ในทางคณิตศาสตร์ลอการิทึมฐานสิบ (หรือที่เรียกว่า "ลอการิทึมมาตรฐาน") คือลอการิทึมฐาน 10 ^{[ 1 ]}นอกจากนี้ยังรู้จักกันในชื่อลอการิทึมฐานสิบลอการิทึมฐานสิบและลอการิทึมบริกส์ชื่อ "ลอการิทึมบริกส์" ตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแก่เฮนรี บริกส์ นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ผู้คิดค้นและพัฒนาค่าของ "ลอการิทึมฐานสิบ" ในอดีต "ลอการิทึมฐานสิบ" เป็นที่รู้จักกันในชื่อภาษาละตินว่าlogarithmus decimalis ^{[ 2 ]}หรือlogarithmus decadis ^{[ 3 ]}

สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์สำหรับการใช้ลอการิทึมสามัญคือlog( x ) , ^{[ 4 ]} log ₁₀ ( x ) , ^{[ 5 ]}หรือบางครั้งLog( x )ด้วยตัวพิมพ์ใหญ่L ; ^{[ a ]} ​​บนเครื่องคิดเลขจะพิมพ์เป็น "log", ^{[ 6 ]}แต่นักคณิตศาสตร์มักหมายถึงลอการิทึมธรรมชาติ (ลอการิทึมฐานe ≈ 2.71828) มากกว่าลอการิทึมสามัญเมื่อเขียน "log" เนื่องจากลอการิทึมธรรมชาติ – ตรงกันข้ามกับสิ่งที่ชื่อของลอการิทึมสามัญบ่งบอก – เป็นลอการิทึมที่ใช้กันทั่วไปมากที่สุดในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์^{[ 7 ]}

ก่อนช่วงต้นทศวรรษ 1970 เครื่องคิดเลขอิเล็กทรอนิกส์แบบพกพายังไม่มีใช้ และเครื่องคิดเลขเชิงกลที่สามารถคูณได้ก็มีขนาดใหญ่ ราคาแพง และไม่แพร่หลาย ดังนั้นจึง มีการใช้ ตารางลอการิทึมฐาน 10 ในวิทยาศาสตร์ วิศวกรรม และการนำทาง—เมื่อการคำนวณต้องการความแม่นยำมากกว่าที่ทำได้ด้วยไม้บรรทัดคำนวณโดยการเปลี่ยนการคูณและการหารเป็นการบวกและการลบ การใช้ลอการิทึมช่วยหลีกเลี่ยงการคูณและการหารด้วยกระดาษและดินสอที่ยุ่งยากและมีข้อผิดพลาดได้ง่าย^{[ 1 ]}เนื่องจากลอการิทึมมีประโยชน์มากตารางลอการิทึมฐาน 10 จึงถูกใส่ไว้ในภาคผนวกของตำราเรียนหลายเล่ม คู่มือคณิตศาสตร์และคู่มือการนำทางยังรวมถึงตารางลอการิทึมของฟังก์ชันตรีโกณมิติด้วย^{[ 8 ]}สำหรับประวัติของตารางดังกล่าว โปรดดูที่ ตารางลอการิทึม

วางตัวเลขบน ไม้บรรทัด คำนวณโดยเว้นระยะห่างตามสัดส่วนของผลต่างระหว่างค่าลอการิทึมของตัวเลขเหล่านั้น โดยการบวกระยะห่างจาก 1 ถึง 2 บนไม้บรรทัดล่างเข้ากับระยะห่างจาก 1 ถึง 3 บนไม้บรรทัดบน เราสามารถหาคำตอบได้อย่างรวดเร็วว่า2 × 3 = 6

