ตาข่ายทั่วไป

ในทางเรขาคณิตตาข่ายร่วม (Common Net)คือตาข่ายที่สามารถพับลงบนรูปทรง หลายเหลี่ยมหลายๆ รูปได้ ตาข่ายร่วมที่ถูกต้องนั้นจะต้องไม่มีด้านใดที่ไม่ทับซ้อนกัน และรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ได้จะต้องเชื่อมต่อกันผ่านทางหน้า ตัวอย่างของตาข่ายร่วมประเภทนี้ในการวิจัยมีมาตั้งแต่ปลายศตวรรษที่ 20 ถึงกระนั้นก็ยังพบตัวอย่างไม่มากนัก อย่างไรก็ตาม มีรูปทรงหลายเหลี่ยมสองประเภทที่ได้รับการศึกษาอย่างลึกซึ้ง คือ รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติและทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก การค้นหาตาข่ายร่วมมักทำได้โดยการค้นหาอย่างละเอียดหรือการทับซ้อนกันของตาข่ายที่ปูบนระนาบ

Demaine et al. (2013)พิสูจน์ว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมนูนทุกรูปสามารถคลี่ออกและพับกลับไปเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนอื่นได้^{[ 1 ]}

มีโครงข่ายทั่วไปอยู่สองประเภท ได้แก่ การคลี่ขอบแบบเข้มงวดและการคลี่แบบอิสระ การคลี่ขอบแบบเข้มงวดหมายถึงโครงข่ายทั่วไปที่รูปทรงหลายเหลี่ยมต่าง ๆ ที่สามารถพับได้ใช้การพับแบบเดียวกัน กล่าวคือ ในการพับรูปทรงหลายเหลี่ยมหนึ่งจากโครงข่ายของอีกรูปทรงหนึ่ง ไม่จำเป็นต้องสร้างการพับใหม่ การคลี่แบบอิสระหมายถึงกรณีตรงกันข้าม เมื่อเราสามารถสร้างการพับได้มากเท่าที่จำเป็นเพื่อให้สามารถพับรูปทรงหลายเหลี่ยมต่าง ๆ ได้

ความซ้ำซ้อนของโครงข่ายร่วม หมายถึงจำนวนโครงข่ายร่วมสำหรับเซตของทรงหลายเหลี่ยมชุดเดียวกัน

ทรงหลายเหลี่ยมปกติ

โจทย์ปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขข้อที่ 25.31 ใน หนังสือ Geometric Folding Algorithm โดย Rourke และ Demaineมีใจความดังนี้:

ทรงหลายเหลี่ยมเพลโตสามารถตัดและคลี่ออกเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่สามารถพับกลับเป็นทรงหลายเหลี่ยมเพลโตอื่นได้หรือไม่ ตัวอย่างเช่น ลูกบาศก์สามารถถูกผ่าออกเป็นทรงสี่เหลี่ยมหน้าจั่วได้หรือไม่^{[ 2 ]}

ปัญหาดังกล่าวได้รับการแก้ไขบางส่วนโดย Shirakawa และคณะ ด้วยโครงข่ายแฟร็กทัลที่คาดว่าจะพับเป็นรูปทรงสี่เหลี่ยมพีระมิดและลูกบาศก์

ความหลากหลาย	โพลีเฮดรา 1	โพลีเฮดรา 2	อ้างอิง
	จัตุรมุข	ลูกบาศก์	^{[ 3 ]}
87	จัตุรมุข	พีระมิดคู่สี่เหลี่ยมแบบไจโรยาว (J )	^{[ 4 ]}
37	จัตุรมุข	กระดูกดิสฟีนอยด์ส่วนสั้น (J )	^{[ 4 ]}
	ลูกบาศก์	เตตระโมโนเฮดรอน	^{[ 5 ]}
	ลูกบาศก์	ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากขนาด 1x1x7 และ 1x3x3	^{[ 6 ]}
	ลูกบาศก์	ทรงแปดเหลี่ยมด้านไม่ปกติ	^{[ 3 ]}
	ทรงแปดเหลี่ยม	เตตระโมโนเฮดรอน	^{[ 7 ]}
	ทรงแปดเหลี่ยม	เตตระโมโนเฮดรอน	^{[ 5 ]}
	ทรงแปดเหลี่ยม	ทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า	^{[ 8 ]}
	ไอโคซาเฮดรอน	เตตระโมโนเฮดรอน	^{[ 5 ]}

