ในวิชาไฟฟ้าสถิตสัมประสิทธิ์ศักย์จะเป็นตัวกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างประจุและศักย์ไฟฟ้าสถิต ( ศักย์ไฟฟ้า ) ซึ่งเป็นความสัมพันธ์เชิงเรขาคณิตล้วนๆ:

${\displaystyle {\begin{matrix}\phi _{1}=p_{11}Q_{1}+\cdots +p_{1n}Q_{n}\\\phi _{2}=p_{21}Q_{1}+\cdots +p_{2n}Q_{n}\\\vdots \\\phi _{n}=p_{n1}Q_{1}+\cdots +p_{nn}Q_{n}\end{matrix}}.}$

โดยที่Q _iคือประจุบนพื้นผิวของตัวนำiสัมประสิทธิ์ศักย์คือสัมประสิทธิ์p ij _φ i _ควรอ่านอย่างถูกต้องว่าเป็นศักย์บน ตัวนำที่ iและดังนั้น " " คือศักย์เนื่องจากประจุ 1 บนตัวนำ 2 ${\displaystyle p_{21}}$

${\displaystyle p_{ij}={\partial \phi _{i} \over \partial Q_{j}}=\left({\partial \phi _{i} \over \partial Q_{j}}\right)_{Q_{1},...,Q_{j-1},Q_{j+1},...,Q_{n}}.}$

โปรดทราบว่า:

1. p _ij = p _jiโดยสมมาตร และ
2. p _ijไม่ขึ้นอยู่กับประจุ

เนื้อหาทางกายภาพของสมมาตรมีดังนี้:

ถ้าประจุQบนตัวนำjทำให้ตัวนำiมีศักย์ไฟฟ้าφแล้ว ประจุเดียวกันที่วางบนตัวนำiก็จะทำให้ตัวนำj มีศักย์ไฟฟ้า φเท่ากันด้วย

โดยทั่วไป สัมประสิทธิ์จะใช้ในการอธิบายระบบตัวนำ เช่น ในตัวเก็บประจุ

กำหนดให้ศักย์ไฟฟ้าบนพื้นผิวตัวนำS _i ( พื้นผิวศักย์เท่ากันหรือจุดPที่เลือกบนพื้นผิวi ) ที่อยู่ในระบบตัวนำj = 1, 2, ..., n :

${\displaystyle \phi _{i}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{S_{j}}{\frac {\sigma _{j}da_{j}}{R_{ji}}}{\mbox{ (i=1, 2..., n)}},}$

โดยที่R _ji = | r _i - r _j |นั่นคือระยะห่างจากองค์ประกอบพื้นที่da _{j ไปยังจุด} r _iเฉพาะจุดหนึ่งบนตัวนำi σ j _โดยทั่วไปแล้วไม่ได้กระจายอย่างสม่ำเสมอทั่วพื้นผิว ให้เราแนะนำตัวประกอบf _jที่อธิบายว่าความหนาแน่นประจุ จริง แตกต่างจากค่าเฉลี่ยอย่างไร ณ ตำแหน่งหนึ่งบนพื้นผิวของ ตัวนำที่ j :

${\displaystyle {\frac {\sigma _{j}}{\langle \sigma _{j}\rangle }}=f_{j},}$

หรือ

${\displaystyle \sigma _{j}=\langle \sigma _{j}\rangle f_{j}={\frac {Q_{j}}{S_{j}}}f_{j}.}$

แล้ว,

${\displaystyle \phi _{i}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {Q_{j}}{4\pi \epsilon _{0}S_{j}}}\int _{S_{j}}{\frac {f_{j}da_{j}}{R_{ji}}}.}$

สามารถแสดงได้ว่าไม่ขึ้นอยู่กับการแจกแจงดังนั้น ด้วย ${\displaystyle \int _{S_{j}}{\frac {f_{j}da_{j}}{R_{ji}}}}$${\displaystyle \sigma _{j}}$

${\displaystyle p_{ij}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}S_{j}}}\int _{S_{j}}{\frac {f_{j}da_{j}}{R_{ji}}},}$

เรามี

${\displaystyle \phi _{i}=\sum _{j=1}^{n}p_{ij}Q_{j}{\mbox{ (i = 1, 2, ..., n)}}.}$

ในตัวอย่างนี้ เราใช้วิธีสัมประสิทธิ์ศักย์เพื่อหาค่าความจุไฟฟ้าในระบบตัวนำสองตัว

สำหรับระบบตัวนำสองตัวระบบสมการเชิงเส้นคือ

${\displaystyle {\begin{matrix}\phi _{1}=p_{11}Q_{1}+p_{12}Q_{2}\\\phi _{2}=p_{21}Q_{1}+p_{22}Q_{2}\end{matrix}}.}$

บนตัวเก็บประจุ ประจุบนตัวนำทั้งสองมีค่าเท่ากันและทิศทางตรง_{ข้าม:} Q₁ = Q₁ = -Q₂ดังนั้น

${\displaystyle {\begin{matrix}\phi _{1}=(p_{11}-p_{12})Q\\\phi _{2}=(p_{21}-p_{22})Q\end{matrix}},}$

และ

${\displaystyle \Delta \phi =\phi _{1}-\phi _{2}=(p_{11}+p_{22}-p_{12}-p_{21})Q.}$

เพราะฉะนั้น,

${\displaystyle C={\frac {1}{p_{11}+p_{22}-2p_{12}}}.}$

โปรดทราบว่าอาร์เรย์ของสมการเชิงเส้น

${\displaystyle \phi _{i}=\sum _{j=1}^{n}p_{ij}Q_{j}{\mbox{ (i = 1,2,...n)}}}$

สามารถกลับด้านได้เป็น

${\displaystyle Q_{i}=\sum _{j=1}^{n}c_{ij}\phi _{j}{\mbox{ (i = 1,2,...n)}}}$

โดยที่c _ijที่มีi = jเรียกว่าสัมประสิทธิ์ความจุและc _ijที่มีi ≠ jเรียกว่าสัมประสิทธิ์การเหนี่ยวนำไฟฟ้าสถิต^{[ 1 ]}

สำหรับระบบตัวนำทรงกลมสองตัวที่รักษาไว้ที่ศักย์ไฟฟ้าเดียวกัน^{[ 2 ]}

${\displaystyle Q_{a}=(c_{11}+c_{12})V,\qquad Q_{b}=(c_{12}+c_{22})V}$

${\displaystyle Q=Q_{a}+Q_{b}=(c_{11}+2c_{12}+c_{bb})V}$

ถ้าตัวนำทั้งสองมีประจุเท่ากันและตรงข้ามกัน

${\displaystyle \phi _{1}={\frac {Q(c_{12}+c_{22})}{(c_{11}c_{22}-c_{12}^{2})}},\qquad \quad \phi _{2}={\frac {-Q(c_{12}+c_{11})}{(c_{11}c_{22}-c_{12}^{2})}}}$

${\displaystyle \quad C={\frac {Q}{\phi _{1}-\phi _{2}}}={\frac {c_{11}c_{22}-c_{12}^{2}}{c_{11}+c_{22}+2c_{12}}}}$

ระบบตัวนำสามารถแสดงให้เห็นว่ามีความสมมาตรที่คล้ายกัน c _ij = c _ji