ในทางคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงแบบอนันต์หรือทฤษฎีเซตเชิงการจัดเรียงเป็นการขยายแนวคิดในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงไปสู่เซตอนันต์สิ่งต่างๆ ที่ศึกษาได้แก่กราฟและต้นไม้ ต่อเนื่อง การขยายทฤษฎีบทของแรมซีย์และสัจพจน์ของมาร์ตินการพัฒนาล่าสุดเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงของความต่อเนื่อง^{[ 1 ]}และคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงบนตัวสืบทอดของคาร์ดินัลเอกฐาน^{[ 2 ]}

เขียนแทนจำนวนเชิงอันดับ แทนจำนวนนับ (จำกัดหรืออนันต์) และแทนจำนวนธรรมชาติErdős & Rado (1956)เป็นผู้ริเริ่มสัญลักษณ์นี้ ${\displaystyle \คัปปา ,\แลมบ์ดา }$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \displaystyle \kappa \rightarrow (\lambda )_{m}^{n}}$

โดยย่อแล้ว หมายถึงการแบ่งเซตย่อยที่มีสมาชิกจำนวน n ตัวของเซตนั้นออกเป็นชิ้น ๆ แต่ละชิ้นจะมีเซตเอกพันธุ์ที่มีลำดับประเภท n เซตเอกพันธุ์ในที่นี้คือเซตย่อย ของเซตนั้น โดยที่เซตย่อย ที่มีสมาชิกจำนวน n ตัวทุกเซตจะอยู่ในสมาชิกเดียวกันของการแบ่งนั้น เมื่อn เท่ากับ 2 มักจะละเว้นข้อความนี้ไป ข้อความดังกล่าวเรียกว่า ความสัมพันธ์ของการแบ่งเซต ${\displaystyle [\kappa ]^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle m}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$

โดยสมมติว่าเป็นไปตามสัจพจน์ของการเลือกจะไม่มีลำดับที่มีดังนั้นโดยทั่วไปจึงถือว่า เป็นจำนวนจำกัด ส่วนขยายที่เกือบจะอนุญาตให้เป็นอนันต์ได้คือสัญลักษณ์ ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa \rightarrow (\omega )^{\omega }}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \displaystyle \kappa \rightarrow (\lambda )_{m}^{<\omega }}$

ซึ่งเป็นวิธีเขียนแบบย่อที่หมายความว่าการแบ่งเซตของเซตย่อยจำกัดของออกเป็นส่วน ๆ ทุกส่วน จะมีเซตย่อยที่มีลำดับประเภทเช่นนั้น สำหรับจำนวนจำกัดใด ๆเซตย่อยทั้งหมดที่มีขนาดจะอยู่ในองค์ประกอบเดียวกันของการแบ่งนั้น เมื่อมีค่าเท่ากับ 2 มักจะละเว้น ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle m}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$

รูปแบบอื่นคือสัญลักษณ์

${\displaystyle \displaystyle \kappa \rightarrow (\lambda ,\mu )^{n}}$

ซึ่งเป็นวิธีเขียนแบบย่อที่หมายความว่า การระบายสีเซตย่อยที่มีสมาชิกจำนวน n ตัวของด้วย 2 สี จะมีเซตย่อยที่มีลำดับประเภทโดยที่สมาชิกทั้งหมดของมี สีแรก หรือเซตย่อยที่มีลำดับประเภทโดยที่สมาชิกทั้งหมดของมีสีที่สอง การระบายสีของคือฟังก์ชัน${\displaystyle [\kappa ]^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle [\lambda ]^{n}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle [\mu ]^{n}}$${\displaystyle [\kappa ]^{n}}$${\displaystyle f:[\kappa ]^{n}\rightarrow p}$

คุณสมบัติบางประการของสิ่งนี้ได้แก่: (ต่อไปนี้เป็นจำนวนเชิงคาร์ดินัล) ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle \displaystyle \aleph _{0}\rightarrow (\aleph _{0})_{k}^{n}}$สำหรับค่าจำกัดทั้งหมดและ( ทฤษฎีบทของแรมซีย์ )${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \displaystyle \beth _{n}^{+}\rightarrow (\aleph _{1})_{\aleph _{0}}^{n+1}}$( ทฤษฎีบท Erdős–Rado )

${\displaystyle \displaystyle 2^{\kappa }\not \rightarrow (\kappa ^{+})^{2}}$(ทฤษฎีบทเซียร์ปินสกี)

${\displaystyle \displaystyle 2^{\kappa }\not \rightarrow (3)_{\kappa }^{2}}$

${\displaystyle \displaystyle \kappa \rightarrow (\kappa ,\aleph _{0})^{2}}$(ทฤษฎีบทแอร์ดอส–ดุชนิก–มิลเลอร์ )

ในเอกภพที่ปราศจากทางเลือก คุณสมบัติการแบ่งส่วนที่มีเลขชี้กำลังอนันต์อาจเกิดขึ้นได้ และบางส่วนได้มาเป็นผลสืบเนื่องมาจากสัจพจน์แห่งความแน่นอน (AD) ตัวอย่างเช่นโดนัลด์ เอ. มาร์ตินพิสูจน์ว่า AD บ่งชี้ว่า