ทรงหลายเหลี่ยมที่ไม่ปกติ

ทรงสี่เหลี่ยมลูกบาศก์

ตาข่ายทั่วไปของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากได้รับการวิจัยอย่างละเอียด โดยส่วนใหญ่โดย Uehara และเพื่อนร่วมงาน จนถึงปัจจุบัน มีการค้นพบตาข่ายทั่วไปของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากได้มากถึงสามอัน อย่างไรก็ตาม ได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามีตัวอย่างตาข่ายที่สามารถพับเป็นทรงหลายเหลี่ยมได้มากกว่าหนึ่งอันอยู่มากมายนับไม่ถ้วน^{[ 9 ]}

พื้นที่	ความหลากหลาย	คิวบอยด์ 1	คิวบอยด์ 2	คิวบอยด์ 3	อ้างอิง
22	6495	1x1x5	1x2x3		^{[ 10 ]}
22	3	1x1x5	1x2x3	0x1x11	^{[ 11 ]}
28		1x2x4	√2x√2x3√2		^{[ 11 ]}
30	30	1x1x7	1x3x3	√5x√5x√5	^{[ 12 ]}
30	1080	1x1x7	1x3x3		^{[ 12 ]}
34	11291	1x1x8	1x2x5		^{[ 10 ]}
38	2334	1x1x9	1x3x4		^{[ 10 ]}
46	568	1x1x11	1x3x5		^{[ 10 ]}
46	92	1x2x7	1x3x5		^{[ 10 ]}
54	1735	1x1x13	3x3x3		^{[ 10 ]}
54	1806	1x1x13	1x3x6		^{[ 10 ]}
54	387	1x3x6	3x3x3		^{[ 10 ]}
58	37	1x1x14	1x4x5		^{[ 10 ]}
62	5	1x3x7	2x3x5		^{[ 10 ]}
64	50	2x2x7	1x2x10		^{[ 10 ]}
64	6	2x2x7	2x4x4		^{[ 10 ]}
70	3	1x1x17	1x5x5		^{[ 10 ]}
70	11	1x2x11	1x3x8		^{[ 10 ]}
88	218	2x2x10	1x4x8		^{[ 10 ]}
88	86	2x2x10	2x4x6		^{[ 10 ]}
160		4x4x8	√10x2√10x2√10		^{[ 11 ]}
532		7x8x14	2x4x43	2x13x16	^{[ 13 ]}
ค.ศ. 1792		7x8x56	7x14x38	2x13x58	^{[ 13 ]}

*การพับแบบไม่ตั้งฉาก

โพลีคิวบ์

กรณีแรกของการค้นพบโครงข่ายทั่วไปของโพลีคิวบ์คืองานของ George Miller ซึ่งต่อมาได้รับการสนับสนุนจากDonald Knuthซึ่งนำไปสู่ปริศนา Cubigami ^{[ 14 ]}ประกอบด้วยโครงข่ายที่สามารถพับเป็นเตตระคิวบ์รูปต้นไม้ทั้ง 7 แบบได้ โครงข่ายทั่วไปที่เป็นไปได้ทั้งหมดจนถึงเพนตาคิวบ์ถูกค้นพบแล้ว โครงข่ายทั้งหมดเป็นไปตามการพับแบบตั้งฉากอย่างเคร่งครัด แม้ว่าจะยังคงถือว่าเป็นการคลี่ออกอย่างอิสระก็ตาม

พื้นที่	ความหลากหลาย	โพลีเฮดรา	อ้างอิง
14	29026	ไตรคิวบ์ทั้งหมด	^{[ 15 ]}
14		ไตรคิวบ์ทั้งหมด	^{[ 10 ]}
18	68	เตตระคิวบ์ที่มีลักษณะคล้ายต้นไม้ทั้งหมด^{[ 14 ]}	^{[ 16 ]}
22		เพนตาคิวบ์ 23 ลูก	^{[ 17 ]}
22	3	เพนตาคิวบ์รูปทรงคล้ายต้นไม้ 22 อัน	^{[ 17 ]}
22	1	เพนตาคิวบ์ที่ไม่เป็นระนาบ	^{[ 17 ]}

เดลตาเฮดรา

โพลีโทปซิมพลิเชียล 3 มิติ

พื้นที่	ความหลากหลาย	โพลีเฮดรา	อ้างอิง
8	1	เดลตาเฮดรา 8 หน้าทั้งสองแบบ	^{[ 8 ]}
10	4	เดลตาเฮดรา 7 จุดยอด	^{[ 18 ]}

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 6 ]

[ 9 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 18 ]

ไม่มีชื่อบทความ