ในทางคณิตศาสตร์พื้นผิวลูกบาศก์แนวทแยงของเคล็บช์หรือพื้นผิวลูกบาศก์ทรงยี่สิบหน้าของไคลน์คือพื้นผิวลูกบาศก์ ที่ไม่เอกฐาน ซึ่งได้รับการศึกษาโดยเคล็บช์ (1871)และไคลน์ (1873) โดย เส้นพิเศษทั้ง 27 เส้นของพื้นผิวนี้สามารถกำหนดได้บนจำนวนจริง คำว่าพื้นผิวทรงยี่สิบหน้าของไคลน์สามารถหมายถึงพื้นผิวนี้หรือการขยายตัว ของพื้นผิวนี้ ที่จุดเอคฮาร์ด 10 จุด ก็ได้

_{พื้นผิวเค ล็บ ช์ (} Clebsch surface ) คือเซตของจุด ( x₀ _: x₁ : _x₂ : x₃ : x₄ ) ของP₄ที่สอดคล้องกับสมการต่อ ไป^นี้

${\displaystyle x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0,}$

${\displaystyle x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+x_{4}^{3}=0.}$

การกำจัดx ₀แสดงให้เห็นว่ามันก็มีโครงสร้างเหมือนกับพื้นผิวเช่นกัน

${\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+x_{4}^{3}=(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})^{3}}$

ในP ³ในℝ ³สามารถแสดงได้ด้วย^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{array}{c}81\left(x^{3}+y^{3}+z^{3}\right)-189\left(x^{2}\left(y+z\right)+y^{2}\left(z+x\right)+z^{2}\left(x+y\right)\right)+\\+54xyz+126\left(xy+yz+zx\right)-9\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)-9\left(x+y+z\right)+1=0.\end{array}}}$

1

กลุ่มสมมาตรของพื้นผิวเคล็บช์คือกลุ่มสมมาตรS ₅ที่มีอันดับ 120 ซึ่งกระทำโดยการเรียงสับเปลี่ยนของพิกัด (ในP ⁴ ) พื้นผิวเคล็บช์เป็นพื้นผิวลูกบาศก์เพียงพื้นผิวเดียวที่มีกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมนี้ โดยพิจารณาจากความ เหมือนกันทางโครงสร้าง

สายการผลิตที่โดดเด่นทั้ง 27 สายมีดังนี้:

• ภาพทั้ง 15 ภาพ (ภายใต้S ₅ ) ของเส้นจุดในรูปแบบ ( a  : − a  : b  : − b  : 0)
• ภาพทั้ง 12 ภาพของเส้นตรงที่ลากผ่านจุด (1:ζ: ζ ² : ζ ³ : ζ ⁴ ) และคอนจูเกตเชิงซ้อนของมัน โดยที่ ζ คือรากที่ 5 ดั้งเดิมของเอกภาพ

พื้นผิวนี้มี จุด Eckardt 10 จุด ซึ่งเป็นจุดที่เส้นตรง 3 เส้นมาบรรจบกัน โดยกำหนดจากจุด (1: −1: 0: 0: 0) และจุดคู่ควบของมันภายใต้การเรียงสับเปลี่ยนHirzebruch (1976)แสดงให้เห็นว่าพื้นผิวที่ได้จากการขยายพื้นผิว Clebsch ที่จุด Eckardt 10 จุดนั้น คือพื้นผิวมอดูลาร์ฮิลเบิร์ตของกลุ่มย่อยความสอดคล้องหลักระดับ 2 ของกลุ่มมอดูลาร์ฮิลเบิร์ตของฟิลด์Q ( √ 5 ) ผลหารของกลุ่มมอดูลาร์ฮิลเบิร์ตโดยกลุ่มย่อยความสอดคล้องระดับ 2 ของมันนั้น สมมาตรกับกลุ่มสลับอันดับ 60 บน 5 จุด

เช่นเดียวกับพื้นผิวลูกบาศก์ที่ไม่เอกฐานทั้งหมด พื้นผิวลูกบาศก์ของเคล็บช์สามารถได้มาจากการขยายระนาบเชิงฉายใน 6 จุดไคลน์ (1873)อธิบายจุดเหล่านี้ไว้ดังนี้ หากระนาบเชิงฉายถูกระบุว่าเป็นเซตของเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดในปริภูมิเวกเตอร์ 3 มิติที่มีทรงยี่สิบหน้า ซึ่ง มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด จุดทั้ง 6 จุดจะสอดคล้องกับเส้นตรง 6 เส้นที่ผ่านจุดยอดทั้ง 12 จุดของทรงยี่สิบหน้า จุดของเอคฮาร์ดต์จะสอดคล้องกับเส้นตรง 10 เส้นที่ผ่านจุดศูนย์กลางของหน้าทั้ง 20 หน้า

