ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันบังคับ (coercive function)คือฟังก์ชันที่ "เติบโตอย่างรวดเร็ว" ที่ขอบเขตของปริภูมิที่กำหนดฟังก์ชันนั้น ทั้งนี้ ขึ้นอยู่กับบริบท นิยามที่แน่นอนของแนวคิดนี้จะแตกต่างกันไป

ฟิลด์เวกเตอร์f  : R ⁿ → R ⁿเรียกว่าฟิลด์บังคับ (coercive)ถ้า โดยที่ " " หมาย ถึง ผลคูณดอทแบบปกติและ หมายถึง นอร์มยุคลิดแบบปกติของเวกเตอร์x$${\displaystyle {\frac {f(x)\cdot x}{\|x\|}}\to +\infty {\text{ เมื่อ }}\|x\|\to +\infty ,}$$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle \|x\|}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งเวกเตอร์ฟิลด์แบบบังคับ (coercive vector field) จะเป็นแบบบังคับเชิงบรรทัดฐาน (norm-coercive) เนื่องจาก สำหรับโดย อสมการโคชี-ชวาร์ซ ( Cauchy–Schwarz inequality ) อย่างไรก็ตาม การแมปแบบบังคับเชิงบรรทัดฐานf  : R ⁿ → R ⁿไม่จำเป็นต้องเป็นเวกเตอร์ฟิลด์แบบบังคับเสมอไป ตัวอย่างเช่น การหมุนf  : R ² → R ² , f ( x ) = (− x ₂ , x ₁ )โดย 90° เป็นการแมปแบบบังคับเชิงบรรทัดฐานซึ่งไม่เป็นเวกเตอร์ฟิลด์แบบบังคับ เนื่องจากสำหรับทุกๆ ${\displaystyle \|f(x)\|\geq (f(x)\cdot x)/\|x\|}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}}$${\displaystyle f(x)\cdot x=0}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{2}}$

ตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเอง โดยที่ เป็น ปริภูมิฮิลเบิร์ตจริงเรียกว่าตัวดำเนินการบังคับถ้ามีค่าคงที่ อยู่ค่าหนึ่งที่ทำให้ สำหรับทุกใน${\displaystyle A:H\to H,}$${\displaystyle H}$${\displaystyle c>0}$$${\displaystyle \langle Ax,x\rangle \geq c\|x\|^{2}}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle H.}$

รูปแบบทวิเชิงเส้น เรียกว่า รูป แบบบังคับ (coercive)ถ้ามีค่าคงที่อยู่ค่าหนึ่งที่ทำให้ สำหรับทุกค่าใน${\displaystyle a:H\times H\to \mathbb {R} }$${\displaystyle c>0}$$${\displaystyle a(x,x)\geq c\|x\|^{2}}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle H.}$

จาก ทฤษฎีบทการแทนของรีซ (Riesz representation theorem)สรุปได้ว่า รูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตรใดๆ (กำหนดเป็นสำหรับทุกใน) ต่อเนื่อง ( สำหรับทุกในและค่าคงที่บางค่า) และบังคับ จะมีรูป แบบการแทนดังนี้${\displaystyle a(x,y)=a(y,x)}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle H}$${\displaystyle |a(x,y)|\leq k\|x\|\,\|y\|}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle H}$${\displaystyle k>0}$${\displaystyle a}$$${\displaystyle a(x,y)=\langle ขวาน,y\rangle }$$

สำหรับตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองบางตัวซึ่งต่อมากลายเป็นตัวดำเนินการบังคับ นอกจากนี้ เมื่อกำหนดตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองที่บังคับแล้วรูปแบบทวิเชิงเส้นที่กำหนดไว้ข้างต้นก็จะเป็นแบบบังคับด้วย ${\displaystyle A:H\to H,}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle a}$

ถ้าเป็นตัวดำเนินการแบบบังคับ (coercive operator) แล้ว มันก็จะเป็นการแมปแบบบังคับ (coercive mapping) ด้วย (ในความหมายของการบังคับของสนามเวกเตอร์ ซึ่งต้องแทนที่ผลคูณดอทด้วยผลคูณภายในที่ทั่วไปกว่า) อันที่จริงสำหรับค่า n ที่มาก(ถ้าn มีขอบเขต ก็จะเป็นไปตามนั้นโดยง่าย) จากนั้นเมื่อแทนที่ด้วยเราจะได้ว่าเป็นตัวดำเนินการแบบบังคับ นอกจากนี้ยังสามารถแสดงได้ว่าข้อความกลับกันเป็นจริงถ้าเป็นตัวดำเนินการแบบสมมาตร (self-adjoint) นิยามของการบังคับสำหรับสนามเวกเตอร์ ตัวดำเนินการ และรูปแบบทวิเชิงเส้นมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิดและเข้ากันได้ ${\displaystyle A:H\to H}$${\displaystyle \langle Ax,x\rangle \geq C\|x\|}$${\displaystyle \|x\|}$${\displaystyle \|x\|}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\|x\|^{-2}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

ฟังก์ชันการแมปปิ้งระหว่างปริภูมิเวกเตอร์แบบนอร์มสองปริภูมิเรียกว่าฟังก์ชันบังคับนอร์ม (norm-coercive)ก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle f:X\to X'}$${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$${\displaystyle (X',\|\cdot \|')}$$${\displaystyle \|f(x)\|'\to +\infty {\mbox{ as }}\|x\|\to +\infty .}$$

โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยี สองปริภูมิ และเรียกว่าฟังก์ชันบังคับ (coercive)ถ้าสำหรับทุกเซตย่อยกระชับ (compact subset ) ของจะมีเซตย่อยกระชับของ อยู่ เช่นนั้น ${\displaystyle f:X\to X'}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle K'}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle K}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle f(X\setminus K)\subseteq X'\setminus K'.}$$

การประกอบกันของแผนที่เฉพาะแบบหนึ่งต่อหนึ่ง ตามด้วยแผนที่แบบบังคับ เรียกว่า การประกอบกันแบบบังคับ

ฟังก์ชัน (ที่มีค่าขยาย) เรียกว่าฟังก์ชันบังคับ (coercive)ถ้า ฟังก์ชันบังคับที่มีค่าเป็นจำนวนจริงโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันบังคับตามบรรทัดฐาน (norm-coercive) อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันบังคับตามบรรทัดฐานไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันบังคับเสมอไป ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันเอกลักษณ์บนเป็นฟังก์ชันบังคับตามบรรทัดฐาน แต่ไม่ใช่ฟังก์ชันบังคับ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$$${\displaystyle f(x)\to +\infty {\mbox{ as }}\|x\|\to +\infty .}$$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

• ฟังก์ชันที่ไม่จำกัดรัศมี
• เลมมาของ Lax-Milgram