ในทางคณิตศาสตร์โมดูลคลิฟฟอร์ดคือการแทนค่าของพีชคณิตคลิฟฟอร์ดโดยทั่วไปแล้ว พีชคณิตคลิฟฟอร์ดCคือพีชคณิตเชิงเดี่ยวแบบศูนย์กลางบนส่วนขยายฟิลด์L บางส่วน ของฟิลด์Kซึ่งรูปแบบกำลังสองQที่กำหนดC นั้นถูกกำหนดไว้

ทฤษฎีนามธรรมของโมดูลคลิฟฟอร์ดได้รับการวางรากฐานจากบทความของMF Atiyah , R. BottและArnold S. Shapiroผลลัพธ์พื้นฐานเกี่ยวกับโมดูลคลิฟฟอร์ดคือ ชั้น สมมูลโมริตะของพีชคณิตคลิฟฟอร์ด (ชั้นสมมูลของหมวดหมู่ของโมดูลคลิฟฟอร์ดเหนือพีชคณิตนั้น) ขึ้นอยู่กับลายเซ็นp − q (mod 8) เท่านั้น นี่คือรูปแบบพีชคณิตของความเป็นคาบของบอตต์

เราจำเป็นต้องศึกษาเมทริกซ์ที่สลับตำแหน่งกันไม่ได้ ( AB = −BA )เพราะในพีชคณิตคลิฟฟอร์ด เวกเตอร์เชิงตั้งฉากจะสลับตำแหน่งกันไม่ได้

${\displaystyle A\cdot B={\frac {1}{2}}(AB+BA)=0.}$

สำหรับพีชคณิตคลิฟฟอร์ดที่แท้จริงเราต้องการ เมทริกซ์ที่สลับตำแหน่งกันได้ p + q เมทริก ซ์ โดยที่pมี +1 เป็นกำลังสอง และqมี ​​−1 เป็นกำลังสอง ${\displaystyle \mathbb {R} _{p,q}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\gamma _{a}^{2}&=&+1&{\mbox{ถ้า}}&1\leq a\leq p\\\gamma _{a}^{2}&=&-1&{\mbox{ถ้า}}&p+1\leq a\leq p+q\\\gamma _{a}\gamma _{b}&=&-\gamma _{b}\gamma _{a}&{\mbox{ถ้า}}&a\neq b.\ \\\end{matrix}}}$

ฐานของเมทริกซ์แกมมา ดังกล่าว ไม่เป็นเอกลักษณ์ เราสามารถสร้างชุดเมทริกซ์แกมมาอื่นที่สอดคล้องกับพีชคณิตคลิฟฟอร์ดเดียวกันได้เสมอ โดยใช้การแปลงความคล้ายคลึงกัน

${\displaystyle \gamma _{a'}=S\gamma _{a}S^{-1},}$

โดยที่Sเป็นเมทริกซ์ที่ไม่เอกฐาน เซตγ _{a ′}และγ _aอยู่ในชั้นสมมูลเดียวกัน

โมดูลคลิฟฟอร์ดนี้ พัฒนาโดยเอ็ตโตเร มาโจรานาทำให้สามารถสร้างสมการคล้ายดิแรก ได้ โดยไม่ต้องใช้จำนวนเชิงซ้อน และองค์ประกอบของโมดูลนี้เรียกว่าสปินเนอร์ มาโจรา นา

เวกเตอร์ฐานทั้งสี่คือเมทริกซ์ Pauli สามเมทริกซ์และเมทริกซ์แอนติเฮอร์มิเชียนตัวที่สี่เครื่องหมายคือ (+++−) สำหรับเครื่องหมาย (+−−−) และ (−−−+) ซึ่งมักใช้ในฟิสิกส์ จำเป็นต้องใช้เมทริกซ์เชิงซ้อนขนาด 4×4 หรือเมทริกซ์จริงขนาด 8×8

• เมทริกซ์ Weyl–Brauer
• เมทริกซ์แกมมามิติสูง
• ชุดโมดูลคลิฟฟอร์ด