โดยใช้การฝัง ( 1 ) บรรทัดทั้ง 27 บรรทัดจะกำหนดโดย⟨ a , b , c ⟩ t + ⟨ p , q , r ⟩โดยที่a , b , c , p , qและrถูกนำมาจากแถวเดียวกันในตารางต่อไปนี้: ^{[ 2 ]}

เอ	ข	ค	พี	q	ร
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -{\frac {1}{3}}}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -{\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$
${\displaystyle 1+{\frac {3}{\sqrt {5}}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {5}}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {5+{\sqrt {5}}}{30}}}$	${\displaystyle {\frac {5+3{\sqrt {5}}}{30}}}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {5}}}}$	${\displaystyle 1+{\frac {3}{\sqrt {5}}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {5+3{\sqrt {5}}}{30}}}$	${\displaystyle {\frac {5+{\sqrt {5}}}{30}}}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle -3-{\sqrt {5}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {5}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {7+3{\sqrt {5}}}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {5}}}{6}}}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle {\frac {-3+{\sqrt {5}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {-5+3{\sqrt {5}}}{4}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {5}}}{12}}}$	${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5}}}{12}}}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle {\frac {-5-3{\sqrt {5}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {-3-{\sqrt {5}}}{4}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{12}}}$	${\displaystyle {\frac {3-{\sqrt {5}}}{12}}}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle {\sqrt {5}}}$	${\displaystyle -3+{\sqrt {5}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {3-{\sqrt {5}}}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {7-3{\sqrt {5}}}{6}}}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle -{\sqrt {5}}}$	${\displaystyle -3-{\sqrt {5}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {5}}}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {7+3{\sqrt {5}}}{6}}}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle {\frac {-5+3{\sqrt {5}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {-3+{\sqrt {5}}}{4}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5}}}{12}}}$	${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {5}}}{12}}}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle {\frac {-3-{\sqrt {5}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {-5-3{\sqrt {5}}}{4}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {3-{\sqrt {5}}}{12}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{12}}}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle -3+{\sqrt {5}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {7-3{\sqrt {5}}}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {3-{\sqrt {5}}}{6}}}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {5}}}}$	${\displaystyle 1-{\frac {3}{\sqrt {5}}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {5-3{\sqrt {5}}}{30}}}$	${\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {5}}}{30}}}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 1-{\frac {3}{\sqrt {5}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {5}}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {5}}}{30}}}$	${\displaystyle {\frac {5-3{\sqrt {5}}}{30}}}$	${\displaystyle 0}$

• Clebsch, A. (1871), "Ueber die Anwendung der quadratischen Substitution auf die Gleichungen 5ten Grades und die geometrische Theorie des ebenen Fünfseits", Mathematische Annalen , 4 (2): 284– 345, ดอย : 10.1007/BF01442599
• Hirzebruch, Friedrich (1976), "กลุ่มมอดูลาร์ฮิลเบิร์ตสำหรับฟิลด์ Q(√5) และพื้นผิวแนวทแยงลูกบาศก์ของ Clebsch และ Klein", Russian Math. Surveys , 31 (5): 96– 110, doi : 10.1070/RM1976v031n05ABEH004190 , ISSN  0042-1316 , MR  0498397
• ฮันท์, บรูซ (1996), เรขาคณิตของผลหารเลขคณิตพิเศษบางประเภท , บันทึกการบรรยายทางคณิตศาสตร์, เล่มที่ 1637, เบอร์ลิน, นิวยอร์ก: สปริงเกอร์-เวอร์แลก , doi : 10.1007/BFb0094399 , ISBN 978-3-540-61795-2, MR  1438547
• Klein, Felix (1873), "Ueber Flächen dritter Ordnung" , Mathematische Annalen , 6 (4), Springer Berlin / Heidelberg: 551– 581, doi : 10.1007/BF01443196

• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "ลูกบาศก์แนวทแยงของ Clebsch" . แมทเวิลด์ .