คุณสมบัติที่สำคัญอย่างหนึ่งของลอการิทึมฐาน 10 ซึ่งทำให้มีประโยชน์อย่างมากในการคำนวณ คือ ลอการิทึมของจำนวนที่มากกว่า 1 ซึ่งต่างกันด้วยตัวประกอบกำลังของ 10 จะมีส่วนที่เป็นเศษส่วน เหมือนกันทั้งหมด ส่วนที่เป็นเศษส่วนนี้เรียกว่าแมนทิสซา [ ^{b ] ดังนั้น}ตารางลอการิทึมจึงจำเป็นต้องแสดงเฉพาะส่วนที่เป็นเศษส่วนเท่านั้น โดยทั่วไป ตารางลอการิทึมสามัญจะแสดงแมนทิสซา โดยมีทศนิยมสี่หรือห้าตำแหน่งขึ้นไป สำหรับแต่ละจำนวนในช่วง เช่น 1000 ถึง 9999

ส่วนจำนวนเต็ม ซึ่งเรียกว่าค่าลักษณะเฉพาะสามารถคำนวณได้โดยการนับจำนวนตำแหน่งที่ต้องเลื่อนจุดทศนิยมเพื่อให้ไปอยู่ทางขวาของตัวเลขสำคัญตัวแรกพอดี ตัวอย่างเช่น ลอการิทึมของ 120 คำนวณได้ดังนี้:

${\displaystyle \log _{10}(120)=\log _{10}\left(10^{2}\times 1.2\right)=2+\log _{10}(1.2)\approx 2+0.07918.}$

ตัวเลขสุดท้าย (0.07918) ซึ่งเป็นส่วนทศนิยมหรือแมนทิสซาของลอการิทึมฐานสิบของ 120 สามารถพบได้ในตารางที่แสดง ตำแหน่งของจุดทศนิยมใน 120 บอกเราว่าส่วนจำนวนเต็มของลอการิทึมฐานสิบของ 120 ซึ่งเป็นค่าลักษณะเฉพาะ คือ 2

โดยการใช้เหตุผลนี้ จะเห็นได้ว่า, , และ${\displaystyle \log _{10}(120)=2.07918}$${\displaystyle \log _{10}(12)=1.07918}$${\displaystyle \log _{10}(1.2)=0.07918.}$

จำนวนบวกที่น้อยกว่า 1 จะมีค่าลอการิทึมเป็นลบ ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle \log _{10}(0.012)=\log _{10}\left(10^{-2}\times 1.2\right)=-2+\log _{10}(1.2)\approx -2+0.07918=-1.92082.}$

เพื่อหลีกเลี่ยงความจำเป็นในการใช้ตารางแยกต่างหากเพื่อแปลงค่าลอการิทึมบวกและลบกลับไปเป็นตัวเลขเดิม เราสามารถแสดงลอการิทึมลบได้โดยใช้ค่าลักษณะเฉพาะที่เป็นจำนวนเต็มลบบวกกับค่าแมนทิสซาที่เป็นบวก เพื่อความสะดวกในการทำเช่นนี้ จึงมีการใช้ สัญลักษณ์พิเศษที่เรียกว่า สัญลักษณ์แท่ง (bar notation) :

${\displaystyle \log _{10}(0.012)\approx {\bar {2}}+0.07918=-1.92082.}$

ขีดเหนือค่าลักษณะเฉพาะแสดงว่าค่านั้นเป็นลบ ในขณะที่แมนทิสซายังคงเป็นบวก เมื่ออ่านตัวเลขในรูปแบบสัญกรณ์แท่งออกเสียง สัญลักษณ์จะอ่านว่า "แท่งn " ดังนั้นจึงอ่านว่า "แท่ง 2 จุด 07918..." อีกวิธีหนึ่งคือการแสดงค่าลอการิทึมโมดูลัส 10 ซึ่งในกรณีนี้ ${\displaystyle {\bar {n}}}$${\displaystyle {\บาร์ {2}}.07918}$

${\displaystyle \log _{10}(0.012)\ประมาณ 8.07918{\bmod {1}}0,}$

โดยค่าที่แท้จริงของผลลัพธ์จากการคำนวณจะถูกกำหนดโดยความรู้เกี่ยวกับช่วงผลลัพธ์ที่สมเหตุสมผล^[ค]

ตัวอย่างต่อไปนี้ใช้สัญลักษณ์แท่งในการคำนวณ 0.012 × 0.85 = 0.0102:

