูปแบบสามารถเรียกว่าการสังเคราะห์แบบคาบได้ [ ^{ก ] คำ}ว่าการสังเคราะห์แบบวงกลม^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}เกิดขึ้นจากกรณีพิเศษที่สำคัญของการจำกัดส่วนที่ไม่เป็นศูนย์ของทั้งและให้อยู่ในช่วง จาก นั้นการรวมแบบคาบจะกลายเป็นการขยายแบบคาบ^[^ข^]ซึ่งสามารถแสดงเป็นฟังก์ชันวงกลม ได้เช่นกัน : $h$ $x$ $[0,T].$

x_{_{T}}(t)=x(t_{\mathrm {mod} \ T}),\quad t\in \mathbb {R} \,

( จำนวนจริงใดๆ ) ^[ค]

และขอบเขตของการอินทิเกรตจะลดลงเหลือเพียงความยาวของฟังก์ชัน: $h$

(h*x_{_{T}})(t)=\int _{0}^{T}h(\tau )\cdot x((t-\tau )_{\mathrm {mod} \ T})\ d\tau .

^{[ d ]}^{[ e ]}

ลำดับแบบไม่ต่อเนื่อง

ในทำนองเดียวกัน สำหรับลำดับแบบไม่ต่อเนื่อง และพารามิเตอร์Nเราสามารถเขียนการสังเคราะห์แบบวงกลมของฟังก์ชันที่ไม่เป็นคาบ ได้ดังนี้: $h$ $x$

(h*x_{_{N}})[n]\ \triangleq \ \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\cdot \underbrace {x_{_{N}}[nm]} _{\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[nm-kN]}

ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชัน คาบ Nมีค่าที่ไม่ซ้ำกันอย่างมากที่สุดNค่า ในกรณีพิเศษที่ค่าที่ไม่เป็นศูนย์ของทั้งxและhมี ค่า ≤ Nสามารถลดรูปเป็นการคูณเมทริกซ์ ได้ โดยที่เคอร์เนลของการแปลงอินทิกรัลเป็นเมทริกซ์แบบวงกลม

ตัวอย่าง

ภาพประกอบแสดงให้เห็นถึงกรณีที่มีความสำคัญในทางปฏิบัติอย่างมาก ระยะเวลาของ ลำดับ xคือN (หรือน้อยกว่า) และระยะเวลาของ ลำดับ hนั้นน้อยกว่ามาก ดังนั้นค่าของการสังเคราะห์แบบวงกลมจำนวนมากจึงเหมือนกับค่าของx∗hซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่ต้องการเมื่อ ลำดับ hเป็น ตัวกรอง แบบตอบสนองแบบจำกัด (FIR) ยิ่งไปกว่านั้น การสังเคราะห์แบบวงกลมนั้นคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพมาก โดยใช้ อัลกอริธึม การแปลงฟูริเยร์แบบเร็ว (FFT) และทฤษฎีบท การสังเคราะห์แบบวงกลม

นอกจากนี้ยังมีวิธีการจัดการกับ ลำดับ xที่ยาวกว่าค่าN ที่ใช้งานได้จริง โดยจะแบ่งลำดับออกเป็นส่วนๆ ( บล็อก ) และประมวลผลทีละส่วน จากนั้นจึงนำส่วนที่ผ่านการกรองแล้วมาประกอบเข้าด้วยกันอย่างระมัดระวัง กำจัดผลกระทบจากขอบโดยการซ้อนทับบล็อกอินพุตหรือบล็อกเอาต์พุต เพื่อช่วยในการอธิบายและเปรียบเทียบวิธีการ เราจะกล่าวถึงทั้งสองวิธีในบริบทของ ลำดับ hที่มีความยาว 201 และขนาด FFT เท่ากับ N = 1024