${\displaystyle \displaystyle \aleph _{1}\rightarrow (\aleph _{1})_{2}^{\aleph _{1}}}$

Wacław Sierpińskiแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบท Ramsey ไม่ขยายไปยังเซตที่มีขนาดโดยแสดงให้เห็นว่านั่นคือ Sierpiński สร้างการระบายสีคู่ของจำนวนจริงเป็นสองสี โดยที่สำหรับเซตย่อยที่นับไม่ได้ของจำนวนจริงทุกเซต จะใช้ทั้งสองสี การนำเซตของจำนวนจริงที่มีขนาดใดๆ มาใช้และใช้การระบายสีของ Sierpiński กับเซตนั้น เราจะได้ว่าการระบายสีแบบนี้เรียกว่าการระบายสีแบบเข้มข้น^{[ 3 ]}และได้รับการศึกษาในทฤษฎีเซตErdős, Hajnal & Rado (1965)ได้แนะนำสัญกรณ์ที่คล้ายกันกับข้างต้นสำหรับสิ่งนี้ ${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\nrightarrow (\aleph _{1})_{2}^{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [X]^{2}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{1}\not \rightarrow (\aleph _{1})_{2}^{2}}$

เขียนแทนจำนวนเชิงอันดับ จำนวนเชิงปริมาณ (จำกัดหรืออนันต์) และจำนวนธรรมชาติ จากนั้น ${\displaystyle \kappa ,\lambda }$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \displaystyle \kappa \nrightarrow [\lambda ]_{m}^{n}}$

เป็นวิธีเขียนย่อๆ ที่หมายความว่า มีการระบายสีเซตย่อยที่มีสมาชิกจำนวน n ตัวของออกเป็นส่วนๆ โดยที่ทุกเซตที่มีลำดับประเภทเป็นเซตสีรุ้ง เซตสีรุ้งในกรณีนี้คือเซตย่อยของที่รับสีทุกสี เมื่อมีค่าเท่ากับ 2 มักจะละเว้นข้อความนี้ ข้อความดังกล่าวเรียกว่า ความสัมพันธ์การแบ่งส่วนวงเล็บเหลี่ยมเชิงลบ ${\displaystyle [\kappa ]^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle m}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle [A]^{n}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$

รูปแบบอื่นคือสัญลักษณ์

${\displaystyle \kappa \nrightarrow [\lambda ;\mu ]_{m}^{2}}$

ซึ่งเป็นวิธีเขียนแบบย่อที่หมายความว่า มีการระบายสีเซตของเซตย่อย 2 สมาชิกของด้วยสีต่างๆ โดยที่สำหรับทุกเซตย่อยที่มีประเภทลำดับและทุกเซตย่อยที่มีประเภทลำดับเซต จะมี สี ทั้งหมด${\displaystyle [\kappa ]^{2}}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle m}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle A\times B}$${\displaystyle m}$

คุณสมบัติบางประการของสิ่งนี้ได้แก่: (ต่อไปนี้เป็นจำนวนเชิงคาร์ดินัล) ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle \displaystyle 2^{\kappa }\nrightarrow [\kappa ^{+}]^{2}}$(เซียร์ปินสกี)

${\displaystyle \displaystyle \aleph _{1}\nrightarrow [\aleph _{1}]^{2}}$(เซียร์ปินสกี)

${\displaystyle \displaystyle \aleph _{1}\nrightarrow [\aleph _{1}]_{3}^{2}}$( ลาเวอร์ , บลาส )

${\displaystyle \displaystyle \aleph _{1}\nrightarrow [\aleph _{1}]_{4}^{2}}$( กัลวินและเชลาห์ )

${\displaystyle \displaystyle \aleph _{1}\nrightarrow [\aleph _{1}]_{\aleph _{1}}^{2}}$( โทดอร์เชวิช)

${\displaystyle \displaystyle \aleph _{1}\nrightarrow [\aleph _{1};\aleph _{1}]_{\aleph _{1}}^{2}}$( มัวร์ )

${\displaystyle \displaystyle 2^{\aleph _{0}}\nrightarrow [2^{\aleph _{0}}]_{\aleph _{0}}^{2}}$( กัลวินและเชลาห์ )

คุณสมบัติ เชิงปริมาณขนาดใหญ่หลายอย่างสามารถกำหนดได้โดยใช้สัญลักษณ์นี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง:

• จำนวนคาร์ดินัลแบบกระชับอ่อน คือจำนวนคาร์ดินัลที่ตรงตามเงื่อนไข${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa \rightarrow (\kappa )^{2}}$
• α- จำนวนคาร์ดินัลของ Erdős เป็นจำนวนที่เล็กที่สุดที่ตรงตามเงื่อนไข${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa \rightarrow (\alpha )^{<\,\omega }}$
• คาร์ดินัลของแรมซีย์ คือคาร์ดินัลที่ตรงตามความต้องการ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa \rightarrow (\kappa )^{<\,\omega }}$