${\displaystyle {\begin{array}{rll}{\text{ดังที่พบข้างต้น,}}&\log _{10}(0.012)\approx {\bar {2}}.07918\\{\text{เนื่องจาก}}\;\;\log _{10}(0.85)&=\log _{10}\left(10^{-1}\times 8.5\right)=-1+\log _{10}(8.5)&\approx -1+0.92942={\bar {1}}.92942\\\log _{10}(0.012\times 0.85)&=\log _{10}(0.012)+\log _{10}(0.85)&\approx {\bar {2}}.07918+{\bar {1}}.92942\\&=(-2+0.07918)+(-1+0.92942)&=-(2+1)+(0.07918+0.92942)\\&=-3+1.00860&=-2+0.00860\;^{*}\\&\approx \log _{10}\left(10^{-2}\right)+\log _{10}(1.02)&=\log _{10}(0.01\times 1.02)\\&=\log _{10}(0.0102).\end{array}}}$

* ขั้นตอนนี้จะทำให้แมนทิสซาอยู่ระหว่าง 0 และ 1 เพื่อให้สามารถค้นหา แอนติล็อก ( ^{แมนทิสซา 10) ได้}

ตารางต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่าสามารถใช้แมนทิสซาเดียวกันสำหรับตัวเลขหลายช่วงที่แตกต่างกันตามกำลังของสิบได้อย่างไร:

โปรดสังเกตว่าแมนทิสซาเป็นส่วนร่วมของ5 × 10 ⁱ ทั้งหมด ซึ่งเป็นจริงสำหรับจำนวนจริง  บวกใดๆ เพราะว่า ${\displaystyle x\times 10^{i}}$

${\displaystyle \log _{10}\left(x\times 10^{i}\right)=\log _{10}(x)+\log _{10}\left(10^{i}\right)=\log _{10}(x)+i.}$

เนื่องจากiเป็นค่าคงที่ ค่าแมนทิสซาจึงมาจากซึ่งเป็นค่าคงที่สำหรับค่าที่กำหนดวิธีนี้ทำให้ตารางลอการิทึมมีเพียงรายการเดียวสำหรับแต่ละแมนทิสซา ในตัวอย่างของ5 × 10 ⁱค่า 0.698 970 (004 336 018 ...) จะถูกแสดงเมื่อกำหนดดัชนีด้วย 5 (หรือ 0.5 หรือ 500 เป็นต้น) ${\displaystyle \log _{10}(x)}$${\displaystyle x}$

ลอการิทึมฐานสิบบางครั้งเรียกว่า "ลอการิทึมบริกส์" ตามชื่อของเฮนรี บริกส์นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษในศตวรรษที่ 17 ในปี 1616 และ 1617 บริกส์ได้ไปเยี่ยมจอห์น เนเปียร์ที่เอดินบะระผู้คิดค้นลอการิทึมธรรมชาติ (ฐานe ) เพื่อเสนอแนะการเปลี่ยนแปลงลอการิทึมของเนเปียร์ ในระหว่างการประชุมเหล่านั้น การเปลี่ยนแปลงที่บริกส์เสนอได้รับการยอมรับ และหลังจากที่เขากลับจากการเยี่ยมครั้งที่สอง เขาได้ตีพิมพ์ลอการิทึมชุดแรกของเขา ออกมา

เนื่องจากลอการิทึมฐาน 10 มีประโยชน์มากที่สุดสำหรับการคำนวณ วิศวกรจึงมักเขียน " _log ( x ) " เมื่อต้องการใช้log₁₀ ( x )ในขณะที่นักคณิตศาสตร์จะเขียน " log( x ) " เมื่อต้องการใช้log₂e ( x ) สำหรับ _{ลอการิทึม}ธรรมชาติ ปัจจุบันพบเห็นทั้งสองแบบ เนื่องจากเครื่องคิดเลขอิเล็กทรอนิกส์แบบพกพาได้รับการออกแบบโดยวิศวกรมากกว่านักคณิตศาสตร์ จึงกลายเป็นธรรมเนียมที่เครื่องคิดเลขเหล่านั้นจะใช้สัญลักษณ์ของวิศวกร ดังนั้นสัญลักษณ์ที่เขียน " ln( x ) " เมื่อต้องการใช้ลอการิทึมธรรมชาติ อาจได้รับความนิยมมากขึ้นจากสิ่งประดิษฐ์เดียวกันที่ทำให้การใช้ "ลอการิทึมฐานสิบ" แพร่หลายน้อยลง นั่นก็คือเครื่องคิดเลขอิเล็กทรอนิกส์