บล็อกอินพุตที่ซ้อนทับกัน

วิธีนี้ใช้ขนาดบล็อกเท่ากับขนาด FFT (1024) เราจะอธิบายในแง่ของการคอนโวลูชันแบบปกติหรือเชิงเส้น ก่อน เมื่อทำการคอนโวลูชันแบบปกติในแต่ละบล็อก จะมีช่วงเริ่มต้นและช่วงลดลงที่ขอบบล็อกเนื่องจากความหน่วง ของตัวกรอง (200 ตัวอย่าง) มีเพียง 824 เอาต์พุตของการคอนโวลูชันเท่านั้นที่ไม่ได้รับผลกระทบจากเอฟเฟกต์ขอบ ส่วนที่เหลือจะถูกทิ้งหรือไม่ได้คำนวณ ซึ่งจะทำให้เกิดช่องว่างในเอาต์พุตหากบล็อกอินพุตต่อเนื่องกัน ช่องว่างเหล่านี้จะถูกหลีกเลี่ยงโดยการซ้อนทับบล็อกอินพุตด้วย 200 ตัวอย่าง ในแง่หนึ่ง 200 องค์ประกอบจากแต่ละบล็อกอินพุตจะถูก "บันทึก" และส่งต่อไปยังบล็อกถัดไป วิธีนี้เรียกว่าการบันทึกแบบซ้อนทับ [ ^{4 ] แม้ว่า}วิธีที่เราอธิบายต่อไปนี้จะต้องการ "บันทึก" ที่คล้ายกันกับตัวอย่างเอาต์พุตก็ตาม

เมื่อใช้ FFT ในการคำนวณตัวอย่าง DFT ที่ไม่ได้รับผลกระทบ 824 ตัวอย่าง เราไม่มีทางเลือกที่จะไม่คำนวณตัวอย่างที่ได้รับผลกระทบ แต่ผลกระทบที่ขอบด้านหน้าและด้านหลังจะทับซ้อนและบวกกันเนื่องจากการคอนโวลูชันแบบวงกลม ดังนั้น ผลลัพธ์ของ Inverse FFT (IFFT) 1024 จุด จึงมีเพียง 200 ตัวอย่างของผลกระทบที่ขอบ (ซึ่งถูกทิ้งไป) และ 824 ตัวอย่างที่ไม่ได้รับผลกระทบ (ซึ่งถูกเก็บไว้) เพื่อให้เห็นภาพชัดเจน เฟรมที่สี่ของรูปด้านขวาแสดงบล็อกที่ถูกขยายเป็นระยะ (หรือ "แบบวงกลม") และเฟรมที่ห้าแสดงส่วนประกอบแต่ละส่วนของการคอนโวลูชันเชิงเส้นที่ดำเนินการกับลำดับทั้งหมด ผลกระทบที่ขอบคือส่วนที่ส่วนประกอบจากบล็อกที่ขยายแล้วทับซ้อนกับส่วนประกอบจากบล็อกดั้งเดิม เฟรมสุดท้ายคือผลลัพธ์แบบรวม และส่วนที่ระบายสีเขียวแสดงถึงส่วนที่ไม่ได้รับผลกระทบ

บล็อกเอาต์พุตที่ซ้อนทับกัน

วิธีนี้เรียกว่าการซ้อนทับ-บวก [ ^{4 ] ใน} ตัวอย่างของเรา วิธีนี้ใช้บล็อกอินพุตที่ต่อเนื่องกันขนาด 824 และเติมแต่ละบล็อกด้วยตัวอย่างที่มีค่าเป็นศูนย์ 200 ตัวอย่าง จากนั้นจะซ้อนทับและบวกบล็อกเอาต์พุต 1024 องค์ประกอบ ไม่มีอะไรถูกทิ้ง แต่ค่า 200 ค่าของแต่ละบล็อกเอาต์พุตจะต้องถูก "บันทึก" ไว้สำหรับการบวกกับบล็อกถัดไป ทั้งสองวิธีจะเลื่อนตัวอย่างเพียง 824 ตัวอย่างต่อ IFFT 1024 จุด แต่การซ้อนทับ-บันทึกจะหลีกเลี่ยงการเติมศูนย์เริ่มต้นและการบวกขั้นสุดท้าย

ดูเพิ่มเติม

การอ้างอิงหน้า

^ McGillem และ Cooperหน้า 172 (4-6)
^ McGillem และ Cooperหน้า 183 (4-51)
^ Oppenheim และ Shaferหน้า 559 (8.59)
^ Oppenheim และ Shaferหน้า 571 (8.114) แสดงในรูปแบบดิจิทัล
^ McGillem และ Cooperหน้า 171 (4-22) แสดงในรูปแบบดิจิทัล

[3] McGillem และ Cooperหน้า 172 (4-6)

[5] McGillem และ Cooperหน้า 183 (4-51)

[6] Oppenheim และ Shaferหน้า 559 (8.59)

[7] Oppenheim และ Shaferหน้า 571 (8.114) แสดงในรูปแบบดิจิทัล

[8] McGillem และ Cooperหน้า 171 (4-22) แสดงในรูปแบบดิจิทัล

[ 1 ]

[ 2 ]

ก ] คำ

[ 3 ]

[

[ค]

[ d ]

[ e ]

4 ] แม้ว่า