เพื่อลดความกำกวมข้อกำหนด ISO 80000แนะนำว่าlog _e ( x )ควรเขียนเป็นln( x )ในขณะที่log ₁₀ ( x )ควรเขียนเป็นlg( x ) ซึ่งน่าเสียดาย ที่ CLRS และ Sedgwick และThe Chicago Manual of Styleใช้สำหรับลอการิทึมฐาน 2 ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}

ค่าตัวเลขของลอการิทึมฐาน 10 สามารถคำนวณได้โดยใช้เอกลักษณ์ต่อไปนี้: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \log _{10}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(10)}}\quad }$ หรือ หรือ ${\displaystyle \quad \log _{10}(x)={\frac {\log _{2}(x)}{\log _{2}(10)}}\quad }$${\displaystyle \quad \log _{10}(x)={\frac {\log _{B}(x)}{\log _{B}(10)}}\quad }$

โดยใช้ลอการิทึมของฐานใดก็ได้ที่มีอยู่${\displaystyle \,B~.}$

เนื่องจากมีขั้นตอนในการกำหนดค่าตัวเลขสำหรับลอการิทึมฐานe (ดูลอการิทึมธรรมชาติ § การคำนวณอย่างมีประสิทธิภาพ ) และลอการิทึมฐาน 2 (ดูอัลกอริทึมสำหรับการคำนวณลอการิทึมฐาน 2 )

อนุพันธ์ของลอการิทึมที่มีฐานเป็นbเป็นเช่นนั้น^{[ 13 ]}

${\displaystyle {d \over dx}\log _{b}(x)={1 \over x\ln(b)}}$,

ดังนั้น ( ตัวเลขสำคัญ 4 หลัก ) ${\displaystyle {d \over dx}\log _{10}(x)={1 \over x\ln(10)}\approx {0.4343 \over x}}$

• ลอการิทึมฐานสอง
• โคโลการิธึม
• เดซิเบล
• มาตราส่วนลอการิทึม
• ลอการิทึมเนเปียร์
• ตัวเลขสำคัญ (หรือเรียกอีกอย่างว่า mantissa)

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , บรรณาธิการ (1983) [มิถุนายน 1964]. คู่มือฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์พร้อมสูตร กราฟ และตารางทางคณิตศาสตร์ชุดคณิตศาสตร์ประยุกต์ เล่มที่ 55 (พิมพ์ซ้ำครั้งที่เก้า พร้อมการแก้ไขเพิ่มเติมจากการพิมพ์ครั้งแรกครั้งที่สิบพร้อมการแก้ไข (ธันวาคม 1972); ฉบับพิมพ์ครั้งแรก) วอชิงตัน ดี.ซี.; นิวยอร์ก: กระทรวงพาณิชย์แห่งสหรัฐอเมริกา สำนักงานมาตรฐานแห่งชาติ; สำนักพิมพ์โดเวอร์ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . MR  0167642 . LCCN  65-12253 .
• Möser, Michael (2009). วิศวกรรมเสียง: บทนำเกี่ยวกับการควบคุมเสียงรบกวน . Springer. หน้า 448. ISBN 978-3-540-92722-8.
• Poliyanin, Andrei Dmitrievich; Manzhirov, Alexander Vladimirovich (2007) [2006-11-27]. คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักวิทยาศาสตร์ . สำนักพิมพ์ CRC . หน้า 9. ISBN 978-1-58488-502-3.